의예과 2번

(2-1) $\displaystyle 2\alpha\le x\le2\pi$인 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x)=0$이므로$\displaystyle \int_0^{2\pi}f(x)\sin xdx=\int_0^{\alpha}x\sin xdx+\int_{\alpha}^{2\alpha}(-x+2\alpha)\sin xdx$이다. 제시문 (가)의 부분적분법에 의하여$\displaystyle \int x\sin xdx=\sin x-x\cos x,\ \int(-x+2\alpha)\sin xdx=-\sin x+x\cos x-2\alpha\cos x$이므로$\displaystyle \int_0^{2\pi}f(x)\sin xdx=(\sin\alpha-\alpha\cos\alpha)+(-\sin2\alpha+\sin\alpha+\alpha\cos\alpha)=-\sin2\alpha+2\sin\alpha$이다.

(2-2) $\displaystyle g(\alpha)=\int_0^{2\pi}f(x)\sin xdx=-\sin2\alpha+2\sin\alpha$라 하자.$\displaystyle g^{\prime}(\alpha)=2\cos\alpha-2\cos2\alpha=2\cos\alpha-2(2\cos^2\alpha-1)=-2(2\cos\alpha+1)(\cos\alpha-1)=0$을 만족하는 $\displaystyle \alpha$는 $\displaystyle 2k\pi$, $\displaystyle 2k\pi\pm\frac{2\pi}{3}$꼴이다. 그런데 $\displaystyle \frac{\pi}{2}\le\alpha\le\pi$이므로 $\displaystyle \alpha=\frac{2\pi}{3}$이다.

한편 $\displaystyle 0<\alpha<\frac{2\pi}{3}$일 때 $\displaystyle g^{\prime}(\alpha)>0$이고 $\displaystyle \frac{2\pi}{3}<\alpha<\pi$일 때 $\displaystyle g^{\prime}(\alpha)<0$이므로 $\displaystyle g(\alpha)$는 $\displaystyle \alpha=\frac{2\pi}{3}$일 때 최댓값 $\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}$을 갖는다.

(2-3) (a) $\displaystyle h(z)>f(z)$인 $\displaystyle 0\le z\le\pi$가 존재한다고 가정하자. $\displaystyle h(0)=f(0)$, $\displaystyle h(\pi)=f(\pi)$이므로 $\displaystyle z\neq0,\pi$이다.$\displaystyle 0<z<\alpha$이면 제시문 (나)의 평균값 정리에 의하여 $\displaystyle h^{\prime}(c)=\frac{h(z)-h(0)}{z-0}>\frac{f(z)}{z}=1$인 $\displaystyle 0<c<z$가 존재해야 하는데 $\displaystyle 0<x<2\pi$인 모든 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle |h^{\prime}(x)|\le1$이라는 것에 모순이다.

같은 방법으로 $\displaystyle \alpha\le z<\pi$이면 $\displaystyle h^{\prime}(c)=\frac{h(\pi)-h(z)}{\pi-z}<\frac{h(\pi)-f(z)}{\pi-z}=-1$인 $\displaystyle z<c<\pi$가 존재하므로 모순이다. 따라서 $\displaystyle 0\le x\le\pi$인 모든 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle h(x)\le f(x)$이다.

(b) $\displaystyle 0\le h(\pi)\le\pi$이므로 $\displaystyle h(\pi)=-\pi+2\alpha$인 $\displaystyle \frac{\pi}{2}\le\alpha\le\pi$가 존재한다. (a)에 의하여 모든 $\displaystyle 0\le x\le\pi$에 대하여 $\displaystyle h(x)\le f(x)$이다. 그리고 같은 방법으로 모든 $\displaystyle \pi\le x\le2\pi$에 대하여 $\displaystyle h(x)\ge f(x)$임을 보일 수 있다.한편, $\displaystyle 0\le x\le\pi$이면 $\displaystyle 0\le\sin x\le1$이므로 $\displaystyle h(x)\sin x\le f(x)\sin x\le x$이고 $\displaystyle \pi\le x\le2\pi$이면 $\displaystyle \sin x\le0$이므로 $\displaystyle h(x)\sin x\le f(x)\sin x\le x$이다. 즉, $\displaystyle 0\le x\le2\pi$인 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여, $\displaystyle h(x)\sin x\le f(x)\sin x\le x$이다.

그러므로 두 곡선 $\displaystyle y=f(x)\sin x$와 $\displaystyle y=x$ 및 두 직선 $\displaystyle x=0$, $\displaystyle x=2\pi$로 둘러싸인 도형을 $\displaystyle B$라 하고, $\displaystyle B$의 넓이를 $\displaystyle S^{\prime}$이라 하면, $\displaystyle B$는 $\displaystyle A$에 포함되고 $\displaystyle S\ge S^{\prime}$이 된다. 제시문 (다)에 의하여$\displaystyle S^{\prime}=\int_0^{2\pi}|x-f(x)\sin x|dx=\int_0^{2\pi}(x-f(x)\sin x)dx$이므로

$\displaystyle S\ge S^{\prime}=\int_0^{2\pi}(x-f(x)\sin x)dx=2\pi^2-(-\sin2\alpha+2\sin\alpha)\ge2\pi^2-\frac{3\sqrt{3}}{2}$이다.