자연계열 II 3번

중앙대 2011학년도 수시 2차 자연계열 II 3번 · mathesis.kr/archive/cau/2011su/jayeon2_3

(가) 심박출량(CO: cardiac output)이란 심박수(HR: heart rate)와 1회 박출량(SV: stroke volume)의 곱, 즉 $\displaystyle CO=HR\times SV$ 로 정의되며, 심장에서 각 신체기관으로 나가는 혈류량의 총합과 동일하다. 심장의 수축에 의해 동맥으로 밀려 나온 혈액은 온몸의 모세혈관으로 들어가 조직 세포와 물질교환을 하게 된다. 기관이나 조직에 분포한 모세혈관에는 전모세혈관 괄약근이 있어서 모세혈관으로 흐르는 혈류량을 조절한다. 일반적으로 혈류량은 두 지점의 혈압 차이에 비례하고 혈류 저항에 반비례한다고 알려져 있다. 몸의 상태에 따라 심장과 혈관은 적절하게 조절되어야 하는데, 이러한 조절은 자율신경계에 의해 이루어진다. 자율신경계에 작용하는 약물에는 부교감신경을 억제하는 아트로핀, 교감신경을 촉진하는 암페타민, 교감신경을 억제하는 레세르핀 등이 있다.

(나) 점성도(viscosity)는 유체에서 내부 마찰력의 크기를 나타내기 위해 사용된다. 내부 마찰력 또는 점성력은 유체 내의 두 인접한 층이 서로 상대적으로 이동하기 때문에 생기는 저항과 관련된다. 점성력에 의해 유체의 운동 에너지 일부가 열에너지로 전환되며, 이 과정은 물체가 거친 면에서 미끄러지며 운동 에너지를 잃는 것과 유사하다.

아래 그림과 같이, 반지름 R인 원통 모양의 관에서 유체가 일정한 압력차 $\displaystyle \Delta P=P_2-P_1$ 에 의해 이동할 때, 내부 점성력에 의해 정해지는 유체의 속도는 관의 중심에서 멀어질수록 감소하게 된다.

유체의 속도는 관의 중심으로부터의 거리 r에 대한 함수로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\displaystyle v(r)=\alpha(r^2-R^2)\Delta P\qquad(1)$

위의 식 (1)에서 $\displaystyle \alpha$ 는 점성계수와 관련된 비례상수이다.

[문제 3] 제시문 (가)의 혈류 저항은 점성을 갖는 혈액의 내부 마찰에 의해 발생된 것이다. 제시문 (나)의 그림과 같이 혈관 중심으로부터의 거리 r에 따라 속도가 다른, 무한히 세분된 혈액의 층을 생각하자. 각 층의 혈류량 $\displaystyle \Delta Q$ 는 혈액의 속도와 혈류에 수직한 그 층의 단면적의 곱으로 표현된다. 단위시간 동안 흐르는 전체 혈류량 Q를 혈관 반지름 R의 함수로 구하는 과정을 제시문 (나)에 근거하여 논리적으로 설명하시오. [15점]

해설강의 준비중

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제시문(나)에서 주어진 식은 다음과 같으며,

$\displaystyle v(r)=\alpha(r^2-R^2)\Delta P$

+2점 · 각 층의 혈류량

문제와 제시문(나)에서 주어진 개념을 이용하면 다음과 같은 관계를 생각할 수 있다. ( $\displaystyle \Delta A$ : 미세 단면적)

$\displaystyle \Delta Q=v(r)\Delta A=\alpha(r^2-R^2)\Delta P\Delta A$

+3점 · 미세 단면적 +5점 · 전체 혈류량의 적분식

$\displaystyle \Delta A$ 는 $\displaystyle 2\pi r\Delta r$ 로 표현될 수 있고, 무한히 세분된 관을 생각하면, 단위 시간당 흐르는 혈류량 Q는

$\displaystyle Q=\int_0^R v(r)2\pi r\,dr$

+5점 · 적분 계산

$\displaystyle \begin{aligned}&=\int_0^R\alpha(r^2-R^2)\Delta P\,2\pi r\,dr\\&=2\pi\alpha\Delta P\int_0^R(r^3-rR^2)\,dr\\&=2\pi\alpha\Delta P\Biggl[\frac14r^4-\frac12r^2R^2\Biggr]_0^R\\&=2\pi\alpha\Delta P\left(-\frac{R^4}4\right)\\&=-\frac{\pi\alpha\Delta P}2R^4\end{aligned}$

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