자연계열 2번

[2-1 풀이]

지수함수 $\displaystyle y = 2^{- \frac{{x}}{n}}$ 와 직선 $\displaystyle x = \frac{{n}}{2}$ 의 교점은 $\displaystyle \mathrm{A}_{n}= \left( \frac{{n}}{2} , 2^{- \frac{1}{2}} \right)= \left( \frac{{n}}{2} , \frac{{\sqrt{2}}}{2} \right)$이다.

직선 $\displaystyle \mathrm{OA}_{n}$의 방정식은 $\displaystyle y = \frac{{\sqrt{2}}}{n} x$ (혹은 $\displaystyle \sqrt{2} x - n y = 0$) 이고, $\displaystyle {\overline{\mathrm{OA}_{n}}} = \sqrt{\frac{{n^{2} + 2}}{4}} = \frac{{\sqrt{n^{2} + 2}}}{2}$ 이다.

[2-2 풀이]

원 $\displaystyle C_{n}$이 $\displaystyle x$축에 접하는 점을 $\displaystyle \mathrm{B}_{n}$이라 하면, $\displaystyle {\overline{\mathrm{OA}_{n}}} = {\overline{\mathrm{OB}_{n}}} = \frac{{\sqrt{n^{2} + 2}}}{2}$ 이다.

원의 반지름을 $\displaystyle r_{n} > 0$ 이라 할 때, 원의 중심은 $\displaystyle \left( \frac{{\sqrt{n^{2} + 2}}}{2} , r_{n} \right)$이다.

원의 중심에서 직선 $\displaystyle \mathrm{OA}_{n}$, 즉 직선 $\displaystyle \sqrt{2} x - n y = 0$에 이르는 거리는 원의 반지름 $\displaystyle r_{n}$ 과 같으므로

$\displaystyle r_{n} = \frac{{\left| \sqrt{\frac{{n^{2} + 2}}{2}} - n r_{n} \right|}}{\sqrt{n^{2} + 2}}$이다. 즉, $\displaystyle \sqrt{n^{2} + 2} r_{n} = \left| \sqrt{\frac{{n^{2} + 2}}{2}} - n r_{n} \right|$ 이다.

절댓값 안 수식의 부호가 양(+)인 경우, $\displaystyle r_{n} = \frac{{\sqrt{n^{2} + 2}}}{\sqrt{2} ( \sqrt{n^{2} + 2} + n )}$이다.

절댓값 안 수식의 부호가 음(-)인 경우, $\displaystyle ( \sqrt{n^{2} + 2} - n ) r_{n} = - \frac{{\sqrt{n^{2} + 2}}}{\sqrt{2}}$로 $\displaystyle r_{n} > 0$인 해가 없다.

그러므로 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} {2 r_{n} = \lim_{n \to \infty} {\frac{{2 \sqrt{n^{2} + 2}}}{\sqrt{2} ( \sqrt{n^{2} + 2} + n )} = \frac{{\sqrt{2}}}{2}}}$ 이다.