자연계열 Ⅲ-2번

우선 개미의 위치를 추적해 보자.

결국 n 분후 개미의 위치는(확대 후) $\displaystyle k/3+k^2/3+k^3/3+\cdots+k^n/3$ 로 주어지게 되며

공비 $\displaystyle k$인 등비급수를 고려하면 $\displaystyle \frac{k(k^n-1)}{3(k-1)}$ 을 얻게 된다.

띠의 길이는 $\displaystyle k^n$으로 증가하고 있으므로 $\displaystyle \frac{k(k^n-1)}{3(k-1)}\ge k^n$ 의 조건식을 고려하면 결국 $\displaystyle n\rightarrow\infty$ 의 극한에서 개미가 다른 편 끝에 도달하기 위해서는 $\displaystyle \frac{k}{3(k-1)}\ge 1$를 만족해야 하므로 $\displaystyle 1<k\le\frac{3}{2}$ 의 조건이 구해진다. 엄밀한 의미에서 볼 때, $\displaystyle k=\frac{3}{2}$ 의 경우는 $\displaystyle n\rightarrow\infty$ 의 조건에서만 다른 편 끝에 다다르게 되므로 $\displaystyle 1<k<\frac{3}{2}$ 이 정답이 된다.

답 : $\displaystyle 1<k<\frac{3}{2}$