한양대 에리카캠퍼스 2021학년도 수시 오후1 자연계열 3번 해설

[문제 3] 다음 제시문 <가> ~ <나>를 읽고 물음에 답하시오.

<가> 곡선 $\displaystyle y=\sqrt x$ 위의 점 $\displaystyle (1,1)$ 에서의 접선과 $\displaystyle y$ 축과의 교점을 $\displaystyle \mathrm{Q}_1(0,y_1)$ 이라 하고 점 $\displaystyle \mathrm{Q}_1$ 을 지나고 $\displaystyle x$ 축에 평행한 직선과 곡선 $\displaystyle y=\sqrt x$ 의 교점을 $\displaystyle \mathrm{P}_1(x_1,y_1)$ 라 하자. 점 $\displaystyle \mathrm{P}_1$ 에서의 접선과 $\displaystyle y$ 축과의 교점을 $\displaystyle \mathrm{Q}_2(0,y_2)$ 라 하고 점 $\displaystyle \mathrm{Q}_2$ 를 지나고 $\displaystyle x$ 축에 평행한 직선과 곡선 $\displaystyle y=\sqrt x$ 의 교점을 $\displaystyle \mathrm{P}_2(x_2,y_2)$ 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $\displaystyle n$ 번째 얻은 점을 $\displaystyle \mathrm{P}_n(x_n,y_n)$ 이라 하자.

곡선 y=√x에서 접선과 y축을 이용하여 정한 점 P₁, P₂와 Q₁, Q₂

<나> 첫째항이 $\displaystyle a$ , 공비가 $\displaystyle r$ 인 등비수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 의 일반항은 $\displaystyle a_n=ar^{n-1}$ 이고, $\displaystyle r\ne1$ 일 때 첫째항부터 제 $\displaystyle n$ 항까지의 합은 $\displaystyle S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$ 이다. 또한 $\displaystyle |r|<1$ 일 때, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n=\frac a{1-r}$ 이다.

3-1. 제시문 <가>에서 점 $\displaystyle \mathrm{P}_n(x_n,y_n)$ 의 좌표를 구하여라. [10점]

3-2. 점 $\displaystyle \mathrm{P}_n(x_n,y_n)$ 에서 곡선 $\displaystyle y=\sqrt x$ 에 접하는 직선과 $\displaystyle y$ 축 및 곡선 $\displaystyle y=\sqrt x$ 로 둘러싸인 영역의 넓이를 $\displaystyle A_n$ 이라 할 때, $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}A_n$ 을 구하여라. [20점]

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[10점] · 3-1

3-1.[풀이]점 $\displaystyle (1,1)$ 에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle y-1=\frac12\left(x-\frac12\right)$ . 즉, $\displaystyle y=\frac12x+\frac12$ 이다. 따라서 점 $\displaystyle \mathrm{Q}_1$ 의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{Q}_1\left(0,\frac12\right)$ 이고 $\displaystyle y_1=\frac12$ 이고, 점 $\displaystyle \mathrm{P}_1(x_1,y_1)$ 의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{P}_1\left(\frac14,\frac12\right)$ 이다. 즉 $\displaystyle x_1=\frac14$ .Correction. 접선 방정식의 $\displaystyle x-\frac12$ 는 $\displaystyle x-1$ 의 오기이다. 접점이 $\displaystyle (1,1)$ 이므로 접선 방정식은 다음과 같다. $\displaystyle y-1=\frac12(x-1)$ 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.점 $\displaystyle \mathrm{P}_n(x_n,y_n)$ 에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle \begin{aligned}y-y_n=\frac1{2\sqrt{x_n}}(x-x_n)&\Rightarrow y-\sqrt{x_n}=\frac1{2\sqrt{x_n}}(x-x_n)\\&\Rightarrow y=\frac{x}{2\sqrt{x_n}}+\frac{\sqrt{x_n}}2\end{aligned}$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{Q}_{n+1}(0,y_{n+1})$ 의 좌표의 $\displaystyle y_{n+1}=\frac{\sqrt{x_n}}2$ 이므로 $\displaystyle \sqrt{x_{n+1}}=\frac{\sqrt{x_n}}2$ 이다. 따라서 $\displaystyle x_{n+1}=\frac14x_n$ 이므로 $\displaystyle x_n=\frac14\left(\frac14\right)^{n-1}=\left(\frac14\right)^n$ 이고 $\displaystyle y_n=\left(\frac12\right)^n$ 이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{P}_n(x_n,y_n)$ 의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{P}_n(x_n,y_n)=\mathrm{P}_n\left(\left(\frac14\right)^n,\left(\frac12\right)^n\right)$ 이다.

[20점] · 3-2

3-2.[풀이] $\displaystyle \begin{aligned}A_n&=x_ny_n-\frac12x_n(y_n-y_{n+1})-\int_0^{x_n}\sqrt x\,dx\\&=x_n\sqrt{x_n}-\frac12\left(\sqrt{x_n}-\sqrt{x_{n+1}}\right)-\frac23x_n\sqrt{x_n}\\&=-\frac16x_n\sqrt{x_n}+x_n\sqrt{x_{n+1}}\\&=-\frac16\left(\frac14\right)^n\left(\frac12\right)^n+\frac12\left(\frac14\right)^n\left(\frac12\right)^{n+1}\\&=-\frac16\left(\frac18\right)^n+\frac14\left(\frac18\right)^n\\&=\frac1{12}\left(\frac18\right)^n\end{aligned}$ Correction. 넓이를 계산하는 두 중간식에서 계수를 빠뜨린 실수가 있다. 첫 식에는 괄호 앞의 $\displaystyle x_n$ 이 빠졌고, 다음 식에는 $\displaystyle x_n\sqrt{x_{n+1}}$ 앞의 $\displaystyle \frac12$ 가 빠졌다. 해당 항을 올바르게 전개하면 다음과 같다. $\displaystyle -\frac{x_n}{2}(\sqrt{x_n}-\sqrt{x_{n+1}})$ $\displaystyle =-\frac{x_n\sqrt{x_n}}2+\frac{x_n\sqrt{x_{n+1}}}2$ 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이므로 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}A_n=\frac1{12}\cdot\frac{\frac18}{1-\frac18}=\frac1{12}\cdot\frac17=\frac1{84}$

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자연계열 3번

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