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의예과 3번

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인하대 2024학년도 모의 의예과 3번 · mathesis.kr/archive/inha/2024mo/uiye_3

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문제

[문제 3] (35점) 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(수학적 귀납법) 자연수 n (n≥1)\displaystyle n\ (n\ge1)에 대한 명제 p(n)\displaystyle p(n)이 모든 자연수 n (n≥1)\displaystyle n\ (n\ge1)에 대하여 성립함을 증명하려면 다음 두 가지를 보이면 된다.(1) n=1\displaystyle n=1일 때, 명제 p(n)\displaystyle p(n)이 성립한다.(2) n=k (k≥1)\displaystyle n=k\ (k\ge1)일 때 명제 p(n)\displaystyle p(n)이 성립한다고 가정하면, n=k+1\displaystyle n=k+1일 때에도 명제 p(n)\displaystyle p(n)이 성립한다.

(※) 자연수로 구성된 집합 A\displaystyle A에 대하여 집합 A~\displaystyle \widetilde{A}를 A\displaystyle A의 두 원소의 합으로 표현할 수 있는 모든 자연수의 집합으로 정의하자.이때, 같은 원소를 합하여도 된다. 즉, A~\displaystyle \widetilde{A}는 집합 {x+y∣x,y∈A}\displaystyle \{x+y\mid x,y\in A\}와 같다. 예를 들어, A={1}\displaystyle A=\{1\}이면 A~={2}\displaystyle \widetilde{A}=\{2\}이고 A={1,3,4}\displaystyle A=\{1,3,4\}이면 A~={2,4,5,6,7,8}\displaystyle \widetilde{A}=\{2,4,5,6,7,8\}이다.

(3-1) (a) 4\displaystyle 4개의 자연수로 구성되어 있고 n(A~)=10\displaystyle n(\widetilde{A})=10인 집합 A\displaystyle A를 하나 찾으시오. [3점](b) 집합 A\displaystyle A는 k\displaystyle k개의 자연수로 구성된 집합이다. n(A~)\displaystyle n(\widetilde{A})가 될 수 있는 값 중 가장 큰 값을 구하시오. [7점]

(3-2) (a) 5\displaystyle 5개의 자연수로 구성되어 있고 n(A~)=9\displaystyle n(\widetilde{A})=9인 집합 A\displaystyle A를 하나 찾으시오. [3점](b) n(A)=k\displaystyle n(A)=k일 때 n(A~)\displaystyle n(\widetilde{A})가 될 수 있는 값 중 가장 작은 값을 구하시오. [7점]

(3-3) 자연수로 구성된 집합 A\displaystyle A에 대하여 n(A)=k\displaystyle n(A)=k일 때 n(A~)\displaystyle n(\widetilde{A})가 될 수 있는 값들을 모두 구하시오. [15점]

해설강의 준비중

인하대 2024학년도 모의 의예과 3번 · mathesis.kr/archive/inha/2024mo/uiye_3

+3점 · (a) 조건을 만족하는 집합 A\displaystyle A를 찾으면

(3-1) (a) A={1,2,4,8}\displaystyle A=\{1,2,4,8\}이면 A~={2,3,4,5,6,8,9,10,12,16}\displaystyle \widetilde{A}=\{2,3,4,5,6,8,9,10,12,16\}으로 n(A~)=10\displaystyle n(\widetilde{A})=10이다.

+7점 · (b) n(A~)\displaystyle n(\widetilde{A})의 최댓값을 찾고 명확하게 증명하면

(b) A\displaystyle A의 두 원소의 합이 모두 다를 때 A~\displaystyle \widetilde{A}는 가장 많은 원소를 갖는다. 예를 들어, A={1,2,22,⋯ ,2k−1}\displaystyle A=\{1,2,2^2,\cdots,2^{k-1}\}이면 A\displaystyle A의 두 원소의 합은 모두 다르고 이때 n(A~)=k2+k2\displaystyle n(\widetilde{A})=\frac{k^2+k}{2}이다.그러므로 n(A~)\displaystyle n(\widetilde{A})가 될 수 있는 값 중 가장 큰 값은 k2+k2\displaystyle \frac{k^2+k}{2}이다.

+3점 · (a) 조건을 만족하는 집합 A\displaystyle A를 찾으면

(3-2) (a) A={1,2,3,4,5}\displaystyle A=\{1,2,3,4,5\}이면 A~={2,3,4,5,6,7,8,9,10}\displaystyle \widetilde{A}=\{2,3,4,5,6,7,8,9,10\}으로 n(A~)=9\displaystyle n(\widetilde{A})=9이다.

+7점 · (b) n(A~)\displaystyle n(\widetilde{A})의 최솟값을 찾고 명확하게 증명하면

(b) A\displaystyle A의 원소를 a1<a2<⋯<ak\displaystyle a_1<a_2<\cdots<a_k라 하자.그러면 2a1<a1+a2<2a2<a2+a3<⋯<ak−2+ak−1<2ak−1<ak−1+ak<2ak\displaystyle 2a_1<a_1+a_2<2a_2<a_2+a_3<\cdots<a_{k-2}+a_{k-1}<2a_{k-1}<a_{k-1}+a_k<2a_k이므로 A~\displaystyle \widetilde{A}는 적어도 2k−1\displaystyle 2k-1개의 원소를 갖는다. 따라서 n(A~)≥2k−1\displaystyle n(\widetilde{A})\ge2k-1이다.A={1,2,⋯ ,k}\displaystyle A=\{1,2,\cdots,k\}일 때 A~={2,3,⋯ ,2k}\displaystyle \widetilde{A}=\{2,3,\cdots,2k\}로 n(A~)=2k−1\displaystyle n(\widetilde{A})=2k-1이다. 따라서 n(A~)\displaystyle n(\widetilde{A})가 될 수 있는 값 중 가장 작은 값은 2k−1\displaystyle 2k-1이다.

