수리논술, 이게 다다.

자연계열 3번

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한양대 에리카캠퍼스 2022학년도 수시 오후 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/hanyang-erica/2022su_pm/jayeon_3

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문제

[문제 3] 다음 제시문 <가>~<다>를 읽고 물음에 답하시오.

<가> 그림과 같이 두 점 A(−1,0)\displaystyle \mathrm{A} \left( - 1 , 0 \right), B(1,0)\displaystyle \mathrm{B} \left( 1 , 0 \right)에 대하여 선분 AB\displaystyle \mathrm{AB}를 지름으로 하는 원 위의 제1사분면에 있는 한 점을 P\displaystyle \mathrm{P}라 하자. 점 P\displaystyle \mathrm{P}에서 x\displaystyle x축에 내린 수선의 발을 H\displaystyle \mathrm{H}, ∠POB=θ\displaystyle \angle \mathrm{POB} = \theta (0<θ<π2)\displaystyle \left( 0 < \theta < \frac{{\pi}}{2} \right)라 하자. 점 Q\displaystyle \mathrm{Q}는 선분 OB\displaystyle \mathrm{OB}위의 점이고 ∠APO=∠OPQ\displaystyle \angle \mathrm{APO} = \angle \mathrm{OPQ}를 만족시킨다. (단, O\displaystyle \mathrm{O}는 원점이다.)

지름 AB인 원 위 점 P와 수선의 발 H, 선분 OB 위의 점 Q

<나> lim⁡θ→0+sin⁡θθ\displaystyle \lim_{\theta \to 0 +} {\frac{{\sin \theta}}{\theta}}의 값은

lim⁡θ→0+sin⁡θθ=1\displaystyle \lim_{\theta \to 0 +} {\frac{{\sin \theta}}{\theta} = 1}

<다> 삼각형 ABC\displaystyle \mathrm{ABC}에서 세 내각 ∠A\displaystyle \angle \mathrm{A}, ∠B\displaystyle \angle \mathrm{B}, ∠C\displaystyle \angle \mathrm{C}의 크기를 각각 A\displaystyle A, B\displaystyle B, C\displaystyle C로 나타내고 이들의 대변의 길이를 각각 a\displaystyle a, b\displaystyle b, c\displaystyle c라 하면, 다음의 식이 성립한다.

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C\displaystyle \frac{{a}}{\sin A} = \frac{{b}}{\sin B} = \frac{{c}}{\sin C}

3-1. 선분 BH\displaystyle \mathrm{BH}의 길이를 f(θ)\displaystyle f ( \theta )라 할 때, 제시문 <나>를 이용하여 lim⁡θ→0+f(θ)θ2\displaystyle \lim_{\theta \to 0 +} {\frac{{f ( \theta )}}{\theta^{2}}}의 값을 구하시오. [10점]

3-2. 삼각형 PAQ\displaystyle \mathrm{PAQ}의 넓이를 g(θ)\displaystyle g ( \theta ), 삼각형 PQB\displaystyle \mathrm{PQB}의 넓이를 h(θ)\displaystyle h ( \theta )라 할 때, lim⁡θ→0+h(θ)g(θ)\displaystyle \lim_{\theta \to 0 +} {\frac{{h ( \theta )}}{g ( \theta )}}의 값을 구하시오. [20점]

해설강의 준비중

한양대 에리카캠퍼스 2022학년도 수시 오후 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/hanyang-erica/2022su_pm/jayeon_3

[3-1 풀이]

BH‾=f(θ)=OB‾−OH‾=1−cos⁡θ\displaystyle {\overline{\mathrm{BH}}} =f ( \theta ) = {\overline{\mathrm{OB}}} - {\overline{\mathrm{OH}}}= 1 - \cos \theta.

따라서 lim⁡θ→0+f(θ)θ2=lim⁡θ→0+1−cos⁡θθ2=lim⁡θ→0+(1−cos⁡θ)(1+cos⁡θ)θ2(1+cos⁡θ)\displaystyle \lim_{\theta\to0+}\frac{f(\theta)}{\theta^2}=\lim_{\theta\to0+}\frac{1-\cos\theta}{\theta^2}=\lim_{\theta\to0+}\frac{(1-\cos\theta)(1+\cos\theta)}{\theta^2(1+\cos\theta)}=lim⁡θ→0+sin⁡2θθ2(1+cos⁡θ)=12\displaystyle =\lim_{\theta\to0+}\frac{\sin^2\theta}{\theta^2(1+\cos\theta)}=\frac12

