자연계열 2번

포물선 $\displaystyle y=x^2$ 위의 임의의 두 점 $\displaystyle A(a,a^2)$ 과 $\displaystyle B(b,b^2)$을 잇는 직선의 기울기 $\displaystyle m_1$은$\displaystyle m_1=\frac{b^2-a^2}{b-a}=a+b$이다. 포물선 위에서 접선의 기울기가 직선 $\displaystyle AB$의 기울기와 같게 되는 접점의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle c$라 고 하면, $\displaystyle \frac{dy}{dx}=2x$로부터 포물선 위의 점 $\displaystyle C(c,c^2)$에서 접선의 기울기 $\displaystyle m_2$는 $\displaystyle m_2=2c$이다. $\displaystyle m_1=m_2$이어야 하므로 $\displaystyle a+b=2c$ 가 성립한다. 따라서 $\displaystyle c=\frac{a+b}2$이고, 점 $\displaystyle C$의 $\displaystyle x$좌표 $\displaystyle c$는 $\displaystyle a$, $\displaystyle b$의 평균값이다.

이 때, 포물선 위의 점 $\displaystyle C$에서 접선은 기울기가 $\displaystyle a+b$이고, $\displaystyle C\left(\frac{a+b}2,\left(\frac{a+b}2\right)^2\right)$을 지나는 직선이므로 이 직선의 방정식은$\displaystyle y=(a+b)\left(x-\frac{a+b}2\right)+\left(\frac{a+b}2\right)^2$이고, 이를 간단히 정리하면$\displaystyle y=(a+b)x-\frac{(a+b)^2}4$이 된다.