자연계열 1번

[1-1 풀이]

제시문 <나>에서 $\displaystyle f$는 증가함수이고 제시문 <다>에서 임의의 실수 $\displaystyle t$에 대해 $\displaystyle f ( g ( t ) ) = t$이므로 함수 $\displaystyle f$와 $\displaystyle g$는 역함수 관계이다. 그러므로, $\displaystyle \int_{0}^{f ( a )} {g ( x )} d x$의 값은 $\displaystyle y = b$, $\displaystyle y$축, 그리고 $\displaystyle y = f ( x )$로 둘러싸인 넓이와 같다. 또한, $\displaystyle y = b$, $\displaystyle y$축, 그리고 $\displaystyle y = f ( x )$로 둘러싸인 넓이와 $\displaystyle x = a$, $\displaystyle x$축, 그리고 $\displaystyle y = f ( x )$로 둘러싸인 넓이의 합은 $\displaystyle a b$이다.

따라서, $\displaystyle \int_{0}^{f ( a )} {g ( x )} d x = a b - \int_{0}^{a} {f ( x )} d x = a b - 3$.

[1-2 풀이]

제시문 <다>에 의해서 $\displaystyle f ( x )$와 $\displaystyle g ( x )$는 역함수 관계이므로

$\displaystyle \int_{0}^{f ( c )} {x g^{\prime \prime} ( x )} d x = f ( c ) g^{\prime} ( f ( c ) ) - \int_{0}^{f ( c )} {g^{\prime} ( x )} d x = f ( c ) \frac{{1}}{f^{\prime} ( c )} - g ( f ( c ) ) + g ( 0 ) = 1 - c + g ( f ( 0 ) ) = 1 - c$

[1-3 풀이]

문제 1-1의 결과에 의해,

$\displaystyle \int_{0}^{f ( t )} {g ( x )} d x = t f ( t ) - \int_{0}^{t} {f ( x )} d x$이므로 $\displaystyle \int_{0}^{t} {f ( x )} d x = t f ( t ) - \int_{0}^{t} {f ( x )} d x$이다. 양변을 $\displaystyle t$에 대해 미분하면 $\displaystyle f ( t ) = f ( t ) + t f^{\prime} ( t ) - f ( t )$ 이므로 $\displaystyle f ( t ) = t f^{\prime} ( t )$가 성립한다.

$\displaystyle f ( d ) = f^{\prime} ( d ) = 3$이므로 $\displaystyle f ( d ) = d f^{\prime} ( d )$를 만족하는 $\displaystyle d = 1$이다.