자연계열 (오후1) 2번

1. 원점 $\displaystyle (0,0)$과 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle (x,f(x))$ 사이의 거리의 제곱을 $\displaystyle g(x)$ $\displaystyle (0\le x\le1)$라 하자.함수 $\displaystyle g(x)$의 정의에 의해 $\displaystyle g(x)=x^2+(1-x^n)^{\frac2n}$이다.$\displaystyle g(0)=1,\ g(1)=1$이고, $\displaystyle g^{\prime}(x)=2x-2(1-x^n)^{\frac2n-1}x^{n-1}$이다. $\displaystyle 0<x<1$일 때$\displaystyle g^{\prime}(x)>0\Leftrightarrow x-(1-x^n)^{\frac2n-1}x^{n-1}>0\Leftrightarrow x^{2-n}-(1-x^n)^{\frac{2-n}n}>0\Leftrightarrow x^{2-n}>(1-x^n)^{\frac{2-n}n}\Leftrightarrow x<(1-x^n)^{\frac1n}$ ($\displaystyle n\ge3$이므로)$\displaystyle \Leftrightarrow x^n<1-x^n\Leftrightarrow x^n<\frac12\Leftrightarrow x<\left(\frac12\right)^{\frac1n}$비슷한 방법으로 $\displaystyle g^{\prime}(x)=0\Leftrightarrow x=\left(\frac12\right)^{\frac1n}$, 그리고 $\displaystyle g^{\prime}(x)<0\Leftrightarrow x>\left(\frac12\right)^{\frac1n}$임을 확인할 수 있다.따라서 $\displaystyle x=\left(\frac12\right)^{\frac1n}$에서 $\displaystyle g(x)$가 최대가 된다.$\displaystyle f\left(\left(\frac12\right)^{\frac1n}\right)=\left(\frac12\right)^{\frac1n}$이므로 원하는 점 A의 좌표는 $\displaystyle \left(\left(\frac12\right)^{\frac1n},\left(\frac12\right)^{\frac1n}\right)$이다.

2. $\displaystyle 0<x<1$일 때 $\displaystyle f^{\prime}(x)=-(1-x^n)^{\frac{1-n}n}x^{n-1}<0$이다.곡선 $\displaystyle y=f(x)$의 한 점 $\displaystyle (x_0,f(x_0))$의 접선의 방정식은 $\displaystyle y=f^{\prime}(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$점 P의 좌표를 $\displaystyle (p,0)$, 점 Q의 좌표를 $\displaystyle (0,q)$이라 하면 $\displaystyle 0=f^{\prime}(x_0)(p-x_0)+f(x_0),\ q=f^{\prime}(x_0)(0-x_0)+f(x_0)$따라서 $\displaystyle p=\frac{f(x_0)-x_0f^{\prime}(x_0)}{-f^{\prime}(x_0)},\quad q=f(x_0)-x_0f^{\prime}(x_0)$즉, 점 P의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{f(x_0)-x_0f^{\prime}(x_0)}{-f^{\prime}(x_0)},0\right)$, 점 Q의 좌표는 $\displaystyle (0,f(x_0)-x_0f^{\prime}(x_0))$이다.이로부터 선분 PQ의 길이의 제곱을 $\displaystyle h(x_0)$라 하면$\displaystyle h(x_0)=\frac{|f(x_0)-x_0f^{\prime}(x_0)|^2}{|f^{\prime}(x_0)|^2}\left(1+(f^{\prime}(x_0))^2\right)\quad(0<x_0<1)$을 얻는다.한편 $\displaystyle |f(x_0)-x_0f^{\prime}(x_0)|=\left|(1-x_0^n)^{\frac1n}+x_0^n(1-x_0^n)^{\frac{1-n}n}\right|=(1-x_0^n)^{\frac{1-n}n},\quad |f^{\prime}(x_0)|=(1-x_0^n)^{\frac{1-n}n}x_0^{n-1}$이므로 정리하면$\displaystyle h(x_0)=\left(\frac1{x_0}\right)^{2(n-1)}+(1-x_0^n)^{\frac{2(1-n)}n}$선분 PQ의 길이의 최솟값을 찾기 위해서는 구간 $\displaystyle (0,1)$에서의 $\displaystyle h(x)$의 최솟값을 찾으면 충분하다.$\displaystyle x$가 0또는 1로 수렴함에 따라 $\displaystyle h(x)$는 양의 무한대로 발산한다.또한 $\displaystyle h^{\prime}(x)=2(1-n)\left(x^{1-2n}-(1-x^n)^{\frac{2-3n}n}x^{n-1}\right)$이므로, $\displaystyle 0<x<1$일 때$\displaystyle h^{\prime}(x)>0\Leftrightarrow x^{1-2n}-(1-x^n)^{\frac{2-3n}n}x^{n-1}<0$ ($\displaystyle n\ge3$이므로) $\displaystyle \Leftrightarrow x^{2-3n}-(1-x^n)^{\frac{2-3n}n}<0\Leftrightarrow x^{2-3n}<(1-x^n)^{\frac{2-3n}n}$$\displaystyle \Leftrightarrow x>(1-x^n)^{\frac1n}$ ($\displaystyle n\ge3$이므로) $\displaystyle \Leftrightarrow x^n>1-x^n\Leftrightarrow x^n>\frac12\Leftrightarrow x>\left(\frac12\right)^{\frac1n}$비슷한 방법으로 $\displaystyle h^{\prime}(x)=0\Leftrightarrow x=\left(\frac12\right)^{\frac1n}$, 그리고 $\displaystyle h^{\prime}(x)<0\Leftrightarrow x<\left(\frac12\right)^{\frac1n}$임을 확인할 수 있다.따라서 $\displaystyle x=\left(\frac12\right)^{\frac1n}$에서 $\displaystyle h(x)$가 최소가 되고 $\displaystyle h\left(\left(\frac12\right)^{\frac1n}\right)=2\cdot4^{\frac{n-1}n}$이다.선분 PQ의 길이의 최솟값은 $\displaystyle h\left(\left(\frac12\right)^{\frac1n}\right)$의 양의 제곱근인 $\displaystyle \sqrt2\cdot2^{\frac{n-1}n}$이다.

3.

$\displaystyle 0<x<1$일 때 $\displaystyle f(x)>0,\ f^{\prime}(x)<0$이고, $\displaystyle f\left(\left(\frac12\right)^{\frac1n}\right)=\left(\frac12\right)^{\frac1n}$따라서 $\displaystyle 0<x<\left(\frac12\right)^{\frac1n}$이면 $\displaystyle \left(\frac12\right)^{\frac1n}<f(x)<1$이다. 이로부터(한 변의 길이가 $\displaystyle \left(\frac12\right)^{\frac1n}$인 정사각형의 넓이) $\displaystyle =\int_0^{\left(\frac12\right)^{\frac1n}}\left(\frac12\right)^{\frac1n}\,dx$$\displaystyle \le\int_0^{\left(\frac12\right)^{\frac1n}}f(x)\,dx\le\int_0^1f(x)\,dx=\int_0^1(1-x^n)^{\frac1n}\,dx\le\int_0^1 1\,dx$= (한 변의 길이가 1인 정사각형의 넓이)를 얻는다. 정리하면 $\displaystyle \left(\frac12\right)^{\frac2n}\le d_n\le1$이 때 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac12\right)^{\frac2n}=1$이므로 제시문 <다>에 의해 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}d_n=1$