자연계열 1번

[1-1 풀이]

직선 $\displaystyle L$의 기울기가 $\displaystyle \tan \theta$이고 두 점 $\displaystyle \mathrm{A}$, $\displaystyle \mathrm{B}$는 원 위의 점이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}} = \overline{\mathrm{OB}}$에서 $\displaystyle \angle \mathrm{OAB} = \angle \mathrm{OBA} = \theta$, $\displaystyle \angle \mathrm{BOX}= 2 \theta$ 이다.

그러므로 $\displaystyle \mathrm{B} ( 5 \cos 2 \theta , 5 \sin 2 \theta )$ 또는 $\displaystyle \mathrm{B} \left( 5 ( \cos^{2} \theta - \sin^{2} \theta ) , 10 \sin \theta \cos \theta \right)$, $\displaystyle \mathrm{B} \left( 5 ( 2 \cos^{2} \theta - 1 ) , 10 \sin \theta \cos \theta \right)$

점 $\displaystyle \mathrm{O}$에서 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm{H}$라 할 때, $\displaystyle d = \overline{\mathrm{OH}}= \overline{\mathrm{OA}} \sin \theta= 5 \sin \theta$

또한, $\displaystyle \overline{\mathrm{AH}} = \overline{\mathrm{OA}} \cos \theta= 5 \cos \theta$이므로 $\displaystyle l= \overline{\mathrm{AB}}= 2 \times \overline{\mathrm{AH}}= 10 \cos \theta$

[1-2 풀이]

$\displaystyle \theta = \frac{{\pi}}{10}$일 때, $\displaystyle \angle \mathrm{AOB} = \frac{{4}}{5} \pi$이므로 부채꼴 $\displaystyle \mathrm{OAB}$의 호의 길이는 $\displaystyle \widehat{\mathrm{AB}} = \frac{{4}}{5} \pi \times 5 = 4 \pi$이고, 원 $\displaystyle C$의 둘레의 길이는 $\displaystyle 2 \times 5 \pi= 10 \pi$이므로 부채꼴 $\displaystyle \mathrm{OBPA}$의 호의 길이는 $\displaystyle \widehat{\mathrm{BPA}}= 10 \pi - 4 \pi= 6 \pi$이다.

부채꼴 $\displaystyle \mathrm{OAB}$로 만든 원뿔 모양의 용기의 밑면의 반지름을 $\displaystyle r_{1}$이라 하면 $\displaystyle r_{1} = \frac{{\widehat{\mathrm{AB}}}}{2 \pi}= \frac{4\pi}{2\pi}= 2$이고,

모선의 길이가 원 $\displaystyle C$의 반지름 $\displaystyle 5$이므로, 원뿔 모양의 용기의 높이는 $\displaystyle \sqrt{21}$이다.

그러므로 부채꼴 $\displaystyle \mathrm{OAB}$로 만든 원뿔 모양의 용기의 부피를 $\displaystyle V_{1}$이라 할 때 $\displaystyle V_{1}= \frac{1}{3} \times \pi \times 2^{2} \times \sqrt{21}= \frac{{4 \sqrt{21}}}{3} \pi$

같은 방법으로 부채꼴 $\displaystyle \mathrm{OBPA}$로 만든 원뿔 용기의 밑면 반지름을 $\displaystyle r_{2}$라 하면 $\displaystyle r_{2} = 3$이고, 원뿔 모양의 용기의 높이는 $\displaystyle 4$이다. 그러므로 부채꼴 $\displaystyle \mathrm{OBPA}$로 만든 원뿔 모양의 용기의 부피를 $\displaystyle V_{2}$라 할 때 $\displaystyle V_{2} = 12 \pi$

따라서 $\displaystyle V_{1}= \frac{{4 \sqrt{21}}}{3} \pi= \frac{4}{3} \pi \times \sqrt{21}$, $\displaystyle V_{2} = 12 \pi= \frac{4}{3} \pi \times 9$에서$\displaystyle \sqrt{21} < 9 = \sqrt{81}$이므로 $\displaystyle V_{1} < V_{2}$

[1-3 풀이]

원뿔 모양의 용기의 밑면의 반지름은 $\displaystyle r$이고 모선의 길이는 $\displaystyle 5$이므로 부피는 $\displaystyle V ( r ) = \frac{{1}}{3} \pi r^{2} \sqrt{25 - r^{2}}$

이때, $\displaystyle 0 \leq \theta < \frac{{\pi}}{2}$이므로 $\displaystyle r$의 범위는 $\displaystyle \frac{{5}}{2} \leq r < 5$이다.

$\displaystyle \frac{{d}}{d r} V ( r )= \frac{{2}}{3} \pi r \sqrt{25 - r^{2}} - \frac{{\pi}}{3} \frac{{r^{3}}}{\sqrt{25 - r^{2}}}= \frac{{50 r - 3 r^{3}}}{3 \sqrt{25 - r^{2}}} \pi$이므로

따라서 $\displaystyle r = \frac{{5 \sqrt{6}}}{3}$에서 $\displaystyle V ( r )$이 극댓값을 가지므로 $\displaystyle V ( r )$의 최댓값은 $\displaystyle V= V \left( \frac{{5 \sqrt{6}}}{3} \right)= \frac{{250 \sqrt{3}}}{27} \pi$