상경계열 2번

1. $\displaystyle f^{-1}(x)=f(f(x))$이면, $\displaystyle f(f(f(x)))=x$. 역으로 $\displaystyle f(f(f(x)))=x$이면 $\displaystyle f^{-1}(x)=f(f(x))$.만약 $\displaystyle f(x)=x$이면 $\displaystyle f(f(f(x)))=f(f(x))=f(x)=x$이므로, $\displaystyle f(x)=x$인 $\displaystyle x$는 방정식 $\displaystyle f(f(f(x)))=x$의 해가 된다. 방정식 $\displaystyle f(x)=x$를 풀면 $\displaystyle f(x)=x$가 성립하게 하는 실수 $\displaystyle x$는 2 뿐이다.

평균값의 정리와 $\displaystyle f^{\prime}(t)=3t^2+2\ge2$를 사용하면, $\displaystyle x<y$인 임의의 실수 $\displaystyle x$와 $\displaystyle y$에 대해 $\displaystyle f(y)-f(x)\ge2(y-x)$가 성립한다. 더 나아가, $\displaystyle f(f(y))-f(f(x))\ge2(f(y)-f(x))\ge4(y-x)$이고 $\displaystyle f(f(f(y)))-f(f(f(x)))\ge2(f(f(y))-f(f(x)))\ge8(y-x)$. 이제 $\displaystyle a$가 $\displaystyle a>2$이면서 $\displaystyle f(f(f(x)))=x$의 해이면 $\displaystyle a-2=f(f(f(a)))-f(f(f(2)))\ge8(a-2)$가 성립하므로 모순이다. $\displaystyle a$가 $\displaystyle a<2$이면서 $\displaystyle f(f(f(x)))=x$의 해이면 비슷하게 $\displaystyle 2-a=f(f(f(2)))-f(f(f(a)))\ge8(2-a)$가 성립하므로 모순이다. 따라서 $\displaystyle f^{-1}(x)=f(f(x))$인 $\displaystyle x$의 값은 2뿐이다.

2. $\displaystyle a_1=2$라고 하자. $\displaystyle a_n=2$이면, $\displaystyle a_{n+1}=f(a_n)=f(2)=2$이므로, 수학적 귀납법에 의해$\displaystyle a_n=2\ (n=1,2,3,\ldots)$, 즉 수열 $\displaystyle \{a_n\}$은 2로 수렴한다.

이제 $\displaystyle a_1\ne2$라고 하자. 먼저 임의의 $\displaystyle x,y\ (x<y)$에 대해 위에서 보았듯이, $\displaystyle f(y)-f(x)\ge2(y-x)$이므로,임의의 $\displaystyle x,y\ (x\ne y)$에 대해 $\displaystyle |f(y)-f(x)|\ge2|y-x|$가 성립한다. 이제 $\displaystyle |a_n-2|\ge2^{n-1}|a_1-2|$임을 증명하자:$\displaystyle n=1$일 때 $\displaystyle |a_1-2|=2^{1-1}|a_1-2|$로 성립. $\displaystyle |a_n-2|\ge2^{n-1}|a_1-2|$가 성립한다고 하자. 그러면$\displaystyle |a_{n+1}-2|=|f(a_n)-f(2)|\ge2|a_n-2|\ge2\times2^{n-1}|a_1-2|=2^n|a_1-2|$.그러므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}|a_n-2|=\infty$. 그러므로, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n$은 발산한다.

3. 함수 $\displaystyle h:R\to R$를 $\displaystyle h(x)=f(x)-x+2=x^3+x-8$라고 정의하자. 방정식 $\displaystyle h(x)=x$는 유일한 실수해 2를 갖는다.$\displaystyle \{b_n\}$은 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대해 $\displaystyle b_{n+1}=h(b_n)$을 만족한다.$\displaystyle b_1=2$이면, 위 문항 2에서와 같이 $\displaystyle \{b_n\}$은 수열 $\displaystyle 2,2,\ldots,2,\ldots$이므로 2로 수렴한다.

$\displaystyle b_1>2$라고 하자. 먼저 $\displaystyle b_n>2\ (n=1,2,3,\ldots)$임을 수학적 귀납법으로 보이자: $\displaystyle b_n>2$라고 가정하자.그러면, $\displaystyle b_{n+1}-2=h(b_n)-h(2)=h^{\prime}(c)(b_n-2)\ (2<c<b_n)$가 성립한다. $\displaystyle h^{\prime}(x)=3x^2+1$이므로 $\displaystyle h^{\prime}(c)>h^{\prime}(2)=13$이고, $\displaystyle b_n-2>0$이므로 $\displaystyle b_{n+1}-2=h^{\prime}(c)(b_n-2)>13(b_n-2)>0$이다. 그러면 문항 2에서와 같이 $\displaystyle b_n-2>13^{n-1}(b_1-2)$가 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대해 성립한다. 그러므로 $\displaystyle b_n$은 $\displaystyle \infty$로 발산한다.Caution. 수학적 귀납법에서는 귀납 단계에 필요한 초기 경우를 모두 확인해야 한다: $\displaystyle n=1$에서는 양변이 같으므로, 모든 자연수에 대한 부등식에는 등호를 포함하여 $\displaystyle b_n-2\ge13^{n-1}(b_1-2)$로 써야 한다. $\displaystyle n\ge2$에서는 원문처럼 등호 없이 써도 되며, 수열이 발산한다는 결론은 달라지지 않는다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle b_1<2$라고 하자. 그러면, $\displaystyle x<2$일 때 $\displaystyle h(x)<x$이므로, $\displaystyle b_2=h(b_1)<b_1$이 성립한다. 이제 부등식$\displaystyle b_{n+2}-b_{n+1}\le b_{n+1}-b_n<0$이 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대해 성립함을 보이자: 먼저 $\displaystyle h^{\prime}(c)\ge1$이고 $\displaystyle b_2-b_1<0$이므로$\displaystyle b_3-b_2=h(b_2)-h(b_1)=h^{\prime}(c)(b_2-b_1)\le b_2-b_1$,즉, $\displaystyle b_3-b_2\le b_2-b_1<0$이 성립한다.이제 $\displaystyle b_{n+2}-b_{n+1}\le b_{n+1}-b_n<0$이 성립한다고 하자. 그러면,$\displaystyle b_{n+3}-b_{n+2}=h(b_{n+2})-h(b_{n+1})=h^{\prime}(c)(b_{n+2}-b_{n+1})\le b_{n+2}-b_{n+1}<0$.이것은 특히 $\displaystyle b_{n+1}-b_n\le b_2-b_1<0$이 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대해 성립하는 것을 의미한다.그러므로$\displaystyle b_n=(b_n-b_{n-1})+(b_{n-1}-b_{n-2})+\cdots+(b_2-b_1)+b_1\le(b_2-b_1)+\cdots+(b_2-b_1)+b_1=(n-1)(b_2-b_1)+b_1$따라서 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=-\infty$.