자연계열 1번

(1-1) (a) 제시문 (가)에 의하여 곡선 $\displaystyle y=x^2+1$위의 점 $\displaystyle P(t,t^2+1)$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle y-(t^2+1)=2t(x-t)$이다.

$\displaystyle y=0$일 때, $\displaystyle x=\frac{t^2-1}{2t}$이므로 $\displaystyle A$의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{t^2-1}{2t},0\right)$이다.

(b) 제시문 (나)에 의하여 두 점 $\displaystyle (0,2)$와 $\displaystyle (t,t^2+1)$을 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=\frac{t^2-1}{t}x+2$이다.

$\displaystyle y=0$일 때,$\displaystyle x=\frac{2t}{1-t^2}$이므로 $\displaystyle B$의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{2t}{1-t^2},0\right)$이다.

(1-2) 점 $\displaystyle P$에서 변 $\displaystyle AB$에 내린 수선의 발을 $\displaystyle H$라 하면, 삼각형 $\displaystyle PAB$의 넓이는$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\overline{AB}\cdot\overline{PH}=\frac{1}{2}\left(\frac{2t}{1-t^2}-\frac{t^2-1}{2t}\right)\cdot(t^2+1)=\frac{(t^2+1)^3}{4t(1-t^2)}$이다.

$\displaystyle t=\frac{1}{2}$을 대입하면 $\displaystyle \frac{125}{96}$가 된다.

(1-3) $\displaystyle f(t)=\frac{(t^2+1)^3}{4t(1-t^2)}$이라 하고, $\displaystyle 0<t<1$에서 $\displaystyle f(t)$의 값이 최소가 되는 경우를 보면 된다.$\displaystyle f(t)$를 $\displaystyle t$에 관하여 미분하면$\displaystyle f^{\prime}(t)=-\frac{(t^2+1)^2(3t^4-8t^2+1)}{4t^2(1-t^2)^2}$이다.

$\displaystyle f^{\prime}(t)=0$을 만족하는 $\displaystyle t$는 $\displaystyle 3t^4-8t^2+1=0$을 만족하므로 $\displaystyle t^2=\frac{4\pm\sqrt{13}}{3}$이다. 한편, $\displaystyle 0<t^2<1$이므로 $\displaystyle t^2=\frac{4-\sqrt{13}}{3}$이다.

또한 $\displaystyle 0<t^2<\frac{4-\sqrt{13}}{3}$일 때 $\displaystyle 3t^4-8t^2+1>0$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(t)<0$이고 $\displaystyle \frac{4-\sqrt{13}}{3}<t^2<1$일 때 $\displaystyle 3t^4-8t^2+1<0$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(t)>0$이다. 따라서 제시문 (다)에 의하여 $\displaystyle f(t)$는 $\displaystyle t^2=\frac{4-\sqrt{13}}{3}$일 때 극솟값을 갖는다.즉, $\displaystyle S$가 최소가 되는 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle t^2=\frac{4-\sqrt{13}}{3}$이다.