자연계열 4번

(가)피라미드는 고왕국 시대의 왕묘이다. 고왕국에서는 사후에 완전한 영생을 얻는 것은 단지 왕뿐이며, 신하나 백성들은 내세에서도 왕에게 봉사함으로써만 영생을 얻을 수 있다고 생각하였다. 이집트의 대표적 유적인 기자(Gizah)의 쿠푸 왕(the Paraoh Khufu)의 피라미드는 대략 바닥 한 변의 길이가 230m, 높이가 146m나 되어 230만 개의 석회암 석재로 만들어졌다. (중략) 그러나 고왕국의 멸망 이후 더 이상 피라미드는 건설되지 않았다. 창조신이 정한 질서가 왕을 정점으로 하는 국가 체제로 실현되었다고 믿었던 사람들에게 그것은 큰 충격이었다. 왕권이 실추되면서 신하나 백성들은 피라미드를 만드는 대신, 자신의 손으로 영생을 얻기 위한 길을 찾으려 하였다.(나)세계 7대 불가사의 중의 하나인 기자에 있는 쿠푸 왕의 피라미드에는 황금비가 숨어있다. 기원전 2650년 경 지어졌다고 추측되는 이 피라미드로부터 당시 이집트 인들이 황금비의 값을 알고 있었다고 조심스럽게 가정할 수 있다. 이집트 정부가 1925년 최종적으로 내놓은 보고서에 따르면 쿠푸 왕의 피라미드의 크기는 다음과 같다.

(다)피라미드에서는 길이나 넓이의 비가 일정한 값이 되는 경우가 많다. 여러 가지 경우를 계산해보면서 그러한 경우를 조사해보자. 계산을 편리하게 하기 위하여 밑면의 모서리의 길이를 모두 230m라고 하자.밑면의 모서리의 길이를 $\displaystyle 2d$, 옆면인 삼각형의 높이를 $\displaystyle l$이라고 하면 $\displaystyle l^2=d^2+h^2$이므로 $\displaystyle l=\sqrt{115^2+146^2}$이고 따라서 계산기를 사용하여 구하면$\displaystyle l=185.85$이다. 옆면의 넓이를 계산해보면$\displaystyle \frac12\times230\times185.85=21372.75$로 이 값은 높이의 제곱인 21316과 거의 같다. 당시의 설계 도면이 전해지지 않아 구체적인 것은 알 수 없지만 앞에서의 계산에 의해 고대 이집트인들은 다음과 같은 원리로 피라미드를 건축하였다고 가정해볼 수 있다.

[가정1] 피라미드의 밑면은 정사각형으로 건축한다.[가정2] 피라미드 옆면의 넓이는 높이의 제곱과 같도록 건축한다.

계산을 편리하게 하기 위하여 위에서 알게 된 피라미드에 구현된 각 비율을 이용하여 모서리의 길이를 나타내면, $\displaystyle \frac ld=\phi$이므로 $\displaystyle l=1$로 놓으면 밑면의 모서리의 길이의 절반인 $\displaystyle d$는 황금비 $\displaystyle \phi$의 역수가 된다. 이를 $\displaystyle k$로 놓자. 즉,$\displaystyle k=\frac1\phi$