자연계열 3번

[3-1 풀이]

함수 $\displaystyle f ( x )$는 $\displaystyle x$의 값이 정수일 때 $\displaystyle f ( x ) = 0$, 그 외에는 $\displaystyle 1$이므로 $\displaystyle f \left( \sqrt{2 k - 1} \right) = 0$이기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle \sqrt{2 k - 1}$가 정수이다.

$\displaystyle 1 \leq k \leq 50$, $\displaystyle 1 \leq 2 k - 1 \leq 99$이므로 $\displaystyle \sqrt{2 k - 1}$이 정수가 되는 $\displaystyle 2 k - 1$의 값은 $\displaystyle 1$, $\displaystyle 9$, $\displaystyle 25$, $\displaystyle 49$, $\displaystyle 81$

그러므로 $\displaystyle \sqrt{2 k - 1}$이 정수가 되는 $\displaystyle k$의 값은 $\displaystyle 1$, $\displaystyle 5$, $\displaystyle 13$, $\displaystyle 25$, $\displaystyle 41$

따라서 $\displaystyle \sum_{k = 1}^{50} k \times f \left( \sqrt{2 k - 1} \right)= \sum_{k = 1}^{50} k - ( 1 + 5 + 13 + 25 + 41 )= \frac{{50 \times 51}}{2} - 85= 1190$

[3-2 풀이]

$\displaystyle 1 \le k \le 100$인 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle \sqrt{k}$가 정수이기 위해서는 $\displaystyle k = l^{2}$ ($\displaystyle l$은 $\displaystyle 10$ 이하의 자연수) 꼴이어야 하고 그렇지 않은 경우에는 $\displaystyle \frac{{g ( \sqrt{k} ) + h ( \sqrt{k} )}}{2} = \frac{{1 + 1}}{2}= 1$이므로 $\displaystyle f \left( \frac{{g \left( \sqrt{k} \right) + h \left( \sqrt{k} \right)}}{2} \right)= f ( 1 )= 0$이다.

그러므로 $\displaystyle k = l^{2}$ 꼴인 경우는 다음과 같이 구분할 수 있다.

(ⅰ) $\displaystyle l$이 $\displaystyle 2$의 배수이지만 $\displaystyle 3$의 배수가 아닌 경우

$\displaystyle k= l^{2}= 2^{2}$, $\displaystyle 4^{2}$, $\displaystyle 8^{2}$, $\displaystyle 10^{2}$이고 $\displaystyle g ( \sqrt{k} )= 0$, $\displaystyle h ( \sqrt{k} ) = 1$이므로

$\displaystyle f \left( \frac{{g \left( \sqrt{k} \right) + h \left( \sqrt{k} \right)}}{2} \right)= f \left( \frac{1}{2} \right)= 1$

(ⅱ) $\displaystyle l$이 $\displaystyle 3$의 배수이지만 $\displaystyle 2$의 배수가 아닌 경우

$\displaystyle k= l^{2}= 3^{2}$, $\displaystyle 9^{2}$이고 $\displaystyle g ( \sqrt{k} )= 1$, $\displaystyle h ( \sqrt{k} ) = 0$이므로

$\displaystyle f \left( \frac{{g \left( \sqrt{k} \right) + h \left( \sqrt{k} \right)}}{2} \right)= f \left( \frac{1}{2} \right)= 1$

(ⅲ) $\displaystyle l$이 $\displaystyle 2$의 배수이고 $\displaystyle 3$의 배수인 경우

$\displaystyle k= l^{2}= 6^{2}$이고 $\displaystyle g ( \sqrt{k} )= 0$, $\displaystyle h ( \sqrt{k} ) = 0$이므로

$\displaystyle f \left( \frac{{g \left( \sqrt{k} \right) + h \left( \sqrt{k} \right)}}{2} \right)= f \left( 0 \right)= 0$

(ⅳ) $\displaystyle l$이 $\displaystyle 2$의 배수, $\displaystyle 3$의 배수가 모두 아닌 경우

$\displaystyle k= l^{2}= 1^{2}$, $\displaystyle 5^{2}$, $\displaystyle 7^{2}$이고 $\displaystyle g ( \sqrt{k} )= 1$, $\displaystyle h ( \sqrt{k} ) = 1$이므로

$\displaystyle f \left( \frac{{g \left( \sqrt{k} \right) + h \left( \sqrt{k} \right)}}{2} \right)= f \left( 1 \right)= 0$

따라서 (ⅰ)~(ⅳ)에 의해 $\displaystyle \sum_{k = 1}^{100} f \left( \frac{{g \left( \sqrt{k} \right) + h \left( \sqrt{k} \right)}}{2} \right)= 4 + 2= 6$이다.