다음 두 가지의 답안을 생각할 수 있다.
(답안 1) : 포물선 위의 세 점 A \displaystyle A A B \displaystyle B B C \displaystyle C C x \displaystyle x x A ′ \displaystyle A^{\prime} A ′ B ′ \displaystyle B^{\prime} B ′ C ′ \displaystyle C^{\prime} C ′ A B C \displaystyle ABC A B C A A ′ B ′ B \displaystyle AA^{\prime}B^{\prime}B A A ′ B ′ B A A ′ C ′ C \displaystyle AA^{\prime}C^{\prime}C A A ′ C ′ C C C ′ B ′ B \displaystyle CC^{\prime}B^{\prime}B C C ′ B ′ B
□ A A ′ B ′ B = 1 2 ( a 2 + b 2 ) ( b − a ) \displaystyle \square AA^{\prime}B^{\prime}B=\frac12(a^2+b^2)(b-a) □ A A ′ B ′ B = 2 1 ( a 2 + b 2 ) ( b − a )
□ A A ′ C ′ C = 1 2 ( a 2 + c 2 ) ( c − a ) = 1 2 [ a 2 + ( a + b 2 ) 2 ] [ ( a + b 2 ) − a ] = 1 2 ( 5 a 2 + 2 a b + b 2 4 ) ( b − a 2 ) = 1 16 ( 5 a 2 + 2 a b + b 2 ) ( b − a ) \displaystyle \begin{aligned}\square AA^{\prime}C^{\prime}C&=\frac12(a^2+c^2)(c-a)\\&=\frac12\left[a^2+\left(\frac{a+b}2\right)^2\right]\left[\left(\frac{a+b}2\right)-a\right]\\&=\frac12\left(\frac{5a^2+2ab+b^2}4\right)\left(\frac{b-a}2\right)\\&=\frac1{16}(5a^2+2ab+b^2)(b-a)\end{aligned} □ A A ′ C ′ C = 2 1 ( a 2 + c 2 ) ( c − a ) = 2 1 [ a 2 + ( 2 a + b ) 2 ] [ ( 2 a + b ) − a ] = 2 1 ( 4 5 a 2 + 2 ab + b 2 ) ( 2 b − a ) = 16 1 ( 5 a 2 + 2 ab + b 2 ) ( b − a )
□ C C ′ B ′ B = 1 2 ( c 2 + b 2 ) ( b − c ) = 1 2 [ ( a + b 2 ) 2 + b 2 ] [ b − ( a + b 2 ) ] = 1 2 ( a 2 + 2 a b + 5 b 2 4 ) ( b − a 2 ) = 1 16 ( a 2 + 2 a b + 5 b 2 ) ( b − a ) \displaystyle \begin{aligned}\square CC^{\prime}B^{\prime}B&=\frac12(c^2+b^2)(b-c)\\&=\frac12\left[\left(\frac{a+b}2\right)^2+b^2\right]\left[b-\left(\frac{a+b}2\right)\right]\\&=\frac12\left(\frac{a^2+2ab+5b^2}4\right)\left(\frac{b-a}2\right)\\&=\frac1{16}(a^2+2ab+5b^2)(b-a)\end{aligned} □ C C ′ B ′ B = 2 1 ( c 2 + b 2 ) ( b − c ) = 2 1 [ ( 2 a + b ) 2 + b 2 ] [ b − ( 2 a + b ) ] = 2 1 ( 4 a 2 + 2 ab + 5 b 2 ) ( 2 b − a ) = 16 1 ( a 2 + 2 ab + 5 b 2 ) ( b − a )
따라서, 삼각형 A B C \displaystyle ABC A B C Δ A B C = 1 2 ( a 2 + b 2 ) ( b − a ) − 1 16 ( 5 a 2 + 2 a b + b 2 ) ( b − a ) − 1 16 ( a 2 + 2 a b + 5 b 2 ) ( b − a ) = 1 16 ( b − a ) ( 8 a 2 + 8 b 2 − 6 a 2 − 4 a b − 6 b 2 ) = 1 8 ( b − a ) ( a 2 − 2 a b + b 2 ) = 1 8 ( b − a ) 3 \displaystyle \begin{aligned}\Delta ABC&=\frac12(a^2+b^2)(b-a)-\frac1{16}(5a^2+2ab+b^2)(b-a)-\frac1{16}(a^2+2ab+5b^2)(b-a)\\&=\frac1{16}(b-a)(8a^2+8b^2-6a^2-4ab-6b^2)\\&=\frac18(b-a)(a^2-2ab+b^2)\\&=\frac18(b-a)^3\end{aligned} Δ A B C = 2 1 ( a 2 + b 2 ) ( b − a ) − 16 1 ( 5 a 2 + 2 ab + b 2 ) ( b − a ) − 16 1 ( a 2 + 2 ab + 5 b 2 ) ( b − a ) = 16 1 ( b − a ) ( 8 a 2 + 8 b 2 − 6 a 2 − 4 ab − 6 b 2 ) = 8 1 ( b − a ) ( a 2 − 2 ab + b 2 ) = 8 1 ( b − a ) 3 이 된다.
평가 기준 주어진 제시문을 정확하게 이해하고, 이를 바탕으로 각 문항에서 요구하는 문제를 파악하는 능력 미분, 적분, 수열, 포물선 등 고교 교과서에서 배우는 수학의 기본 개념을 이해하고 활용하는 능력 각 문항간의 연관성 및 흐름을 파악하고, 필요한 경우에 앞 문항의 결과를 적절하게 활용할 수 있는 능력 수식이 들어있는 계산 과정이나 증명 과정을 일반 서술문과 함께 올바르게 그리고 논리적으로 기술할 수 있는 능력 자신의 견해를 문장으로 올바르게 전개할 수 있는 능력
수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.