자연계열 2번

(2-1) 새로운 함수 $\displaystyle h(x)=f(x)-g(x)$를 정의하면, $\displaystyle h(x)$는 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속이고 열린구간 $\displaystyle (a,b)$에서 미분가능하다. 또한 주어진 가정에 의해 $\displaystyle h(a)=f(a)-g(a)=0$이고, $\displaystyle a<x<b$인 모든 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle h^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-g^{\prime}(x)>0$이다. 제시문 (가)의 평균값 정리에 의해 $\displaystyle \frac{h(b)-h(a)}{b-a}=h^{\prime}(c)>0$을 만족하는 $\displaystyle c$가 열린구간 $\displaystyle (a,b)$에 존재한다. 따라서 $\displaystyle f(b)-g(b)=h(b)=h(b)-h(a)>0$이 성립하고, $\displaystyle f(b)>g(b)$임을 증명할 수 있다.

(2-2)(a) $\displaystyle f^{\prime}(x)=1+x+\cdots+x^{n-1}$, $\displaystyle g^{\prime}(x)=(n+1)ax^n$이고, $\displaystyle f^{\prime}(1)\ge g^{\prime}(1)$이어야 하므로, $\displaystyle a\le\frac{n}{n+1}$이다.$\displaystyle a=\frac{n}{n+1}$일 때 $\displaystyle 0\le k\le n$이고 $\displaystyle 0<x<1$이면 $\displaystyle x^k>x^n$이므로, $\displaystyle f^{\prime}(x)>g^{\prime}(x)$이다.Comment. $\displaystyle k=n$이면 두 값은 같다. 여기서는 도함수의 항에 해당하는 $\displaystyle 0\le k\le n-1$에 대해 $\displaystyle x^k>x^n$을 사용한다. 최종 답에는 영향이 없다.따라서 문제의 조건을 만족하는 $\displaystyle a$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{n}{n+1}$이다.

(2-2)(b) $\displaystyle f(1)>g(1)$이 성립하려면 $\displaystyle 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}>a$를 만족해야 한다. 또한 $\displaystyle a\le\frac{n}{n+1}$인 경우, $\displaystyle 0<x<1$인 모든 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)>g^{\prime}(x)$임을 알 수 있다. $\displaystyle a>\frac{n}{n+1}$인 경우,새로운 함수 $\displaystyle h(x)=f^{\prime}(x)-g^{\prime}(x)$를 정의하면 $\displaystyle h(0)=f^{\prime}(0)-g^{\prime}(0)=1-0>0$이고 $\displaystyle h(1)=f^{\prime}(1)-g^{\prime}(1)=n-(n+1)a<0$이다. 따라서 사잇값 정리에 의해 열린구간 $\displaystyle (0,1)$에 어떤 $\displaystyle c$가 존재해서$\displaystyle f^{\prime}(c)-g^{\prime}(c)=h(c)=\frac{f^{\prime}(1)-g^{\prime}(1)}{2}<0$이 성립한다.따라서 문제에서 주어진 조건을 모두 만족하는 실수 $\displaystyle a$의 범위는 $\displaystyle \frac{n}{n+1}<a<1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}$이다.