의예과 2번

(2-1) 점 $\displaystyle (2,1)$에서 원에 그은 두 접선의 접점들을 각각 $\displaystyle P(x_1,y_1)$, $\displaystyle Q(x_2,y_2)$라 하면, 제시문에 의해 두 접선의 방정식은$\displaystyle x_1x+y_1y=1$, $\displaystyle x_2x+y_2x=1$이다.Correction. 두 번째 접선식의 $\displaystyle y_2x$는 $\displaystyle y_2y$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.점 $\displaystyle (2,1)$은 두 접선 위에 있으므로 $\displaystyle 2x_1+y_1=1$, $\displaystyle 2x_2+y_2=1$이다.

따라서 두 접점을 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle 2x+y=1$이다.

(2-2) 직선 $\displaystyle l$의 방정식은 $\displaystyle x+2y=4$로 나타낼 수 있고, 따라서 $\displaystyle R$의 좌표는 $\displaystyle (4-2t,t)$가 된다. 따라서 위 (1)에서와 마찬가지로 직선 $\displaystyle m$의 방정식은 $\displaystyle (4-2t)x+ty=1$이 된다. 두 직선 $\displaystyle l,m$, 그리고 $\displaystyle x$축이 삼각형을 이루지 않으려면 다음 경우만 가능하다.

1) 세 직선 중 두 개가 평행$\displaystyle l$과 $\displaystyle m$이 평행하거나 $\displaystyle x$축과 $\displaystyle m$이 평행해야 한다. $\displaystyle x$축은 직선의 방정식으로 나타내면 $\displaystyle y=0$이므로, 제시문에 의해 $\displaystyle t=2(4-2t)$이거나 $\displaystyle 4-2t=0$이다. 즉, $\displaystyle t=\frac{8}{5}$또는 $\displaystyle t=2$이다.

2) 세 직선이 한 점에서 만남두 직선 $\displaystyle l,m$의 교점을 구해보면, 연립방정식 $\displaystyle x+2y=4$, $\displaystyle (4-2t)x+ty=1$을 풀어야 한다. 계산해보면 $\displaystyle y=\frac{-8t+15}{-5t+8}$이므로, 만약 이 값이 $\displaystyle 0$이면 세 직선이 한 점에서 만난다. 따라서 $\displaystyle t=\frac{15}{8}$인 경우가 된다.따라서, 구하는 답은 $\displaystyle t\neq2,\frac{8}{5},\frac{15}{8}$이 된다.

(2-3) (a) 직선 $\displaystyle m$이 $\displaystyle x$축과 만나는 점은 $\displaystyle (4-2t)x+ty=1$에서 $\displaystyle y=0$인 경우이므로, $\displaystyle x=\frac{1}{4-2t}$가 된다.$\displaystyle l,m$의 교점의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle y=\frac{-8t+15}{-5t+8}$이므로,$\displaystyle S(t)=\frac{1}{2}\times\left|4-\frac{1}{4-2t}\right|\times\left|\frac{-8t+15}{-5t+8}\right|$임을 얻는다.

따라서 $\displaystyle \lim_{t\to\infty}S(t)=\frac{1}{2}\cdot4\cdot\frac{8}{5}=\frac{16}{5}$이다.

(b) $\displaystyle t\le0$이면, $\displaystyle 4-\frac{1}{4-2t}>0$, $\displaystyle \frac{-8t+15}{-5t+8}>0$이므로,$\displaystyle S(t)=\frac{1}{2}\left(4-\frac{1}{4-2t}\right)\left(\frac{-8t+15}{-5t+8}\right)=\frac{1}{2}\left(4-\frac{1}{4-2t}\right)\left(\frac{8}{5}+\frac{11}{5(-5t+8)}\right)$이다.이 때 $\displaystyle S(t)$의 미분을 계산하면$\displaystyle S^{\prime}(t)=\frac{(15-8t)(7-3t)}{2(2-t)^2(-5t+8)^2}$임을 알 수 있고, 따라서 $\displaystyle t\le0$일 때 분모와 분자가 모두 양의 실수가 되므로, 함수 $\displaystyle S(t)$는 $\displaystyle t\le0$에서 항상 증가한다. 따라서 $\displaystyle t=0$일 때 최댓값을 갖는다.

그러므로 $\displaystyle S(t)$의 최댓값은 $\displaystyle S(0)=\frac{1}{2}\left(4-\frac{1}{4}\right)\left(\frac{15}{8}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{15}{4}\cdot\frac{15}{8}=\frac{225}{64}$가 된다.