수리논술, 이게 다다.

자연계열 1번

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한양대 에리카캠퍼스 2021학년도 수시 오후2 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/hanyang-erica/2021su_pm2/jayeon_1

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문제

[문제 1] 다음 제시문 <가> ~ <라>를 읽고 물음에 답하시오.

<가> 원 x2+y2=r2\displaystyle x^2+y^2=r^2 위의 점 P(x1,y1)\displaystyle \mathrm{P}(x_1,y_1)을 지나는 접선의 방정식은 다음과 같다.x1x+y1y=r2\displaystyle x_1x+y_1y=r^2

<나> a>0\displaystyle a>0, b>0\displaystyle b>0이면 a+b2≥ab\displaystyle \frac{a+b}2\ge\sqrt{ab}이다. (단, 등호는 a=b\displaystyle a=b일 때만 성립)

<다> 좌표평면의 원점 O\displaystyle \mathrm{O}에서 x\displaystyle x축의 양의 방향을 시초선으로 하고, 일반각의 크기 θ\displaystyle \theta가 나타내는 동경을 OP\displaystyle \mathrm{OP}라 하자. 중심이 원점이고 반지름의 길이가 r\displaystyle r인 원과 OP\displaystyle \mathrm{OP}가 만나는 점을 P(x,y)\displaystyle \mathrm{P}(x,y)라 할 때, x=rcos⁡θ\displaystyle x=r\cos\theta이고 y=rsin⁡θ\displaystyle y=r\sin\theta이다.

<라>

원과 곡선, 교점 P와 Q, 부채꼴 S₁과 영역 S₂, S₃

1-1. 직선 y=ax+1\displaystyle y=ax+1과 원 C:x2+y2=1\displaystyle \mathrm{C}:x^2+y^2=1의 제3사분면에서의 교점을 R\displaystyle \mathrm{R}이라 하자. 점 R\displaystyle \mathrm{R}에서의 원의 접선이 직선 y=−2\displaystyle y=-2와 만나는 점과, 두 직선 y=ax+1\displaystyle y=ax+1과 y=−2\displaystyle y=-2가 만나는 점 사이의 거리의 최솟값과 그 때의 a\displaystyle a의 값을 구하여라. (단, a>1\displaystyle a>1) [15점]

1-2. 제시문 <라>에 있는 그림과 같이 곡선 f(x)=x2+2mx\displaystyle f(x)=x^2+2mx와 원 C:x2+y2=1\displaystyle \mathrm{C}:x^2+y^2=1의 두 교점 중 제1사분면에 위치한 점을 P\displaystyle \mathrm{P}라 하자. 원점 O\displaystyle \mathrm{O}와 점 A(1,0)\displaystyle \mathrm{A}(1,0)에 대하여 ∠AOP=α\displaystyle \angle\mathrm{AOP}=\alpha라 할 때, m\displaystyle m을 α\displaystyle \alpha로 나타내어라. (단, m>1\displaystyle m>1) [10점]

1-3. 1-2에서 정의된 곡선 f(x)\displaystyle f(x)와 원 C\displaystyle \mathrm{C}의 두 교점 중 제3사분면에 위치한 점을 Q\displaystyle \mathrm{Q}라 하고, 점 B(−1,0)\displaystyle \mathrm{B}(-1,0)에 대하여 ∠BOQ=β\displaystyle \angle\mathrm{BOQ}=\beta라 하자. 제시문 <라>의 그림과 같이 부채꼴 POQ\displaystyle \mathrm{POQ}를 S1\displaystyle S_1, 선분 OP\displaystyle \mathrm{OP}와 함수 f(x)\displaystyle f(x)로 둘러싸인 영역을 S2\displaystyle S_2, 선분 OQ\displaystyle \mathrm{OQ}와 함수 f(x)\displaystyle f(x)로 둘러싸인 영역을 S3\displaystyle S_3이라 하자. 이 때, 세 영역 S1\displaystyle S_1, S2\displaystyle S_2, S3\displaystyle S_3의 넓이를 각각 α\displaystyle \alpha, β\displaystyle \beta로 나타내어라. [20점]

해설강의 준비중

한양대 에리카캠퍼스 2021학년도 수시 오후2 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/hanyang-erica/2021su_pm2/jayeon_1

[15점] · 1-1

1-1.[풀이]C:x2+y2=1\displaystyle \mathrm{C}:x^2+y^2=1와 y=ax+1\displaystyle y=ax+1의 교점은x2+(ax+1)2=1\displaystyle x^2+(ax+1)^2=1, (a2+1)x2+2ax=0\displaystyle (a^2+1)x^2+2ax=0x≠0\displaystyle x\ne0의 해는, x=−2aa2+1\displaystyle x=-\frac{2a}{a^2+1}, y=−a2+1a2+1\displaystyle y=\frac{-a^2+1}{a^2+1}

