자연계열 1번

1-1.[풀이]함수 $\displaystyle f(x)$는 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속이므로 제시문 <가>에 의해 이 구간에서 최댓값 $\displaystyle M$과 최솟값 $\displaystyle m$을 가지며Caution. 제시문이나 앞 문항의 결론을 적용할 때에는 필요한 조건이 현재 대상에서도 성립하는지 확인해야 한다: 제시문 <가>의 최솟값과 최댓값을 이용하려면 적분구간 전체에서 그 범위가 성립해야 한다. 원문의 $\displaystyle [a,b]$는 구간이 정해지지 않았으며 $\displaystyle [0,a^n]$을 포함하지도 않는다. $\displaystyle 0<a<1$이므로 고정된 구간 $\displaystyle [0,a]$에서 최솟값 $\displaystyle m$과 최댓값 $\displaystyle M$을 잡으면 $\displaystyle ma^n\le\int_0^{a^n}f(x)\,dx\le Ma^n$이다. 양 끝이 0으로 가므로 주어진 극한값은 0이다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle m\cdot(a^n-0)\le\int_0^{a^n}f(x)dx\le M\cdot(a^n-0)$가 성립한다.

$\displaystyle I_n=\int_0^{a^n}f(x)dx$라 두면$\displaystyle m\cdot a^n\le I_n\le M\cdot a^n$와 같고$\displaystyle n\to\infty$일 때 $\displaystyle 0<a<1$인 $\displaystyle a$에 대해서 $\displaystyle a^n\to0$이므로 제시문 <나>에 의해 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}I_n=0$이다.

1-2.[풀이]제시문 <다>에 의해 $\displaystyle \int_0^1f(x)dx=\int_0^{a^n}f(x)dx+\int_{a^n}^1f(x)dx$이 성립한다.$\displaystyle J_n=\int_{a^n}^1f(x)dx$라 두면 $\displaystyle \int_0^1f(x)dx=I_n+J_n$과 같다.

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\int_0^1f(x)dx=\lim_{n\to\infty}(I_n+J_n)$이고 문제 1-1에 의해 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}I_n=0$이므로$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\int_0^1f(x)dx=\int_0^1f(x)dx=\lim_{n\to\infty}J_n$이 성립한다.

1-3.[풀이]제시문 <라>의 도함수 정의에 의해$\displaystyle F^{\prime}(x)=\lim_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}h$이고제시문 <다>에 의해$\displaystyle F^{\prime}(x)=\lim_{h\to0}\frac{\int_0^{x+h}f(t)dt-\int_0^xf(t)dt}h=\lim_{h\to0}\frac{\int_x^{x+h}f(t)dt}h$가 성립한다.

제시문 <가>에 의해$\displaystyle m\le f(x)\le M$인 $\displaystyle m,M$이 존재해서$\displaystyle m\cdot h\le\int_x^{x+h}f(t)dt\le M\cdot h$가 성립하고 양변을 $\displaystyle h$로 나누어 주면Caution. 정적분의 부등식을 사용할 때는 적분의 아래끝과 위끝의 순서를 확인해야 한다: $\displaystyle h<0$이면 적분 구간의 방향이 바뀌므로 $\displaystyle M_hh\le\int_x^{x+h}f(t)\,dt\le m_hh$이다. 이를 음수 $\displaystyle h$로 나누면 부등호의 방향이 바뀌어 $\displaystyle m_h\le\frac1h\int_x^{x+h}f(t)\,dt\le M_h$가 된다. 여기서 $\displaystyle m_h,M_h$는 $\displaystyle x$와 $\displaystyle x+h$ 사이에서의 최솟값과 최댓값이다. 따라서 마지막 부등식은 $\displaystyle h$의 부호와 관계없이 성립한다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle m\le\frac{\int_x^{x+h}f(t)dt}h\le M$가 성립한다.

$\displaystyle h\to0$일 때 $\displaystyle x+h\to x$이고 $\displaystyle f(x)$는 닫힌구간 $\displaystyle [x,x+h]$에서 연속이므로 $\displaystyle h\to0$일 때 $\displaystyle f(x+h)\to f(x)$이므로 $\displaystyle h\to0$일 때$\displaystyle m=f(x)\le\lim_{h\to0}\frac{\int_x^{x+h}f(t)dt}h\le M=f(x)$가 되어 제시문 <나>에 의해 $\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{\int_x^{x+h}f(t)dt}h=f(x)$가 된다.Caution. 극한값에 가까워진다는 사실을 그 값과 같다는 뜻으로 해석해선 안 된다: 고정된 $\displaystyle h$에서 최솟값 $\displaystyle m_h$와 최댓값 $\displaystyle M_h$가 곧 $\displaystyle f(x)$인 것은 아니다. $\displaystyle f$의 연속성에 의해 $\displaystyle h\to0$일 때 $\displaystyle m_h,M_h$가 모두 $\displaystyle f(x)$로 수렴하므로, 앞의 부등식에 조임정리를 적용하여 $\displaystyle \lim_{h\to0}\frac1h\int_x^{x+h}f(t)\,dt=f(x)$를 얻는다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.즉,$\displaystyle F^{\prime}(x)=\lim_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}h=\lim_{h\to0}\frac{\int_x^{x+h}f(t)dt}h=f(x)$가 된다.