(3-3) (3-1)(b)와 (3-2)(b)에서 n(A~)\displaystyle n(\widetilde{A})의 최댓값과 최솟값은 각각 k2+k2\displaystyle \frac{k^2+k}{2}와 2k−1\displaystyle 2k-1임을 증명하였다. 이제 다음 명제를 증명하여 n(A~)\displaystyle n(\widetilde{A})의 값은 2k−1\displaystyle 2k-1이상 k2+k2\displaystyle \frac{k^2+k}{2}이하의 모든 정수가 가능함을 보이자.

명제 : 임의의 자연수 2k−1≤m≤k2+k2\displaystyle 2k-1\le m\le\frac{k^2+k}{2}에 대하여 n(A)=k\displaystyle n(A)=k이고 n(A~)=m\displaystyle n(\widetilde{A})=m인 자연수로 구성된 집합 A\displaystyle A가 존재한다.

k\displaystyle k에 관한 수학적 귀납법으로 증명하자.k=1\displaystyle k=1일 때, 2k−1=k2+k2=1\displaystyle 2k-1=\frac{k^2+k}{2}=1이고 A={1}\displaystyle A=\{1\}이 조건을 만족하는 집합이다.k=2\displaystyle k=2일 때, 2k−1=k2+k2=3\displaystyle 2k-1=\frac{k^2+k}{2}=3이고 A={1,2}\displaystyle A=\{1,2\}가 조건을 만족하는 집합이다.k>2\displaystyle k>2라 하고, 위의 명제가 k−1\displaystyle k-1일 때 성립한다고 가정하자. 2k−1≤m≤3k−4\displaystyle 2k-1\le m\le3k-4인 경우와 3k−3≤m≤k2+k2\displaystyle 3k-3\le m\le\frac{k^2+k}{2}인 경우로 나눠서 A\displaystyle A의 존재성을 증명하자.

+7점 · 2k−1≤m≤3k−4\displaystyle 2k-1\le m\le3k-4인 모든 m\displaystyle m에 대하여 n(A~)=m\displaystyle n(\widetilde{A})=m인 A\displaystyle A의 존재성을 증명하면

a) 2k−1≤m≤3k−4\displaystyle 2k-1\le m\le3k-4인 경우.A={1,2,⋯ ,k−1,m−k+1}\displaystyle A=\{1,2,\cdots,k-1,m-k+1\}라 하자.이때, A~={2,3,⋯ ,2k−2}∪{m−k+2,m−k+3,⋯ ,m}∪{2m−2k+2}\displaystyle \widetilde{A}=\{2,3,\cdots,2k-2\}\cup\{m-k+2,m-k+3,\cdots,m\}\cup\{2m-2k+2\}인데m−k+2≤2k−2\displaystyle m-k+2\le2k-2이고 m<2m−2k+2\displaystyle m<2m-2k+2이므로A~={2,3,⋯ ,m−1,m,2m−2k+2}\displaystyle \widetilde{A}=\{2,3,\cdots,m-1,m,2m-2k+2\}로 n(A~)=(m−1)+1=m\displaystyle n(\widetilde{A})=(m-1)+1=m이다.

+8점 · 3k−3≤m≤k2+k2\displaystyle 3k-3\le m\le\frac{k^2+k}{2}인 모든 m\displaystyle m에 대하여 n(A~)=m\displaystyle n(\widetilde{A})=m인 A\displaystyle A의 존재성을 증명하면

b) 3k−3≤m≤k2+k2\displaystyle 3k-3\le m\le\frac{k^2+k}{2}인 경우.2(k−1)−1=2k−3≤m−k≤k2−k2=(k−1)2+(k−1)2\displaystyle 2(k-1)-1=2k-3\le m-k\le\frac{k^2-k}{2}=\frac{(k-1)^2+(k-1)}{2}이므로 수학적 귀납법에 의하여 n(B)=k−1\displaystyle n(B)=k-1이고 n(B~)=m−k\displaystyle n(\widetilde{B})=m-k인 집합 B\displaystyle B가 존재한다. B\displaystyle B에서 가장 큰 원소를 x\displaystyle x라 할 때 집합 A=B∪{2x+1}\displaystyle A=B\cup\{2x+1\}로 정의하자.그러면 A~=B~∪{2x+1+b∣b∈B}∪{4x+2}\displaystyle \widetilde{A}=\widetilde{B}\cup\{2x+1+b\mid b\in B\}\cup\{4x+2\}인데 B~\displaystyle \widetilde{B}의 가장 큰 원소는 2x\displaystyle 2x이고 {2x+1+b∣b∈B}\displaystyle \{2x+1+b\mid b\in B\}의 각 원소는 2x+1\displaystyle 2x+1이상 3x+1\displaystyle 3x+1이하이므로 세 개의 집합 B~\displaystyle \widetilde{B}, {2x+1+b∣b∈B}\displaystyle \{2x+1+b\mid b\in B\}, {2x+2y+2}\displaystyle \{2x+2y+2\}는 서로소이다.Correction. 이 집합의 2x+2y+2\displaystyle 2x+2y+2는 4x+2\displaystyle 4x+2의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서 n(A~)=(m−k)+(k−1)+1=m\displaystyle n(\widetilde{A})=(m-k)+(k-1)+1=m이다.

수학적 귀납법에 의하여 모든 자연수 k\displaystyle k에 대하여 위의 명제가 성립한다.

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