자연계열 II 5번

(라) 유한개의 꼭지점과 이들 꼭지점을 연결하는 유한개의 변으로 이루어진 도형을 ‘그래프’라 부른다. 예를 들어, 아래의 그림 (a)는 열 개의 꼭지점과 아홉 개의 변으로 이루어진 그래프이다. 그림 (b)와 같이 그래프의 모든 변에 방향을 준 것을 ‘유향(有向)그래프’라 하고, 그림 (c)와 같이 부분적으로 방향을 준 것을 ‘준유향그래프’라고 하자.

(마) 생태계란 말은 그리스어의 오이코스(oikos)에서 유래되었다고 한다. 오이코스는 ‘집’이란 뜻으로, 생태계란 결국 사람을 포함한 생물들이 살아가는 보금자리를 말한다. 자연 상태에서 생산자와 소비자로 구성된 생물 군집은 생태계의 먹이그물을 이룬다.

네 종류의 동물 $\displaystyle X_1,X_2,X_3,X_4$사이의 먹이그물이 아래 그림과 같다고 가정하자.

위 먹이그물 그림에서 화살표의 방향은 두 동물 사이의 포식관계를 나타낸다. 예를 들어, $\displaystyle X_1\to X_2$는 $\displaystyle X_2$가 $\displaystyle X_1$의 포식자임을 의미한다. 이 먹이그물을 행렬로 표현한 것을 A라고 하면 아래와 같다.

$\displaystyle X_1,X_2,X_3,X_4$사이의 먹이그물에서 $\displaystyle X_1$은 $\displaystyle X_3$의 직접적인 먹이도 되지만 $\displaystyle X_2$에 의한 간접적인 먹이도 된다. 이를 행렬로 표현하면 다음과 같다.

행렬 $\displaystyle A^2$의 $\displaystyle (i,j)$성분은 $\displaystyle X_i$가 중간에 먹이그물을 한 번 거쳐 $\displaystyle X_j$의 먹이가 되는 방법의 가짓수를 의미한다. 예를 들어, $\displaystyle A^2$의 (1,3)성분의 값 1은 $\displaystyle X_1$이 중간에 먹이그물을 한 번 거쳐 $\displaystyle X_3$의 먹이가 되는 방법이 1가지($\displaystyle X_1\to X_2\to X_3$)임을 의미한다. 한편, $\displaystyle A^2$의 (1,4)성분의 값 2는 $\displaystyle X_1$이 중간에 먹이그물을 한 번 거쳐 $\displaystyle X_4$의 먹이가 되는 방법이 2가지($\displaystyle X_1\to X_2\to X_4$, $\displaystyle X_1\to X_3\to X_4$)임을 의미한다.

$\displaystyle i=1,\cdots,6$에 대하여 $\displaystyle X_{2i}$는 $\displaystyle X_i$의 포식자이다.

$\displaystyle i=1,\cdots,4$에 대하여 $\displaystyle X_{3i}$는 $\displaystyle X_i$의 포식자이다.