자연계열 2번

2-1.[풀이]$\displaystyle a_n=\int_0^nxe^{-\frac{x^2}2}dx$$\displaystyle \frac{x^2}2=t$로 치환$\displaystyle x\,dx=dt$$\displaystyle \begin{aligned}a_n&=\int_0^{\frac{n^2}2}e^{-t}dt=\Biggl[-e^{-t}\Biggr]_0^{\frac{n^2}2}\\&=-e^{-\frac{n^2}2}+e^0\\&=1-e^{-\frac{n^2}2}\end{aligned}$그러므로 $\displaystyle a_n=1-e^{-\frac{n^2}2}$

2-2.[풀이]$\displaystyle 1-a_k=e^{-\frac{k^2}2}$이므로$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\frac1{n^3}\sum_{k=1}^n\ln(1-a_k)&=\lim_{n\to\infty}\left(\frac1{n^3}\sum_{k=1}^n\left(\ln\left(e^{-\frac{k^2}2}\right)\right)\right)\\&=\lim_{n\to\infty}\left[-\frac1{2n^3}(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2)\right]\\&=\lim_{n\to\infty}\left(-\frac1{2n^3}\sum_{k=1}^nk^2\right)=\lim_{n\to\infty}\left[-\frac12\frac1n\sum_{k=1}^n\left(\frac kn\right)^2\right]\end{aligned}$이때 $\displaystyle x_x=\frac kn$이라 하면, $\displaystyle \Delta x=\frac1n$이므로 정적분과 급수의 합 사이의 관계에 의하여Correction. 분할점을 나타내는 $\displaystyle x_x$는 $\displaystyle x_k$의 오기이다.$\displaystyle x_k=\frac{k}{n}$그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.(주어진식)$\displaystyle =-\frac12\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\left(\frac kn\right)^2=-\frac12\int_0^1x^2dx=-\frac12\cdot\frac13=-\frac16$