자연계열 3번

(3-1) 절댓값 내부의 함수가 함숫값이 $\displaystyle 0$이 되는 경우에만 미분가능하지 않을 가능성이 있다. $\displaystyle \sin(3x)=0$이 되는 경우는 $\displaystyle 3x=k\pi$꼴이 된다. 이 조건을 만족하는 $\displaystyle x=\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3},\pi,\frac{4\pi}{3},\frac{5\pi}{3}$이다. 각각의 $\displaystyle x=x_0$에 대해,

그 점 근처에서 미분가능성을 확인하기 위해 제시문 (가)의 극한값이 존재하는지 확인하면 된다. 극한값은 좌극한과 우극한의 값이 존재하고 두 값이 같을 때 존재하므로 좌극한과 우극한을 구하면$\displaystyle x=\frac{\pi}{3},\pi,\frac{5\pi}{3}$일 때는$\displaystyle \lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0^-}\frac{\sin(3x)-\sin(3x_0)}{x-x_0}=\sin^{\prime}(3x_0)=3\cos(3x_0)=-3$Caution. 도함수에 값을 대입하는 것과 합성함수를 미분하는 것을 구별해야 한다: 여기서 구한 것은 합성함수 $\displaystyle \sin(3x)$의 $\displaystyle x=x_0$에서의 미분계수이므로 $\displaystyle 3\cos(3x_0)$이다. 반면 $\displaystyle \sin^{\prime}(3x_0)$는 $\displaystyle \cos(3x_0)$를 뜻한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=-\lim_{x\to x_0^+}\frac{\sin(3x)-\sin(3x_0)}{x-x_0}=-\sin^{\prime}(3x_0)=-3\cos(3x_0)=3$이므로 두 극한값이 다르며,$\displaystyle x=\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}$일 때는$\displaystyle \lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=-\lim_{x\to x_0^-}\frac{\sin(3x)-\sin(3x_0)}{x-x_0}=-\sin^{\prime}(3x_0)=-3\cos(3x_0)=-3$$\displaystyle \lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0^+}\frac{\sin(3x)-\sin(3x_0)}{x-x_0}=\sin^{\prime}(3x_0)=3\cos(3x_0)=3$이므로 두 극한값이 다르다.따라서 각각의 $\displaystyle x=\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3},\pi,\frac{4\pi}{3},\frac{5\pi}{3}$들은 모두 미분가능하지 않은 점이 되며, 답은 $\displaystyle x=\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3},\pi,\frac{4\pi}{3},\frac{5\pi}{3}$이다.

(3-2) 위 (3-1)의 설명에 의해, $\displaystyle |\sin(x)|$가 미분가능하지 않은 점은 $\displaystyle \sin(x)=0$이 되는 모든 점이고, $\displaystyle |\sin(3x)|$역시 미분가능하지 않은 점은 $\displaystyle \sin(3x)=0$이 되는 모든 점이다. 따라서 둘 중 하나만 $\displaystyle 0$인 경우는 미분가능하지 않은 점이 된다. 이제 둘 다 모두 $\displaystyle 0$이 되는 경우, 즉, $\displaystyle x=\pi$인 경우만 확인하면 된다.

$\displaystyle x=\pi$에서 함수가 연속임은 분명하므로, $\displaystyle \lim_{x\to\pi^-}\frac{f(x)-f(\pi)}{x-\pi}=\lim_{x\to\pi^+}\frac{f(x)-f(\pi)}{x-\pi}$인지 확인하면 된다.$\displaystyle \lim_{x\to\pi^-}\frac{f(x)-f(\pi)}{x-\pi}=\lim_{x\to\pi^-}\frac{\sin(x)-\frac{1}{3}\sin(3x)}{x-\pi}=\cos(\pi)-\cos(3\pi)=0$$\displaystyle \lim_{x\to\pi^+}\frac{f(x)-f(\pi)}{x-\pi}=\lim_{x\to\pi^+}\frac{-(\sin(x)-\frac{1}{3}\sin(3x))}{x-\pi}=-(\cos(\pi)-\cos(3\pi))=0$이므로, 미분계수가 존재하며, 따라서 $\displaystyle x=\pi$에서 미분가능하다.그러므로 미분가능하지 않은 점은 $\displaystyle x=\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3},\frac{5\pi}{3}$총 네 개이다.

(3-3) 위 (3-2)의 논의를 바탕으로, $\displaystyle \sin(36x)$, $\displaystyle \sin(42x)$ 둘 중 하나만 $\displaystyle 0$인 경우는 미분가능하지 않은 점이 됨을 관찰할 수 있으며, 둘 다 $\displaystyle 0$이 되는 점의 경우에는 제시문 (가)의 극한값이 존재하는 지 여부, 즉 좌극한과 우극한의 값이 존재하고 둘이 같은지 비교해 보면 된다.$\displaystyle \sin(36x)=0$인 점은 $\displaystyle 36x=k\pi\ (k=1,2,\cdots,71)$이고 $\displaystyle \sin(42x)=0$인 점은 $\displaystyle 42x=k\pi\ (k=1,2,\cdots,83)$이며, $\displaystyle 36$과 $\displaystyle 42$의 최대공약수가 $\displaystyle 6$이므로 $\displaystyle \sin(36x)=\sin(42x)=0$인 점은 $\displaystyle 6x=k\pi\ (k=1,2,\cdots,11)$이다.따라서 $\displaystyle \sin(36x)=0$인 점 중 $\displaystyle \sin(42x)\neq0$인 점은 $\displaystyle k=1,2,\cdots,71$중 $\displaystyle 11$개를 제외하면 되므로, 총 $\displaystyle 60$개가 된다. 마찬가지로 $\displaystyle \sin(42x)=0$인 점 중 $\displaystyle \sin(36x)\neq0$인 점은 총 $\displaystyle 72$개가 된다.

이제 $\displaystyle \sin(36x)=\sin(42x)=0$인 점 $\displaystyle x=\frac{k}{6}\pi\ (k=1,2,\cdots,11)$에 대해, 미분가능성을 따져보자. 위 (3-2)와 같이 좌극한과 우극한의 값이 존재하고 같은지 확인하면 되는데, 이 점들에 대해 두 함수 $\displaystyle \frac{1}{36}|\sin(36x)|$와 $\displaystyle \frac{1}{42}|\sin(42x)|$의 좌미분계수 값은 항상 $\displaystyle -1$이 되며, 우미분계수 값은 항상 $\displaystyle 1$임을 확인할 수 있다. 따라서 모두 미분가능하다.

따라서 미분 불가능한 점의 총 개수는 $\displaystyle 60+72=132$개가 된다.