자연계열 3번

(가) 미분과 적분은 현대 수학을 지탱하는 두 개의 중요한 개념으로 상호 보완적인 성격을 띠고 있다. 이 두 개념은 17세기에 영국의 뉴튼과 독일의 라이프니쯔에 의해서 독립적으로 개발되었다고 알려져 있다. 그러나 미분과는 달리 적분(혹은, 최소한 적분 원리)은 실용적인 필요성에 의해서 고대 세계에서부터 원시적인 형태로나마 사용되고 있었다. 그리고 당시에 사용되던 적분 기법은 아르키메데스에 의해서 체계화되었다.

아르키메데스(Archimedes)는 기원전 287년부터 212년까지 시칠리아 섬의 시라쿠스에서 활동했던 고대 세계 최고의 수학자 중의 하나이다. 그는 기원전 212년, 2차 포에니 전쟁 중에 시라쿠스가 로마군에 의해서 함락된 후, 로마군의 칼에 죽게 될 때까지 기하학, 물리학, 공학 분야에 많은 업적을 남겼다. 기하학 분야에서 아르키메데스는 구분구적법이라는 적분의 원리를 창안해 내고 이를 이용하여 구의 부피 및 겉넓이를 구하는 것을 비롯하여 다양한 곡면의 넓이와 부피를 구하는 방법을 발견하였다. 특히, 그는 당시의 수학자 에라토스테네스(Eratosthenes, B.C. 275-194)에게 보낸 편지 형식으로 쓴 저서 『방법론』에서 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는 방법을 제시하였다.

(나) 아르키메데스는 아래 [그림 1]과 같이 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 삼각형으로 분할하는 방법으로 구하였다. 즉, 직선과 포물선이 만나는 점을 $\displaystyle A$, $\displaystyle B$ 라고 하고, 직선 $\displaystyle AB$에 평행한 접선을 갖는 포물선 위의 점 $\displaystyle C$를 잡은 후에 삼각형 $\displaystyle ABC$의 넓이를 구한다. 다음으로 직선 $\displaystyle AC$, $\displaystyle BC$와 평행한 접선을 갖는 포물선 위의 점 $\displaystyle D$, $\displaystyle E$를 잡고, 삼각형 $\displaystyle ADC$와 삼각형 $\displaystyle CEB$의 넓이의 합을 구한다. 같은 방법으로 접선이 직선 $\displaystyle AD$, $\displaystyle DC$, $\displaystyle CE$, $\displaystyle EB$와 평행하게 되는 포물선 위의 점 $\displaystyle F$, $\displaystyle G$, $\displaystyle H$, $\displaystyle I$ 를 잡고 삼각형 $\displaystyle AFD$, $\displaystyle DGC$, $\displaystyle CHE$, $\displaystyle EIB$의 넓이의 합을 구한다. 이러한 방법을 연속적으로 시행하여 삼각형의 넓이를 합함으로써, 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구한다. 여기에서 아르키메데스는 한 단계에서 삼각형들의 넓이의 합과 다음 단계에서 만들어지는 삼각형들의 넓이의 합의 비율은 일정함을 보였다. 즉, 삼각형 $\displaystyle ABC$의 넓이와 삼각형 $\displaystyle ADC$와 $\displaystyle CEB$의 넓이의 합의 비율은 삼각형 $\displaystyle ADC$와 $\displaystyle CEB$의 넓이의 합과 삼각형 $\displaystyle AFD$, $\displaystyle DGC$, $\displaystyle CHE$, $\displaystyle EIB$의 넓이의 합의 비율과 같음을 보였다. 이러한 사실과 무한등비급수를 이용하여 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 정확하게 계산할 수 있었다.

(다) 위의 제시문에서 주어진 내용을 구체적으로 살펴보기로 하자. 아래 [그림 2]와 같이 평면 위에 포물선 $\displaystyle y=x^2$이 주어졌다고 하자. 그리고 포물선 위의 두 점 $\displaystyle A(a,a^2)$, $\displaystyle B(b,b^2)$을 잡고, 직선 $\displaystyle AB$에 평행한 접선을 갖는 포물선 위의 점을 $\displaystyle C(c,c^2)$이라고 하자. 그러면, $\displaystyle c$는 $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$의 평균값이 되고 삼각형 $\displaystyle ABC$의 넓이는 $\displaystyle \frac18(b-a)^3$이 된다. 같은 방법으로 접선이 직선 $\displaystyle AC$, $\displaystyle CB$와 평행하게 되는 포물선 위의 점을 $\displaystyle D(d,d^2)$, $\displaystyle E(e,e^2)$이라고 하면, $\displaystyle d=\frac{a+c}2$, $\displaystyle e=\frac{c+b}2$가 된다. 그리고 삼각형 $\displaystyle ADC$와 $\displaystyle CEB$의 넓이의 합을 구하고, 이것과 삼각형 $\displaystyle ABC$의 넓이와의 비율을 생각한다. 그러면 놀랍게도 이 비율은 이러한 작업을 계속해도 변하지 않게 된다. 이 사실과 무한등비급수의 합을 이용하면 포물선과 직선으로 둘러싸인 영역의 넓이는 현대적인 적분을 사용하지 않더라도 구할 수가 있다.

(라) 나일강의 하류에 위치한 이집트에서는 매년 일정한 시기에 나일강의 홍수를 경험해야 했다. 이것은 다행스럽게도 재앙이 아닌 축복이었다. 나일강의 홍수로 인하여 상류의 기름진 토사가 하류로 운반되어 이집트의 평야를 비옥한 상태로 유지할 수 있게 해 주었기 때문이다. 그러나 나일강이 범람을 하게 되면 기존의 토지 경계선이 없어지기도 하고, 일부 지역이 새로 생기거나 침수되는 경우가 자주 일어났다. 따라서 이집트에서는 나일강이 범람한 후에 토지를 다시 측량하여 범람 이전의 각자의 몫에 따라 재분배할 필요성이 있었다. 이러한 이유로 고대 이집트에서는 복잡한 곡선으로 둘러싸인 지역의 넓이를 구하는 방법을 포함한 다양한 토지 측량술이 발전했으며, 아울러 이것의 이론적 배경이 되는 기하학도 함께 발전하였다.

예를 들면, 나일강이 범람한 후에 강 주변에 아래 [그림 3]과 같이 빗금 친 부분의 땅이 새로 생겼다고 하자. 그리고 땅 위에 가상의 좌표축을 설정하고 아래의 빗금 친 부분은 곡선 $\displaystyle y=x^2$과 직선 $\displaystyle y=x+2$로 둘러싸여 있다고 하자. 그러면 제시문 (나)와 (다)에서 주어진 방법에 따라 [그림 3]의 빗금 친 부분의 넓이를 계산할 수 있다.