따라서 R(−2aa2+1,−a2+1a2+1)\displaystyle \mathrm{R}\left(-\frac{2a}{a^2+1},\frac{-a^2+1}{a^2+1}\right)이 되고, 점 R\displaystyle \mathrm{R}에서 접하는 접선의 방정식은 제시문 <가>를 이용하여−2aa2+1x+−a2+1a2+1y=1\displaystyle -\frac{2a}{a^2+1}x+\frac{-a^2+1}{a^2+1}y=1, −2ax+(−a2+1)y=a2+1\displaystyle -2ax+(-a^2+1)y=a^2+1

직선 y=ax+1\displaystyle y=ax+1이 직선 y=−2\displaystyle y=-2와 만나는 점 y=−2\displaystyle y=-2이면, x=−3a\displaystyle x=-\frac3a이므로 (−3a,−2)\displaystyle \left(-\frac3a,-2\right)접선 −2ax+(−a2+1)y=a2+1\displaystyle -2ax+(-a^2+1)y=a^2+1이 직선 y=−2\displaystyle y=-2와 만나는 점 y=−2\displaystyle y=-2이면, x=a2−32a\displaystyle x=\frac{a^2-3}{2a}이므로 (a2−32a,−2)\displaystyle \left(\frac{a^2-3}{2a},-2\right)이 때, 제시문 <나>를 이용하면,∣a2−32a+3a∣=a2+32a=12(a+3a)≥a⋅3a=3\displaystyle \left|\frac{a^2-3}{2a}+\frac3a\right|=\frac{a^2+3}{2a}=\frac12\left(a+\frac3a\right)\ge\sqrt{a\cdot\frac3a}=\sqrt3이 때, 등호가 성립하는 것은 a=3a\displaystyle a=\frac3a, a=3\displaystyle a=\sqrt3따라서 a=3\displaystyle a=\sqrt3일 때, 최솟값은 3\displaystyle \sqrt3이다.

직선 y=ax+1과 원의 교점 R에서의 접선 및 y=-2와의 교점
[10점] · 1-2

1-2.[풀이]f(x)=x2+2mx\displaystyle f(x)=x^2+2mx에 대해, 점 P(cos⁡α,sin⁡α)\displaystyle \mathrm{P}(\cos\alpha,\sin\alpha)가 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x) 위에 있으므로, sin⁡α=cos⁡2α+2mcos⁡α\displaystyle \sin\alpha=\cos^2\alpha+2m\cos\alpha따라서, m=sin⁡α−cos⁡2α2cos⁡α=12(tan⁡α−cos⁡α)\displaystyle m=\frac{\sin\alpha-\cos^2\alpha}{2\cos\alpha}=\frac12(\tan\alpha-\cos\alpha)

[20점] · 1-3

1-3.[풀이]S1=12⋅12(π2−α+π2+β)=12(π−α+β)\displaystyle S_1=\frac12\cdot1^2\left(\frac\pi2-\alpha+\frac\pi2+\beta\right)=\frac12(\pi-\alpha+\beta)

선분 OP:y=xtan⁡α\displaystyle \mathrm{OP}:y=x\tan\alpha와 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)로 둘러싸인 부분의 면적 S2\displaystyle S_2는 제시문 <나>를 이용하여Correction. 제시문 〈나〉는 제시문 〈라〉의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.S2=∫0cos⁡α{xtan⁡α−f(x)}dx=∫0cos⁡α(−x2+xcos⁡α)dx=16cos⁡3α\displaystyle S_2=\int_0^{\cos\alpha}\{x\tan\alpha-f(x)\}dx=\int_0^{\cos\alpha}(-x^2+x\cos\alpha)dx=\frac16\cos^3\alpha

Q(−cos⁡β,−sin⁡β)\displaystyle \mathrm{Q}(-\cos\beta,-\sin\beta)에서 선분 OQ:y=xtan⁡β\displaystyle \mathrm{OQ}:y=x\tan\beta와 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)로 둘러싸인 부분의 면적 S3\displaystyle S_3는 제시문 <나>를 이용하여Correction. 제시문 〈나〉는 제시문 〈라〉의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.S3=∫−cos⁡β0{xtan⁡β−f(x)}dx=∫−cos⁡β0(−x2−xcos⁡β)dx=16cos⁡3β\displaystyle S_3=\int_{-\cos\beta}^0\{x\tan\beta-f(x)\}dx=\int_{-\cos\beta}^0(-x^2-x\cos\beta)dx=\frac16\cos^3\betaS=S1+S2+S3=12(π−α+β)+16(cos⁡3α+cos⁡3β).\displaystyle S=S_1+S_2+S_3=\frac12(\pi-\alpha+\beta)+\frac16(\cos^3\alpha+\cos^3\beta).

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