자연계열 Ⅲ-3번

반지름이 1인 4개의 구의 중심을 서로 연결하면 한 변의 길이가 2인 정사면체가 된다.

결국 대칭성에 의하여 작은 구의 중심은 정사면체의 중심과 일치하게 된다. 정사면체의 각 면은 정삼각형이고 그림에서의 $\displaystyle h$와 정사면체의 꼭지점 A에서 밑변에 내린 수선의 길이 $\displaystyle l$을 구해보자.

그림에서 정삼각형에 대한 면적공식을 적용하면 $\displaystyle \frac{1}{2}\times2\times\sqrt{3}=3\left(\frac{1}{2}\times2\times h\right)$로부터 $\displaystyle h=\frac{1}{\sqrt{3}}$ 이 구해지고 수선의 길이 $\displaystyle l$은 $\displaystyle l^2=(\sqrt{3})^2-\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2$ 로부터 (직각삼각형 ADO를 고려)

$\displaystyle l=\sqrt{\frac{8}{3}}=\frac{2}{3}\sqrt{6}$ 가 구해진다.

정사면체의 중심 C에서 두 꼭지점 A 와 B에 이르는 거리가 같으므로 ( ∴$\displaystyle \overline{CA}=\overline{CB}$ )

좌표 $\displaystyle C(0,0,z)$, $\displaystyle A(0,0,l)$, $\displaystyle B(0,\sqrt{3}-h,0)$로부터

$\displaystyle (z-l)^2=(\sqrt{3}-h)^2+(z-0)^2$ 을 얻고 정리하면 $\displaystyle z=\frac{1}{\sqrt{6}}$을 얻는다. 작은 구의 반지름이 $\displaystyle r$일 때, $\displaystyle \overline{CA}=1+r=l-z$ 이므로 $\displaystyle r=l-1-z=\frac{\sqrt{6}}{2}-1$ 을 얻게 된다.

답 : $\displaystyle r=\frac{\sqrt{6}}{2}-1=\frac{\sqrt{6}-2}{2}$