자연계열 3번

3-1.[풀이]점 $\displaystyle (1,1)$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle y-1=\frac12\left(x-\frac12\right)$. 즉, $\displaystyle y=\frac12x+\frac12$이다. 따라서 점 $\displaystyle \mathrm{Q}_1$의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{Q}_1\left(0,\frac12\right)$이고 $\displaystyle y_1=\frac12$이고, 점 $\displaystyle \mathrm{P}_1(x_1,y_1)$의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{P}_1\left(\frac14,\frac12\right)$이다. 즉 $\displaystyle x_1=\frac14$.Correction. 접선 방정식의 $\displaystyle x-\frac12$는 $\displaystyle x-1$의 오기이다. 접점이 $\displaystyle (1,1)$이므로 접선 방정식은 다음과 같다.$\displaystyle y-1=\frac12(x-1)$그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.점 $\displaystyle \mathrm{P}_n(x_n,y_n)$에서의 접선의 방정식은$\displaystyle \begin{aligned}y-y_n=\frac1{2\sqrt{x_n}}(x-x_n)&\Rightarrow y-\sqrt{x_n}=\frac1{2\sqrt{x_n}}(x-x_n)\\&\Rightarrow y=\frac{x}{2\sqrt{x_n}}+\frac{\sqrt{x_n}}2\end{aligned}$따라서 $\displaystyle \mathrm{Q}_{n+1}(0,y_{n+1})$의 좌표의 $\displaystyle y_{n+1}=\frac{\sqrt{x_n}}2$이므로 $\displaystyle \sqrt{x_{n+1}}=\frac{\sqrt{x_n}}2$이다. 따라서 $\displaystyle x_{n+1}=\frac14x_n$이므로 $\displaystyle x_n=\frac14\left(\frac14\right)^{n-1}=\left(\frac14\right)^n$이고 $\displaystyle y_n=\left(\frac12\right)^n$이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{P}_n(x_n,y_n)$의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{P}_n(x_n,y_n)=\mathrm{P}_n\left(\left(\frac14\right)^n,\left(\frac12\right)^n\right)$이다.

3-2.[풀이]$\displaystyle \begin{aligned}A_n&=x_ny_n-\frac12x_n(y_n-y_{n+1})-\int_0^{x_n}\sqrt x\,dx\\&=x_n\sqrt{x_n}-\frac12\left(\sqrt{x_n}-\sqrt{x_{n+1}}\right)-\frac23x_n\sqrt{x_n}\\&=-\frac16x_n\sqrt{x_n}+x_n\sqrt{x_{n+1}}\\&=-\frac16\left(\frac14\right)^n\left(\frac12\right)^n+\frac12\left(\frac14\right)^n\left(\frac12\right)^{n+1}\\&=-\frac16\left(\frac18\right)^n+\frac14\left(\frac18\right)^n\\&=\frac1{12}\left(\frac18\right)^n\end{aligned}$Correction. 넓이를 계산하는 두 중간식에서 계수를 빠뜨린 실수가 있다. 첫 식에는 괄호 앞의 $\displaystyle x_n$이 빠졌고, 다음 식에는 $\displaystyle x_n\sqrt{x_{n+1}}$ 앞의 $\displaystyle \frac12$가 빠졌다. 해당 항을 올바르게 전개하면 다음과 같다.$\displaystyle -\frac{x_n}{2}(\sqrt{x_n}-\sqrt{x_{n+1}})$$\displaystyle =-\frac{x_n\sqrt{x_n}}2+\frac{x_n\sqrt{x_{n+1}}}2$그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이므로$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}A_n=\frac1{12}\cdot\frac{\frac18}{1-\frac18}=\frac1{12}\cdot\frac17=\frac1{84}$