자연계열 4번

[문항 3]으로부터, 포물선과 직선이 만나는 두 점 $\displaystyle A(a,a^2)$, $\displaystyle B(b,b^2)$, 그리고 $\displaystyle c=\frac{a+b}2$인 포물선 위의 점 $\displaystyle C(c,c^2)$을 꼭지점으로 하는 삼각형 $\displaystyle ABC$의 넓이는 $\displaystyle \frac18(b-a)^3$으로 표현된다. 여기에서 $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$는 직선과 포물선이 만나는 점의 $\displaystyle x$ 좌표이다. 이 결과를 이용하여 삼각형 $\displaystyle ACD$ 와 $\displaystyle CBE$의 넓이를 구한다.

우선 삼각형 $\displaystyle ACD$의 면적을 구하려면 $\displaystyle \frac18(b-a)^3$ 의 식에서 $\displaystyle b$ 대신에 다른 교점인 $\displaystyle C$의 $\displaystyle x$ 좌표인 $\displaystyle \frac{a+b}2$를 대입하면 된다. 따라서 삼각형 $\displaystyle ACD$의 넓이는$\displaystyle \Delta ACD=\frac18\left(\frac{a+b}2-a\right)^3=\frac18\left(\frac{b-a}2\right)^3=\frac1{64}(b-a)^3$이 된다.

마찬가지로 삼각형 $\displaystyle CBE$의 넓이는 $\displaystyle \frac18(b-a)^3$에서 $\displaystyle a$ 대신에 $\displaystyle \frac{a+b}2$를 대입하면 구할 수 있다. 이를 계산하면,$\displaystyle \Delta CBE=\frac18\left(b-\frac{a+b}2\right)^3=\frac18\left(\frac{b-a}2\right)^3=\frac1{64}(b-a)^3$이 된다. 따라서 두 삼각형의 넓이의 합은 $\displaystyle \frac1{32}(b-a)^3$이 된다. 즉,$\displaystyle \Delta ACD+\Delta CBE=\frac1{32}(b-a)^3=\frac14\Delta ABC$이므로, 두 삼각형 $\displaystyle ACD$와 $\displaystyle CBE$의 넓이의 합은 삼각형 $\displaystyle ABC$ 넓이의 $\displaystyle \frac14$배이다.