자연계열 1번

인하대 2024학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/inha/2024mo/jayeon_1

[문제 1] (35점) 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle (a,f(a))$ 에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)$

(나) 매개변수로 나타낸 두 함수 $\displaystyle x=f(t)$ , $\displaystyle y=g(t)$ 가 $\displaystyle t$ 에 대하여 미분가능하고 $\displaystyle f^{\prime}(t)\neq0$ 이면 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{g^{\prime}(t)}{f^{\prime}(t)}$

(1-1) 곡선 $\displaystyle y=e^x$ 위의 한 점 $\displaystyle Q(0,1)$ 에서 곡선 $\displaystyle y=e^x$ 의 접선을 $\displaystyle l$ 이라 하자. $\displaystyle b<e^a$ 를 만족하는 좌표평면 위의 한 점 $\displaystyle P(a,b)$ 에 대해서 선분 $\displaystyle PQ$ 는 직선 $\displaystyle l$ 과 수직이고, 점 $\displaystyle P$ 로부터 직선 $\displaystyle l$ 까지의 거리가 $\displaystyle 1$ 이다. 이 때, 점 $\displaystyle P$ 의 좌표를 구하시오. [8점]

(1-2) $\displaystyle v<e^u$ 를 만족하는 두 실수 $\displaystyle u,v$ 에 대하여, 중심이 $\displaystyle (u,v)$ 이고 반지름이 $\displaystyle 1$ 인 원이 곡선 $\displaystyle y=e^x$ 과 한 점 $\displaystyle (t,e^t)$ 에서 만나며 그 점에서의 두 곡선의 접선이 일치할 때, $\displaystyle u,v$ 를 $\displaystyle t$ 에 대한 식으로 나타내시오. [12점]

(1-3) (1-2)에서 구한 $\displaystyle u,v$ 를 $\displaystyle v=f(u)$ 로 나타낼 때, $\displaystyle u=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 에서 곡선 $\displaystyle v=f(u)$ 의 접선의 방정식을 구하시오. [15점]

해설강의 준비중

인하대 2024학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/inha/2024mo/jayeon_1

+4점 · 접선의 방정식을 구하면

(1-1) 제시문 (가)를 이용하면 직선 $\displaystyle l$ 의 방정식은 $\displaystyle y=x+1$ 이 되므로 직선 $\displaystyle l$ 이 $\displaystyle x$ 축의 양의 방향과 이루는 각은 $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ 가 된다.

+4점 ·

\displaystyle P

의 좌표를 구하면

점 $\displaystyle Q$ 를 지나고 주어진 조건을 만족하는 점 $\displaystyle P$ 를 삼각함수를 이용하여 구하면 $\displaystyle \left(0+\cos\frac{\pi}{4},1-\sin\frac{\pi}{4}\right)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ 이다.

+4점 · 접점이 일치할 조건을 구하면

+4점 · 기울기 조건을 구하면

(1-2) 제시문 (가)를 이용하면 점 $\displaystyle (t,e^t)$ 에서의 법선의 기울기는 $\displaystyle -e^{-t}$ 이므로 방정식은 $\displaystyle y=-e^{-t}(x-t)+e^t$ 이 된다. 교점에서 접선이 일치하기 위해서는 원의 중심 $\displaystyle (u,v)$ 는 법선 위에 위치해야 하므로 $\displaystyle v-e^t=-e^t(u-t)$ Correction. 법선의 방정식 오른쪽에 쓴 $\displaystyle -e^t$ 는 $\displaystyle -e^{-t}$ 의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.를 만족한다. 또한 $\displaystyle (t,e^t)$ 과 $\displaystyle (u,v)$ 사이의 거리가 $\displaystyle 1$ 이므로 $\displaystyle (u-t)^2+(v-e^t)^2=1$ 이 성립한다.

+4점 ·

\displaystyle u,v

를

\displaystyle t

에 대해서 나타내면

이 두 식을 연립하면 $\displaystyle u-t=\pm\frac{1}{\sqrt{1+e^{-2t}}}$ , $\displaystyle v-e^t=\mp\frac{1}{\sqrt{1+e^{2t}}}$ (복호동순)이 성립한다. 그런데 $\displaystyle v<e^u$ 이므로, $\displaystyle u=t+\frac{1}{\sqrt{1+e^{-2t}}}$ , $\displaystyle v=e^t-\frac{1}{\sqrt{1+e^{2t}}}$ .

+3점 ·

\displaystyle \frac{du}{dt}

를 구하면

+3점 ·

\displaystyle \frac{dv}{dt}

를 구하면

(1-3) (1-1)로부터 $\displaystyle u=\frac{1}{\sqrt{2}}$ 일 때, $\displaystyle t=0$ 임을 알 수 있다. $\displaystyle \frac{du}{dt}=1+\frac{e^{-2t}}{(\sqrt{1+e^{-2t}})^3}$ , $\displaystyle \frac{dv}{dt}=e^t+\frac{e^{2t}}{(\sqrt{1+e^{2t}})^3}$ 이므로, $\displaystyle t=0$ 일 때, $\displaystyle \frac{du}{dt}=1+\frac{1}{2\sqrt{2}}$ , $\displaystyle \frac{dv}{dt}=1+\frac{1}{2\sqrt{2}}$ 이다.

+5점 · 매개변수로 주어진 함수의 미분을 이용하여

제시문 (나)를 이용하면 $\displaystyle \frac{dv}{du}=1$ 이고

+4점 · 접선의 방정식을 구하면

제시문 (가)를 이용하여 직선의 방정식을 구하면 직선의 방정식은 $\displaystyle v=u-\sqrt{2}+1$ 이다.

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