자연계열 1번

(1-1) $\displaystyle f^{\prime}(x)=4x^{3}+34x$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(3)=4\cdot3^{3}+34\cdot3=210$이다. 따라서 직선의 방정식은 $\displaystyle y=210x+3$이다.

교점을 구하는 방정식을 정리하면 $\displaystyle x^{4}+17x^{2}-210x=0$이고 구하고자 하는 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle 3$보다 크므로 $\displaystyle x^{3}+17x-210=0$이다. 이때, $\displaystyle 210$의 약수 중, $\displaystyle x=5$가 방정식을 만족하고 $\displaystyle x^{3}+17x-210=(x-5)(x^{2}+5x+42)$이므로 $\displaystyle x=5$가 구하고자 하는 교점의 $\displaystyle x$좌표이다.

(1-2) $\displaystyle h(t)$에 대한 식은 $\displaystyle \frac{f(h(t))-f(0)}{h(t)}=f^{\prime}(t)$이다. 주어진 조건에 의하여 모든 양수 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle h(t)>t>0$이므로 $\displaystyle h(t)$는 항상 양수이고 $\displaystyle f(h(t))-f(0)=f^{\prime}(t)h(t)$가 성립한다.

양변을 $\displaystyle t$에 대하여 미분하면 $\displaystyle h^{\prime}(t)(f^{\prime}(h(t)))=f^{\prime\prime}(t)h(t)+f^{\prime}(t)h^{\prime}(t)$이다.

모든 양수 $\displaystyle t$에 대해, $\displaystyle f^{\prime\prime}(t)>0$이고 $\displaystyle h(t)>t$이므로 제시문 (나)에 의해 $\displaystyle f^{\prime}(h(t))-f^{\prime}(t)>0$이고 $\displaystyle h^{\prime}(t)=\frac{f^{\prime\prime}(t)h(t)}{f^{\prime}(h(t))-f^{\prime}(t)}$로 표현할 수 있고 $\displaystyle h^{\prime}(t)>0$임을 알 수 있다. 제시문 (나)에 의하여 $\displaystyle h(t)$는 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 증가한다.

(1-3) (1-2)에서와 같이 $\displaystyle h(t)$에 대한 식은 $\displaystyle \frac{f(h(t))-f(0)}{h(t)}=f^{\prime}(t)$이다. 주어진 식에 대해서 $\displaystyle t=h^{-1}(s)$를 대입하면 $\displaystyle f(s)-f(0)=sf^{\prime}(h^{-1}(s))$이 된다.

$\displaystyle s$에 대하여 합성함수 미분을 적용하면 $\displaystyle f^{\prime}(s)=f^{\prime}(h^{-1}(s))+sf^{\prime\prime}(h^{-1}(s))(h^{-1})^{\prime}(s)$가 된다.

(1-1)에서 $\displaystyle s=5$임을 알 수 있고, $\displaystyle h^{-1}(5)=3$이고, $\displaystyle f^{\prime}(x)=4x^{3}+34x$, $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=12x^{2}+34$이다. 이를 모두 대입하면 $\displaystyle (h^{-1})^{\prime}(5)=\frac{46}{71}$이다.