[3-2 풀이]

h(θ)=△APB−g(θ)\displaystyle h \left( \theta \right) = \triangle \mathrm{APB} - g \left( \theta \right)

g(θ)=△PAQ=12AQ‾×PH‾=12(AO‾+OQ‾)sin⁡θ=12(1+OQ‾)sin⁡θ\displaystyle g \left( \theta \right) = \triangle \mathrm{PAQ} = \frac{{1}}{2} {\overline{\mathrm{AQ}}} \times {\overline{\mathrm{PH}}} = \frac{{1}}{2} \left( {\overline{\mathrm{AO}}} + {\overline{OQ}} \right) \sin \theta= \frac{{1}}{2} \left( 1 + {\overline{\mathrm{OQ}}} \right) \sin \theta

∠APB=π2,AB‾=2\displaystyle \angle \mathrm{APB} = \frac{{\pi}}{2} , {\overline{\mathrm{AB}}}= 2 이고 ∠PAB=θ2\displaystyle \angle \mathrm{PAB} = \frac{{\theta}}{2} 이므로 △APB=sin⁡θ\displaystyle \triangle \mathrm{APB} = \sin \theta이고 △POQ\displaystyle \triangle \mathrm{POQ}에서

∠OQP=π−3θ2\displaystyle \angle \mathrm{OQP} = \pi - \frac{{3 \theta}}{2}, OP‾=1\displaystyle {\overline{\mathrm{OP}}}= 1 이므로 제시문 <다> 에 의하여

OQ‾sin⁡θ2=1sin⁡(π−3θ2)=1sin⁡3θ2\displaystyle \frac{{{\overline{\mathrm{OQ}}}}}{\sin \frac{{\theta}}{2}}= \frac{{1}}{\sin \left( \pi - \frac{{3 \theta}}{2} \right)} = \frac{{1}}{\sin \frac{{3 \theta}}{2}}이므로 OQ‾=sin⁡θ2sin⁡3θ2\displaystyle {\overline{\mathrm{OQ}}}= \frac{{\sin \frac{{\theta}}{2}}}{\sin \frac{{3 \theta}}{2}} .

따라서 g(θ)=12(1+sin⁡θ2sin⁡3θ2)sin⁡θ\displaystyle g ( \theta ) = \frac{{1}}{2} \left( 1 + \frac{{\sin \frac{{\theta}}{2}}}{\sin \frac{{3 \theta}}{2}} \right) \sin \theta 이고

h(θ)=△APB−g(θ)=sin⁡θ−12sin⁡θ[1+sin⁡θ2sin⁡3θ2]=12sin⁡θ[1−sin⁡θ2sin⁡3θ2]\displaystyle h \left( \theta \right) = \triangle \mathrm{APB} - g \left( \theta \right) = \sin \theta - \frac{{1}}{2} \sin \theta \left[ 1 + \frac{{\sin \frac{{\theta}}{2}}}{\sin \frac{{3 \theta}}{2}} \right] = \frac{{1}}{2} \sin \theta \left[ 1 - \frac{{\sin \frac{{\theta}}{2}}}{\sin \frac{{3 \theta}}{2}} \right].

lim⁡θ→0+sin⁡θ2sin⁡3θ2=lim⁡θ→0+3θ2×θ2×sin⁡θ23θ2×θ2×sin⁡3θ2=13\displaystyle \lim_{\theta \to 0 +} {\frac{{\sin \frac{{\theta}}{2}}}{\sin \frac{{3 \theta}}{2}}} = \lim_{\theta \to 0 +} {\frac{{\frac{{3 \theta}}{2} \times \frac{{\theta}}{2} \times \sin \frac{{\theta}}{2}}}{\frac{{3 \theta}}{2} \times \frac{{\theta}}{2} \times \sin \frac{{3 \theta}}{2}} = \frac{{1}}{3}} 이므로

lim⁡θ→0+h(θ)g(θ)=lim⁡θ→0+12sin⁡θ[1−sin⁡θ2sin⁡3θ2]12sin⁡θ[1+sin⁡θ2sin⁡3θ2]=1−131+13=12\displaystyle \lim_{\theta \to 0 +} {\frac{{h \left( \theta \right)}}{g \left( \theta \right)} = \lim_{\theta \to 0 +} {\frac{{\frac{{1}}{2} \sin \theta \left[ 1 - \frac{{\sin \frac{{\theta}}{2}}}{\sin \frac{{3 \theta}}{2}} \right]}}{\frac{{1}}{2} \sin \theta \left[ 1 + \frac{{\sin \frac{{\theta}}{2}}}{\sin \frac{{3 \theta}}{2}} \right]} = \frac{{1 - \frac{{1}}{3}}}{1 + \frac{{1}}{3}} = \frac{{1}}{2}}}

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