자연계열 2번

2-1.[풀이]10개의 상자가 일렬로 배열되어 있으며 맨 앞의 상자와 맨 뒤의 상자에는 공이 하나씩 들어있고 나머지 상자에 공이 하나 들어있던지 비어있을 전체 경우의 수는 $\displaystyle 2^8$이다. 나열된 상자 중 맨 앞과 맨 뒤를 제외하고 나머지 8개 상자에 공을 4개 이상 넣어야 비어있는 상자가 연속하여 나타나지 않게 할 수 있다. 공을 넣을 상자를 먼저 배열한 뒤 그 상자들 사이를 선택하여 나머지 비어있는 상자를 배열하면 다음과 같다.

case1 : 공을 4개를 나누어 넣는 경우는 $\displaystyle {}_{5}\mathrm{C}_{4}$이다.

case2 : 공을 5개를 나누어 넣는 경우는 $\displaystyle {}_{6}\mathrm{C}_{3}$이다.

case3 : 공을 6개를 나누어 넣는 경우는 $\displaystyle {}_{7}\mathrm{C}_{2}$이다.

case4 : 공을 7개를 나누어 넣는 경우는 $\displaystyle {}_{8}\mathrm{C}_{1}$이다.

case5 : 공을 8개를 나누어 넣는 경우는 $\displaystyle {}_{9}\mathrm{C}_{0}$이다.

$\displaystyle {}_{5}\mathrm{C}_{4}+{}_{6}\mathrm{C}_{3}+{}_{7}\mathrm{C}_{2}+{}_{8}\mathrm{C}_{1}+{}_{9}\mathrm{C}_{0}=55$따라서 비어있는 상자가 연속하여 나타나지 않을 확률은 $\displaystyle \frac{55}{2^8}=\frac{55}{256}$이다.

2-2.[풀이]$\displaystyle n$개의 서로 다른 공을 $\displaystyle 2n$개의 서로 다른 상자에 넣는 방법은 $\displaystyle (2n)^n$가지이다.어떤 상자에도 한 개 이하의 공만 들어있는 경우는 $\displaystyle {}_{2n}\mathrm{P}_{n}$가지이므로, 확률 $\displaystyle p_n=\frac{{}_{2n}\mathrm{P}_{n}}{(2n)^n}$이다.

$\displaystyle \begin{aligned}p_n=\frac{{}_{2n}\mathrm{P}_{n}}{(2n)^n}&=\frac1{2^n}\cdot\frac{2n}n\cdot\frac{2n-1}n\cdot\cdots\cdot\frac{2n-n+2}n\cdot\frac{2n-n+1}n\\&=\frac1{2^n}\cdot\frac{n+n}n\cdot\frac{n+n-1}n\cdot\cdots\cdot\frac{n+2}n\cdot\frac{n+1}n\\&=\frac1{2^n}\left(1+\frac1n\right)\left(1+\frac2n\right)\cdot\cdots\cdot\left(1+\frac{n-1}n\right)\left(1+\frac nn\right)\end{aligned}$$\displaystyle \ln p_n=\ln\frac1{2^n}+\ln\left(1+\frac1n\right)+\ln\left(1+\frac2n\right)+\cdots+\ln\left(1+\frac{n-1}n\right)+\ln\left(1+\frac nn\right)=\ln\frac1{2^n}+\sum_{k=1}^n\ln\left(1+\frac kn\right)$

$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\frac{\ln p_n}n&=\lim_{n\to\infty}\frac1n\left\{-n\ln2+\sum_{k=1}^n\ln\left(1+\frac kn\right)\right\}=-\ln2+\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\ln\left(1+\frac kn\right)\\&=-\ln2+\int_0^1\ln(1+x)dx=-\ln2+\Biggl[(1+x)\ln(1+x)-(1+x)\Biggr]_0^1\\&=-\ln2+2\ln2-1=\ln2-1\end{aligned}$