자연계열 1번

(1-1) 제시문 (가)를 이용하면 직선 $\displaystyle l$의 방정식은 $\displaystyle y=x+1$이 되므로 직선 $\displaystyle l$이 $\displaystyle x$축의 양의 방향과 이루는 각은 $\displaystyle \frac{\pi}{4}$가 된다. 점 $\displaystyle Q$를 지나고 주어진 조건을 만족하는 점 $\displaystyle P$를 삼각함수를 이용하여 구하면$\displaystyle \left(0+\cos\frac{\pi}{4},1-\sin\frac{\pi}{4}\right)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$이다.

(1-2) 제시문 (가)를 이용하면 점 $\displaystyle (t,e^t)$에서의 법선의 기울기는 $\displaystyle -e^{-t}$이므로 방정식은 $\displaystyle y=-e^{-t}(x-t)+e^t$이 된다. 교점에서 접선이 일치하기 위해서는 원의 중심 $\displaystyle (u,v)$는 법선 위에 위치해야 하므로$\displaystyle v-e^t=-e^t(u-t)$Correction. 법선의 방정식 오른쪽에 쓴 $\displaystyle -e^t$는 $\displaystyle -e^{-t}$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.를 만족한다. 또한 $\displaystyle (t,e^t)$과 $\displaystyle (u,v)$사이의 거리가 $\displaystyle 1$이므로$\displaystyle (u-t)^2+(v-e^t)^2=1$이 성립한다. 이 두 식을 연립하면$\displaystyle u-t=\pm\frac{1}{\sqrt{1+e^{-2t}}}$, $\displaystyle v-e^t=\mp\frac{1}{\sqrt{1+e^{2t}}}$(복호동순)이 성립한다. 그런데 $\displaystyle v<e^u$이므로,$\displaystyle u=t+\frac{1}{\sqrt{1+e^{-2t}}}$, $\displaystyle v=e^t-\frac{1}{\sqrt{1+e^{2t}}}$.

(1-3) (1-1)로부터 $\displaystyle u=\frac{1}{\sqrt{2}}$일 때, $\displaystyle t=0$임을 알 수 있다.$\displaystyle \frac{du}{dt}=1+\frac{e^{-2t}}{(\sqrt{1+e^{-2t}})^3}$, $\displaystyle \frac{dv}{dt}=e^t+\frac{e^{2t}}{(\sqrt{1+e^{2t}})^3}$이므로, $\displaystyle t=0$일 때, $\displaystyle \frac{du}{dt}=1+\frac{1}{2\sqrt{2}}$, $\displaystyle \frac{dv}{dt}=1+\frac{1}{2\sqrt{2}}$이다. 제시문 (나)를 이용하면 $\displaystyle \frac{dv}{du}=1$이고 제시문 (가)를 이용하여 직선의 방정식을 구하면 직선의 방정식은 $\displaystyle v=u-\sqrt{2}+1$이다.