자연계열 (오후1) 1번

1.

원 $\displaystyle C$의 중심 $\displaystyle (3,4,12)$와 원점과의 거리 $\displaystyle =\sqrt{3^2+4^2+12^2}=13$이다.따라서 $\displaystyle C$의 반지름 $\displaystyle =\sqrt{20^2-13^2}=\sqrt{231}$이고, $\displaystyle C$의 넓이는 $\displaystyle 231\pi$이다.평면 $\displaystyle 4x+5y-20z=1$의 법선벡터를 $\displaystyle (4,5,-20)$, 원 $\displaystyle C$를 포함하는 평면의 법선벡터를 $\displaystyle (3,4,12)$로 택하자. 두 평면이 이루는 각을 $\displaystyle \theta\left(0\le\theta\le\frac\pi2\right)$라 하면,$\displaystyle \cos\theta=\frac{|(3,4,12)\cdot(4,5,-20)|}{\sqrt{3^2+4^2+12^2}\sqrt{4^2+5^2+(-20)^2}}=\frac{16}{21}$이다.따라서 구하는 정사영의 넓이는 $\displaystyle 231\pi\cdot\frac{16}{21}=176\pi$이다.

2. 평면 $\displaystyle \alpha$의 방정식은 $\displaystyle z=my$또는 $\displaystyle y=0$($\displaystyle xz$-평면)라 할 수 있다. 따라서 $\displaystyle \alpha$의 법선벡터는 $\displaystyle (0,m,-1)$ 또는 $\displaystyle (0,1,0)$로 택할 수 있다. 원 $\displaystyle C$를 포함하는 평면이 이루는 각을 $\displaystyle \theta\left(0\le\theta\le\frac\pi2\right)$라 하면$\displaystyle \cos\theta=\frac{|(0,m,-1)\cdot(3,4,12)|}{\sqrt{0^2+m^2+(-1)^2}\sqrt{3^2+4^2+12^2}}$ 또는 $\displaystyle \frac{|(0,1,0)\cdot(3,4,12)|}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}\sqrt{3^2+4^2+12^2}}=\frac{|4m-12|}{13\sqrt{m^2+1}}$ 또는 $\displaystyle \frac4{13}$이다.$\displaystyle \frac{|4m-12|}{13\sqrt{m^2+1}}$는 $\displaystyle m=-\frac13$일 때 최대값 $\displaystyle \frac4{13}\sqrt{10}$을 갖는다. 따라서 $\displaystyle \frac{A_\alpha}A=\cos\theta$의 최댓값은 $\displaystyle \frac4{13}\sqrt{10}$이다.

(다른 풀이) 평면 $\displaystyle \alpha$의 방정식은 $\displaystyle (\cos t)y+(\sin t)z=0$이라 할 수 있고 따라서 $\displaystyle (0,\cos t,\sin t)$를 $\displaystyle \alpha$의 법선벡터로 택하자.평면 $\displaystyle \alpha$와 원 $\displaystyle C$를 포함하는 평면이 이루는 각을 $\displaystyle \theta\left(0\le\theta\le\frac\pi2\right)$라 하면,$\displaystyle \begin{aligned}\frac{A_\alpha}A=\cos\theta&=\frac{|(0,\cos t,\sin t)\cdot(3,4,12)|}{\sqrt{0^2+\cos^2t+\sin^2t}\sqrt{3^2+4^2+12^2}}=\frac{|4\cos t+12\sin t|}{13}\\&=\frac{4\sqrt{10}}{13}\left|\frac1{\sqrt{10}}\cos t+\frac3{\sqrt{10}}\sin t\right|\\&=\frac{4\sqrt{10}}{13}|\sin\beta\cos t+\cos\beta\sin t|=\frac{4\sqrt{10}}{13}|\sin(\beta+t)|\le\frac4{13}\sqrt{10}\end{aligned}$(단, $\displaystyle \beta$는 $\displaystyle \sin\beta=\frac1{\sqrt{10}},\ \cos\beta=\frac3{\sqrt{10}}$을 만족한다.) 따라서 $\displaystyle \frac{A_\alpha}A$의 최댓값은 $\displaystyle \frac4{13}\sqrt{10}$이다.

3. 원이 놓여 있는 평면의 단위 법선벡터를 $\displaystyle (a,b,c)$라 하자. ($\displaystyle a^2+b^2+c^2=1$이다.) 원의 $\displaystyle xy$-평면 위로의 정사영의 넓이$\displaystyle =6\pi=\frac{|(0,0,1)\cdot(a,b,c)|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\cdot\sqrt{10}^{\,2}\pi=|c|\cdot10\pi$이다. 따라서 $\displaystyle |c|=\frac35$이고, $\displaystyle a^2+b^2=1-c^2=\frac{16}{25}$이다.

원의 평면 $\displaystyle 3x-y=1$위로의 정사영의 넓이$\displaystyle =\frac{|(3,-1,0)\cdot(a,b,c)|}{\sqrt{3^2+(-1)^2+0^2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\cdot\pi(\sqrt{10})^2=\sqrt{10}\pi|3a-b|$이다.$\displaystyle |3a-b|=k$라 하면, $\displaystyle a,b$는 $\displaystyle a^2+b^2=\frac{16}{25}=\left(\frac45\right)^2$을 만족하므로,$\displaystyle k$의 최대값은 $\displaystyle \frac45\sqrt{10}$이다.따라서 구하는 정사영의 넓이의 최대값은 $\displaystyle \sqrt{10}\pi\cdot\frac45\sqrt{10}=8\pi$이다.