자연계열 (오후2) 1번

1. 포물선의 방정식을 정리하면 $\displaystyle (y-1)^2=4(x-3)$$\displaystyle (y-1)^2=4(x-3)$을 $\displaystyle x$축 방향으로 −3만큼, $\displaystyle y$축 방향으로 −1만큼 평행이동하여 얻는 새로운 포물선 $\displaystyle y^2=4x$를 고려하자.포물선 $\displaystyle y^2=4x$ 위의 점 $\displaystyle (x_0,y_0)$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle x-\frac{y_0^2}4=x-x_0=\frac{y_0}2(y-y_0)$, 즉, $\displaystyle x=\frac{y_0}2(y-y_0)+\frac{y_0^2}4$ …… ①이 접선이 $\displaystyle (a,b)$를 지난다면 $\displaystyle a=\frac{y_0}2(b-y_0)+\frac{y_0^2}4$이고 정리하면 $\displaystyle y_0$에 대한 이차 방정식 $\displaystyle y_0^2-2by_0+4a=0$을 얻는다. 이를 ②라 하자.점 $\displaystyle (a,b)$에서 포물선 $\displaystyle y^2=4x$에 두 개의 접선을 그을 수 있을 때, 접선과 포물선의 접점을 각각 $\displaystyle \mathrm P(x_1,y_1),\ \mathrm Q(x_2,y_2)$라 하면 $\displaystyle y_1$과 $\displaystyle y_2$는 ②의 해이고 근과 계수와의 관계에 의해 $\displaystyle y_1y_2=4a$ …… ③

한편 두 접선이 수직으로 만나면 $\displaystyle y_1y_2\ne0$이고, 점 P, Q에서의 접선의 기울기는 ①에 의해 각각 $\displaystyle \frac2{y_1},\ \frac2{y_2}$이다.따라서 $\displaystyle \frac4{y_1y_2}=-1$, 즉, $\displaystyle y_1y_2=-4$ …… ④③과 ④를 연립하면 $\displaystyle a=-1$을 얻는다.이제 원래의 포물선을 다루기 위해 $\displaystyle a=-1$을 $\displaystyle x$축 방향으로 3만큼, $\displaystyle y$축 방향으로 1만큼 평행이동하면 $\displaystyle a=2$ ($\displaystyle b$는 임의의 실수)가 우리가 원하는 점 $\displaystyle (a,b)$의 집합이 됨을 알 수 있다.

2. 타원 $\displaystyle x^2+\frac{y^2}9=1$ 위의 점 $\displaystyle (x_0,y_0)$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle x_0x+\frac{y_0y}9=1$$\displaystyle y_0\ne0$이면 $\displaystyle y=-\frac{9x_0}{y_0}x+\frac9{y_0}$ (점 $\displaystyle (-2,s)$에서 타원 $\displaystyle x^2+\frac{y^2}9=1$에 그은 접선의 접점 $\displaystyle (x_0,y_0)$은 $\displaystyle y_0\ne0$을 만족한다.)$\displaystyle m=-\frac{9x_0}{y_0}$라 하자. $\displaystyle 81x_0^2+9y_0^2=81$의 양변을 $\displaystyle y_0^2$으로 나누면 $\displaystyle m^2+9=\frac{81x_0^2}{y_0^2}+9=\frac{81}{y_0^2}$가 되므로 $\displaystyle \frac9{y_0}=\pm\sqrt{m^2+9}$따라서 기울기가 $\displaystyle m$인 타원 $\displaystyle x^2+\frac{y^2}9=1$의 접선의 방정식은 $\displaystyle y=mx\pm\sqrt{m^2+9}$이 식이 점 $\displaystyle (-2,s)$를 지나면 $\displaystyle s=-2m\pm\sqrt{m^2+9}$이고, 이를 정리하면 $\displaystyle 3m^2+4sm+(s^2-9)=0$점 $\displaystyle (-2,s)$를 지나는 접선의 방정식의 기울기를 $\displaystyle m_1,m_2$라 하면 근과 계수와의 관계에 의하여$\displaystyle m_1+m_2=-\frac{4s}3,\quad m_1m_2=\frac{s^2-9}3$이고, 이로부터 $\displaystyle |m_1-m_2|=\sqrt{(m_1+m_2)^2-4m_1m_2}=\frac23\sqrt{s^2+27}$을 얻는다.

기울기 $\displaystyle m_1,m_2$인 두 직선이 이루는 각을 $\displaystyle \theta$라 하면 $\displaystyle \tan\theta=\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|$따라서 $\displaystyle \tan\theta=\frac{2\sqrt{s^2+27}}{s^2-6}\quad(s>\sqrt6)$

3. 쌍곡선 $\displaystyle x^2-\frac{y^2}9=1$ 위의 점 $\displaystyle (x_0,y_0)$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle x_0x-\frac{y_0y}9=1$이 접선이 점 $\displaystyle (t,6)$을 지나면 $\displaystyle tx_0-\frac{2y_0}3=1$ …… ⑤이를 $\displaystyle x_0^2-\frac{y_0^2}9=1$과 연립하면 $\displaystyle (t^2-4)x_0^2-2tx_0+5=0$ …… ⑥점 $\displaystyle (t,6)$에서 쌍곡선 $\displaystyle x^2-\frac{y^2}9=1$에 그을 수 있는 접선의 개수가 2이기 위해서는 ⑥이 $\displaystyle x_0$에 대한 이차 방정식으로써 두 개의 실근을 가져야 한다. 이 때 $\displaystyle y_0$는 ⑤에 의해 유일하게 결정되며 $\displaystyle x_0$는 $\displaystyle x_0\le-1$ 또는 $\displaystyle x_0\ge1$을 만족한다.

경우 1) $\displaystyle t=\pm2$일 때 ⑥은 $\displaystyle x_0$에 대한 일차 방정식이고 하나의 실근만을 갖는다.경우 2) $\displaystyle t\ne\pm2$이라 가정하자. ⑥의 판별식이 양수이면, 즉, $\displaystyle D/4=t^2-5(t^2-4)=4(5-t^2)>0$이면 두 개의 실근을 갖는다.따라서 $\displaystyle -\sqrt5<t<-2,\ -2<t<2,\ 2<t<\sqrt5$일 때 쌍곡선 $\displaystyle x^2-\frac{y^2}9=1$에 그을 수 있는 접선의 개수가 2이다.