자연계열 5번

[문항 4]의 결과로부터 $\displaystyle \Delta ABC=\frac18(b-a)^3$이고 $\displaystyle \Delta ACD+\Delta CBE=\frac14\Delta ABC$ 임을 보였다. 같은 방법으로 삼각형 $\displaystyle ADC$와 삼각형 $\displaystyle AFD$, $\displaystyle DGC$ 를 생각해 보면$\displaystyle \Delta AFD+\Delta DGC=\frac14\Delta ADC$이 성립한다. 또한 삼각형 $\displaystyle CEB$와 삼각형 $\displaystyle CHE$, $\displaystyle EIB$ 를 생각해 보면$\displaystyle \Delta CHE+\Delta EIB=\frac14\Delta CEB$이 성립한다. 따라서$\displaystyle \Delta AFD+\Delta DGC+\Delta CHE+\Delta EIB=\frac14(\Delta ADC+\Delta CEB)=\left(\frac14\right)^2\Delta ABC$이 성립한다. 또, 다음 단계에서 만들어지는 8개의 삼각형의 넓이의 합은 $\displaystyle \Delta AFD+\Delta DGC+\Delta CHE+\Delta EIB$의 $\displaystyle \frac14$이므로 $\displaystyle \left(\frac14\right)^3\Delta ABC$이 된다. 이 작업을 되풀이 하면 공비가 $\displaystyle \frac14$ 인 무한등비급수를 얻게 된다. 따라서 직선과 포물선 사이의 넓이는$\displaystyle \begin{aligned}\Delta ABC\left(1+\left(\frac14\right)^2+\left(\frac14\right)^3+\left(\frac14\right)^4+\cdots\right)&=\frac18(b-a)^3\cdot\frac1{1-\frac14}\\&=\frac43\cdot\frac18(b-a)^3=\frac16(b-a)^3\end{aligned}$Correction. 공비가 $\displaystyle \frac14$인 무한등비급수에서 첫째항 $\displaystyle 1$ 다음의 $\displaystyle \frac14$항이 빠져 있다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이 된다. 제시문 (라)에서 주어진 빗금 친 부분은 $\displaystyle a=-1$이고 $\displaystyle b=2$인 경우이므로 넓이는 $\displaystyle \frac92$가 된다.