의예과 3번

(3-1) 주어진 정의에 따라서 계산해 보면, $\displaystyle a_1=a_2=0$이므로, 집합$\displaystyle \{k\mid k$는 자연수, $\displaystyle k\le2$이고 $\displaystyle a_k=0\}$의 원소의 개수는 $\displaystyle 2$이다. 따라서, $\displaystyle a_6=a_5=a_4=0$이다.집합 $\displaystyle \{k\mid k$는 자연수, $\displaystyle k\le3$이고 $\displaystyle a_k=0\}$의 원소의 개수도 $\displaystyle 2$이므로, $\displaystyle a_8=a_7=a_6=0$이다.

집합 $\displaystyle \{k\mid k$는 자연수, $\displaystyle k\le4$이고 $\displaystyle a_k=0\}$의 원소의 개수는 $\displaystyle 3$이므로, $\displaystyle a_9=1$, $\displaystyle a_{10}=0$이다.

(3-2) (a) 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여,집합 $\displaystyle \{k\mid k$는 자연수, $\displaystyle k\le n$이고 $\displaystyle a_k=0\}$의 원소의 개수가 짝수라면 $\displaystyle a_{2n}=a_{2n+1}=a_{2n+2}$이고,집합 $\displaystyle \{k\mid k$는 자연수, $\displaystyle k\le n$이고 $\displaystyle a_k=0\}$의 원소의 개수가 홀수라면 $\displaystyle a_{2n}\neq a_{2n+1}$이고$\displaystyle a_{2n+1}\neq a_{2n+2}$이므로, $\displaystyle a_{2n}=a_{2n+2}$이다.

주어진 조건에 의하여 $\displaystyle a_2=0$이고, $\displaystyle a_{2k}=0$이라고 가정하면 $\displaystyle a_{2(k+1)}=a_{2k}=0$이다.따라서 수학적 귀납법에 의하여 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a_{2n}=0$이다.

(b) $\displaystyle n\ge m$인 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a_{n+1}=a_n$이 되도록 하는 자연수 $\displaystyle m$이 존재한다고 가정하자. 그러면 $\displaystyle a_m$의 값에 따라서 수학적 귀납법에 의하여 $\displaystyle n\ge m$인 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a_n=0$이거나, 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a_n=1$이어야 한다. 그런데, (a)에 의하여 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a_n=1$일 수는 없다. 따라서 $\displaystyle n\ge m$인 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a_n=0$이어야 한다. $\displaystyle n\ge m$인 경우 집합 $\displaystyle \{k\mid k$는 자연수, $\displaystyle k\le n+1$이고 $\displaystyle a_k=0\}$의 원소의 개수는 집합 $\displaystyle \{k\mid k$는 자연수, $\displaystyle k\le n$이고 $\displaystyle a_k=0\}$의 원소의 개수보다 $\displaystyle 1$만큼 많으므로 $\displaystyle \{k\mid k$는 자연수, $\displaystyle k\le n$이고 $\displaystyle a_k=0\}$의 원소의 개수가 홀수인 $\displaystyle n$이 존재한다.

그러면 $\displaystyle a_{2n+1}\neq a_{2n}$이므로 모순이다. 귀류법에 의하여 문제에서 주어진 명제는 참이다.

(3-3) 먼저 자연수 $\displaystyle k$에 대하여 수열의 네 항 $\displaystyle a_{4k-1}$, $\displaystyle a_{4k}$, $\displaystyle a_{4k+1}$, $\displaystyle a_{4k+2}$중에는 $\displaystyle 0$이 세 개, $\displaystyle 1$이 한 개 있다는 사실을 다음과 같이 두 경우로 나누어서 보일 수 있다.

(경우 1) $\displaystyle a_1,a_2,\ldots,a_{2k-1}$중에 $\displaystyle 0$이 짝수개 있는 경우 $\displaystyle a_{4k-1}=a_{4k-2}=0$이다.$\displaystyle a_{2k}=0$이므로 $\displaystyle a_1,a_2,\ldots,a_{2k-1},a_{2k}$중에는 $\displaystyle 0$이 홀수개 있고 $\displaystyle a_{4k+1}\neq a_{4k}=0$이므로, $\displaystyle a_{4k+1}=1$이고 $\displaystyle a_{4k+2}=0$이다.(경우 2) $\displaystyle a_1,a_2,\ldots,a_{2k-1}$중에 $\displaystyle 0$이 홀수개 있는 경우 $\displaystyle a_{4k-1}\neq a_{4k-2}=0$이므로 $\displaystyle a_{4k-1}=1$이다.$\displaystyle a_1,a_2,\ldots,a_{2k-1},a_{2k}$중에는 $\displaystyle 0$이 짝수개 있고 $\displaystyle a_{4k+1}=a_{4k}=0$이다.

$\displaystyle k=1,2,\cdots,506$을 대입하면 $\displaystyle a_1=a_2=0$이므로 집합 $\displaystyle \{k\mid k$는 자연수, $\displaystyle k\le2026$이고 $\displaystyle a_k=0\}$의 원소의 개수는 $\displaystyle 2+506\times3=1520$이다. $\displaystyle a_{2026}=0$이므로, $\displaystyle \{k\mid k$는 자연수, $\displaystyle k\le2025$이고 $\displaystyle a_k=0\}$의 원소의 개수는 $\displaystyle 1519$이다.