한양대 서울캠퍼스 2018학년도 수시 자연계열 (오전) 1번 해설

[문제 1] 다음 물음에 답하시오. (50점)

1. 매개변수 $\displaystyle t$ 로 나타낸 타원 $\displaystyle \begin{cases}x=a\cos t\\y=b\sin t\end{cases}$ $\displaystyle (a,b>0)$ 이 주어져 있다. 타원 위의 한 점 $\displaystyle (a\cos t,b\sin t)$ $\displaystyle \left(0<t<\frac\pi2\right)$ 에서의 접선이 $\displaystyle x$ 축, $\displaystyle y$ 축과 만나는 점을 각각 A, B라 하고, 직선 $\displaystyle y=-b$ , $\displaystyle x=-a$ 와 만나는 점을 각각 A′, B′이라 하자. 선분의 길이의 비 $\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{A'B'}}}{\overline{\mathrm{AB}}}$ 을 $\displaystyle t$ 에 대한 식으로 나타내시오.

2. 장축과 단축의 길이가 각각 $\displaystyle 2a,\,2b$ 인 타원 $\displaystyle C$ 가 있다. 타원 $\displaystyle C$ 를 포함하는 직각삼각형 중에서, 세 변이 타원과 각각 한 점에서 접하고, 두 변이 각각 장축과 단축에 평행한 직각삼각형의 넓이의 최솟값을 구하시오.

3. 빗변이 아닌 두 변의 길이가 각각 $\displaystyle p,\,q$ 인 직각삼각형 $\displaystyle \triangle$ 가 있다. 직각삼각형 $\displaystyle \triangle$ 에 포함되는 타원 중에서, $\displaystyle \triangle$ 의 세 변과 각각 한 점에서 접하고, 장축 및 단축이 각각 길이 $\displaystyle p,\,q$ 인 변에 평행한 타원을 생각하자. 이러한 타원의 장축과 단축의 길이의 곱의 최댓값을 구하시오.

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1.

점 $\displaystyle (a\cos t,b\sin t)$ $\displaystyle \left(0<t<\frac\pi2\right)$ 에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle \frac{\cos t}a x+\frac{\sin t}b y=1$ 이므로, $\displaystyle \mathrm A\left(\frac a{\cos t},0\right),\quad\mathrm B\left(0,\frac b{\sin t}\right),$ $\displaystyle \mathrm A'\left(\frac{a(1+\sin t)}{\cos t},-b\right),\quad\mathrm B'\left(-a,\frac{b(1+\cos t)}{\sin t}\right)$ 이다. 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{\frac{a^2}{\cos^2t}+\frac{b^2}{\sin^2t}}$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{A'B'}}=\sqrt{\frac{a^2(1+\sin t+\cos t)^2}{\cos^2t}+\frac{b^2(1+\cos t+\sin t)^2}{\sin^2t}}$ 이고, $\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{A'B'}}}{\overline{\mathrm{AB}}}=1+\cos t+\sin t$ 이다.

2. 타원을 매개변수 곡선 $\displaystyle \begin{cases}x=a\cos t\\y=b\sin t\end{cases}$ ( $\displaystyle a,b$ 는 양수)로 나타내자. 두 변이 각각 타원의 장축, 단축에 평행한 직각삼각형 중에서 넓이가 최소인 직각삼각형의 세 변은 타원과 각각 한 점에서 만난다. 이러한 삼각형은 위의 그림에서 $\displaystyle \triangle\mathrm{A'B'O'}$ 이고, 타원과 빗변 A′B′와의 교점을 $\displaystyle (a\cos t,b\sin t)$ $\displaystyle \left(0<t<\frac\pi2\right)$ 라 하면, 문제 1번으로부터, $\displaystyle \triangle\mathrm{A'B'O'}$ 의 넓이= $\displaystyle \triangle\mathrm{ABO}$ 의 넓이 $\displaystyle \times(1+\cos t+\sin t)^2=\frac{ab}2\frac{(1+\cos t+\sin t)^2}{\sin t\cos t}$ 이다. $\displaystyle f(t)=\frac{(1+\cos t+\sin t)^2}{\sin t\cos t}$ 라 하면, $\displaystyle f^{\prime}(t)=-\frac{(1+\cos t+\sin t)^2(\cos t-\sin t)}{\sin^2t\cos^2t}$ 이고, $\displaystyle f(t)$ 는 오른쪽 표와 같이 $\displaystyle t=\frac\pi4$ 에서 최솟값 $\displaystyle f\left(\frac\pi4\right)=2(1+\sqrt2)^2$ 를 갖는다.

$\displaystyle t$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \cdots$	$\displaystyle \frac\pi4$	$\displaystyle \cdots$	$\displaystyle \frac\pi2$
$\displaystyle f(x)$		$\displaystyle -$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +$
$\displaystyle f^{\prime}(x)$		$\displaystyle \searrow$	$\displaystyle 2(1+\sqrt2)^2$	$\displaystyle \nearrow$

Correction. 증감표에서 부호 행의

\displaystyle f(x)

는

\displaystyle f^{\prime}(t)

, 증감과 함숫값 행의

\displaystyle f^{\prime}(x)

는

\displaystyle f(t)

의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

따라서, $\displaystyle \triangle\mathrm{A'B'O'}$ 의 넓이는 $\displaystyle t=\frac\pi4$ 일 때 최소이고, 이 때 최소값 $\displaystyle \frac{ab}2\times2(1+\sqrt2)^2=ab(1+\sqrt2)^2=ab(3+2\sqrt2)$ 를 갖는다.

3. 구하려는 타원을 매개변수 곡선 $\displaystyle \begin{cases}x=a\cos t\\y=b\sin t\end{cases}$ ( $\displaystyle a,b$ 는 양수)로 나타내자. 타원의 중심과 빗변과의 교점을 잇는 선분과 타원의 한 축이 이루는 각을 $\displaystyle t$ $\displaystyle \left(0<t<\frac\pi2\right)$ 라 하면, 문제 2번의 풀이로부터, $\displaystyle \triangle$ 의 넓이= $\displaystyle \frac12pq=\frac{ab}2f(t)$ 이다. $\displaystyle 0<t<\frac\pi2$ 에서 $\displaystyle f(t)>0$ 이고 $\displaystyle t=\frac\pi4$ 일 때 $\displaystyle f(t)$ 는 최소이므로, 같은 점 $\displaystyle t=\frac\pi4$ 일 때 $\displaystyle \frac1{f(t)}$ 은 최대이다.따라서 타원의 장축과 단축의 길이의 곱 $\displaystyle 4ab=\frac4{f(t)}pq$ 는 최대값 $\displaystyle \frac4{f\left(\frac\pi4\right)}pq=\frac{2pq}{(1+\sqrt2)^2}$ 를 갖는다.

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자연계열 (오전) 1번

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