수리논술, 이게 다다.

자연계열 Ⅲ-2번

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중앙대 2003학년도 수시 자연계열 Ⅲ-2번 · mathesis.kr/archive/cau/2003su/jayeon_3_2

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Ⅲ. 다음 문제를 반드시 풀이과정을 포함하여 답하시오.

2. 무한히 늘어날 수 있는 고무로 된 띠 위를 따라 개미가 13m/\displaystyle \frac{1}{3}\mathrm{m}/분의 속력으로, 직선으로 기어가고 있다. 최초 띠의 길이는 1m\displaystyle 1\mathrm{m}였고 1분이 지날 때마다 띠의 길이가 k\displaystyle k배씩 늘어난다고 하자. 띠의 한 쪽 끝에서 출발을 한 개미가 결국 띠의 다른 쪽 끝에 도달하려면 k\displaystyle k는 어떤 조건을 만족해야 하는가? 여기서 k\displaystyle k는 1보다 큰 유리수이다. [15점]

해설강의 준비중

중앙대 2003학년도 수시 자연계열 Ⅲ-2번 · mathesis.kr/archive/cau/2003su/jayeon_3_2

우선 개미의 위치를 추적해 보자.

 개미의 위치(확대 전)개미의 위치(확대 후)띠의 길이(확대 후)
1분 후1/31/3k/3k/3kk
2분 후k/3+1/3k/3+1/3k/3+k2/3k/3+k^2/3k2k^2
3분 후k/3+k2/3+1/3k/3+k^2/3+1/3k/3+k2/3+k3/3k/3+k^2/3+k^3/3k3k^3

결국 n 분후 개미의 위치는(확대 후) k/3+k2/3+k3/3+⋯+kn/3\displaystyle k/3+k^2/3+k^3/3+\cdots+k^n/3 로 주어지게 되며

공비 k\displaystyle k인 등비급수를 고려하면 k(kn−1)3(k−1)\displaystyle \frac{k(k^n-1)}{3(k-1)} 을 얻게 된다.

띠의 길이는 kn\displaystyle k^n으로 증가하고 있으므로 k(kn−1)3(k−1)≥kn\displaystyle \frac{k(k^n-1)}{3(k-1)}\ge k^n 의 조건식을 고려하면 결국 n→∞\displaystyle n\rightarrow\infty 의 극한에서 개미가 다른 편 끝에 도달하기 위해서는 k3(k−1)≥1\displaystyle \frac{k}{3(k-1)}\ge 1를 만족해야 하므로 1<k≤32\displaystyle 1<k\le\frac{3}{2} 의 조건이 구해진다. 엄밀한 의미에서 볼 때, k=32\displaystyle k=\frac{3}{2} 의 경우는 n→∞\displaystyle n\rightarrow\infty 의 조건에서만 다른 편 끝에 다다르게 되므로 1<k<32\displaystyle 1<k<\frac{3}{2} 이 정답이 된다.

답 : 1<k<32\displaystyle 1<k<\frac{3}{2}

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