자연계열 (오전) 1번

1.

점 $\displaystyle (a\cos t,b\sin t)$ $\displaystyle \left(0<t<\frac\pi2\right)$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle \frac{\cos t}a x+\frac{\sin t}b y=1$이므로,$\displaystyle \mathrm A\left(\frac a{\cos t},0\right),\quad\mathrm B\left(0,\frac b{\sin t}\right),$$\displaystyle \mathrm A'\left(\frac{a(1+\sin t)}{\cos t},-b\right),\quad\mathrm B'\left(-a,\frac{b(1+\cos t)}{\sin t}\right)$이다. 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{\frac{a^2}{\cos^2t}+\frac{b^2}{\sin^2t}}$,$\displaystyle \overline{\mathrm{A'B'}}=\sqrt{\frac{a^2(1+\sin t+\cos t)^2}{\cos^2t}+\frac{b^2(1+\cos t+\sin t)^2}{\sin^2t}}$이고, $\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{A'B'}}}{\overline{\mathrm{AB}}}=1+\cos t+\sin t$이다.

2. 타원을 매개변수 곡선 $\displaystyle \begin{cases}x=a\cos t\\y=b\sin t\end{cases}$ ($\displaystyle a,b$는 양수)로 나타내자. 두 변이 각각 타원의 장축, 단축에 평행한 직각삼각형 중에서 넓이가 최소인 직각삼각형의 세 변은 타원과 각각 한 점에서 만난다. 이러한 삼각형은 위의 그림에서 $\displaystyle \triangle\mathrm{A'B'O'}$이고, 타원과 빗변 A′B′와의 교점을 $\displaystyle (a\cos t,b\sin t)$ $\displaystyle \left(0<t<\frac\pi2\right)$라 하면, 문제 1번으로부터,$\displaystyle \triangle\mathrm{A'B'O'}$의 넓이=$\displaystyle \triangle\mathrm{ABO}$의 넓이$\displaystyle \times(1+\cos t+\sin t)^2=\frac{ab}2\frac{(1+\cos t+\sin t)^2}{\sin t\cos t}$이다.$\displaystyle f(t)=\frac{(1+\cos t+\sin t)^2}{\sin t\cos t}$라 하면, $\displaystyle f^{\prime}(t)=-\frac{(1+\cos t+\sin t)^2(\cos t-\sin t)}{\sin^2t\cos^2t}$이고,$\displaystyle f(t)$는 오른쪽 표와 같이 $\displaystyle t=\frac\pi4$에서 최솟값 $\displaystyle f\left(\frac\pi4\right)=2(1+\sqrt2)^2$를 갖는다.

따라서, $\displaystyle \triangle\mathrm{A'B'O'}$의 넓이는 $\displaystyle t=\frac\pi4$일 때 최소이고, 이 때 최소값 $\displaystyle \frac{ab}2\times2(1+\sqrt2)^2=ab(1+\sqrt2)^2=ab(3+2\sqrt2)$를 갖는다.

3. 구하려는 타원을 매개변수 곡선 $\displaystyle \begin{cases}x=a\cos t\\y=b\sin t\end{cases}$ ($\displaystyle a,b$는 양수)로 나타내자. 타원의 중심과 빗변과의 교점을 잇는 선분과 타원의 한 축이 이루는 각을 $\displaystyle t$ $\displaystyle \left(0<t<\frac\pi2\right)$라 하면, 문제 2번의 풀이로부터, $\displaystyle \triangle$의 넓이=$\displaystyle \frac12pq=\frac{ab}2f(t)$이다.$\displaystyle 0<t<\frac\pi2$에서 $\displaystyle f(t)>0$이고 $\displaystyle t=\frac\pi4$일 때 $\displaystyle f(t)$는 최소이므로, 같은 점 $\displaystyle t=\frac\pi4$일 때 $\displaystyle \frac1{f(t)}$은 최대이다.따라서 타원의 장축과 단축의 길이의 곱 $\displaystyle 4ab=\frac4{f(t)}pq$는 최대값 $\displaystyle \frac4{f\left(\frac\pi4\right)}pq=\frac{2pq}{(1+\sqrt2)^2}$를 갖는다.