자연계열 2번

(2-1) 각 구간에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)$를 구하면$\displaystyle f^{\prime}(x)=\begin{cases}1+a\pi\cos(\pi x)&(x>0)\\2+2b\pi\cos(2\pi x)&(x<0)\end{cases}$이다.

$\displaystyle f(x)$가 미분가능한 함수가 되려면 제시문 (가)에 의해 $\displaystyle x=0$에서 좌극한과 우극한이 같아야 하므로 $\displaystyle 1+a\pi=2+2b\pi$가 되어야 한다. 따라서 $\displaystyle a-2b=\frac{1}{\pi}$이므로 $\displaystyle a=\frac{1}{4}$인 경우, $\displaystyle b=\frac{1}{8}-\frac{1}{2\pi}$가 된다.

(2-2) 실수 전체에서 정의된 연속인 함수가 역함수를 가지려면 함수가 증가함수이거나 감소함수이어야 한다. 그런데 $\displaystyle 2-2|b|\le2+2b\cos(\pi x)\le2+2|b|$이므로 적당한 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle 0$보다 큰 경우가 존재한다.Correction. 음의 $\displaystyle x$에서 도함수는 $\displaystyle 2+2b\pi\cos(2\pi x)$이므로, 이 부등식은 $\displaystyle 2-2\pi|b|\le2+2b\pi\cos(2\pi x)\le2+2\pi|b|$로 써야 한다. 증가함수만 가능하다는 결론과 최종 답은 맞다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.즉 증가함수인 경우만 가능하다. 따라서 모든 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)\ge0$인 경우만 가능하다.모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle |\cos x|\le1$이므로, $\displaystyle 1-a\pi\ge0$, $\displaystyle 1+a\pi\ge0$, $\displaystyle 2+2b\pi\ge0$, $\displaystyle 2-2b\pi\ge0$인 경우 역함수를 가질 수 있으며, 실제로 이 조건들을 만족하는 경우 $\displaystyle f(x)$는 증가함수가 되어 역함수를 갖는다. 따라서 역함수를 가지는 것은 $\displaystyle -\frac{1}{\pi}\le a\le\frac{1}{\pi}$이고, $\displaystyle -\frac{1}{\pi}\le b\le\frac{1}{\pi}$임과 동치이다. (2-1)에서 $\displaystyle f(x)$가 미분가능한 함수가 되는 조건이 $\displaystyle a-2b=\frac{1}{\pi}$임을 구했으므로, 미분가능하고 역함수를 갖도록 하는 조건은 $\displaystyle a-2b=\frac{1}{\pi}$이고 $\displaystyle -\frac{1}{\pi}\le a\le\frac{1}{\pi}$인 구간이 된다.

이제 $\displaystyle a^{2}+b^{2}$가 최소가 되는 경우를 찾자.$\displaystyle a^{2}+b^{2}=\left(2b+\frac{1}{\pi}\right)^{2}+b^{2}=5b^{2}+\frac{4}{\pi}b+\frac{1}{\pi^{2}}=5\left(b+\frac{2}{5\pi}\right)^{2}+\frac{1}{5\pi^{2}}$이므로, 이 값은 $\displaystyle b=-\frac{2}{5\pi}$일 때 최소가 되며, 이때 $\displaystyle a=\frac{1}{5\pi}$이므로 $\displaystyle -\frac{1}{\pi}\le a\le\frac{1}{\pi}$를 만족한다.

그러므로 구하고자 하는 $\displaystyle a,b$의 값은 $\displaystyle a=\frac{1}{5\pi}$, $\displaystyle b=-\frac{2}{5\pi}$이다.

(2-3)$\displaystyle f(x)=\begin{cases}x+a\sin(\pi x)&(x\ge0)\\2x+b\sin(2\pi x)&(x<0)\end{cases}\qquad f^{\prime}(x)=\begin{cases}1+a\pi\cos(\pi x)&(x>0)\\2+2b\pi\cos(2\pi x)&(x<0)\end{cases}$이므로, $\displaystyle 0$이상의 정수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle f(n)=n$이고$\displaystyle n=2k$ ($\displaystyle k$는 정수) 꼴이면 $\displaystyle f^{\prime}(n)=1+a\pi=\frac{6}{5}$이며 제시문 (나)에 의해 $\displaystyle g^{\prime}(n)=\frac{5}{6}$이고,$\displaystyle n=2k+1$ ($\displaystyle k$는 정수) 꼴이면 $\displaystyle f^{\prime}(n)=1-a\pi=\frac{4}{5}$이며 제시문 (나)에 의해 $\displaystyle g^{\prime}(n)=\frac{5}{4}$이다.

음의 정수 $\displaystyle m$에 대하여 $\displaystyle f\left(\frac{m}{2}\right)=m$이고,$\displaystyle m=2k$ ($\displaystyle k$는 정수) 꼴이면 $\displaystyle f^{\prime}\left(\frac{m}{2}\right)=2+2b\pi=\frac{6}{5}$이며 제시문 (나)에 의해 $\displaystyle g^{\prime}(m)=\frac{5}{6}$이고,$\displaystyle m=2k+1$ ($\displaystyle k$는 정수) 꼴이면 $\displaystyle f^{\prime}\left(\frac{m}{2}\right)=2-2b\pi=\frac{14}{5}$이며 제시문(나)에 의해 $\displaystyle g^{\prime}(m)=\frac{5}{14}$이다.

따라서$\displaystyle g^{\prime}(-5)=\frac{5}{14},\ g^{\prime}(-2)=\frac{5}{6},\ g^{\prime}(1)=\frac{5}{4}$이다.