의예과 3번

(3-1) 함수 $\displaystyle f(x)=2x$는 정의역 $\displaystyle [0,\infty)$에서 증가함수이다. $\displaystyle x\ge0$일 때, 구간 $\displaystyle [0,x]$에서 함수 $\displaystyle f(t)$의 최댓값은 $\displaystyle t=x$일 때 $\displaystyle 2x$이고, 최솟값은 $\displaystyle t=0$일 때 $\displaystyle 0$이다. $\displaystyle g(x)$와 $\displaystyle h(x)$의 정의에 의하여 $\displaystyle g(x)=x$, $\displaystyle h(x)=0$이다.

(3-2) 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프의 개형은 $\displaystyle 0\le x\le10$일 때 대략 다음과 같다. ($\displaystyle y$축 방향으로 축소해서 그림)

$\displaystyle n=1,2,3,4$에 대하여 구간 $\displaystyle [2n,2n+1]$의 값 중 $\displaystyle f(t)=f(2n-1)=2^{2(n-1)}$을 만족하는 $\displaystyle t$의 값을 $\displaystyle a_n$이라고 하자. $\displaystyle x\in[2n,2n+1]$일 때 $\displaystyle f(x)=(2^{2n}+2^{2n-1})(x-2n)-2^{2n-1}$이므로 $\displaystyle (2^{2n}+2^{2n-1})(a_n-2n)-2^{2n-1}=2^{2(n-1)}$ 즉 $\displaystyle (4+2)(a_n-2n)-2=1$이다. 따라서 $\displaystyle a_n=2n+\frac{1}{2}$이다.이때 함수 $\displaystyle g(x)$는 구간별로 다음식을 만족한다.$\displaystyle 0\le x\le1$일 때 $\displaystyle g(x)=x$$\displaystyle 2n-1<x<a_n$일 때 $\displaystyle g(x)=2n-1\quad(n=1,2,3,4)$$\displaystyle a_n\le x\le2n+1$일 때 $\displaystyle g(x)=x\quad(n=1,2,3,4)$$\displaystyle 9<x\le10$이면 $\displaystyle g(x)=9$

따라서 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x=a_1,a_2,a_3,a_4$일 때 불연속이다. 그러므로, 구하려는 $\displaystyle a$의 값은 $\displaystyle 2.5,4.5,6.5,8.5$이다.

(3-3) $\displaystyle 0<x<1$일 때 $\displaystyle f(x)=0$이면 $\displaystyle g(x)=h(x)=x$, $\displaystyle f(x)$가 구간 $\displaystyle [0,1]$에서 증가이면 $\displaystyle g(x)=x$, $\displaystyle h(x)=0$이고, $\displaystyle f(x)$가 구간 $\displaystyle [0,1]$에서 감소이면 $\displaystyle g(x)=0$, $\displaystyle h(x)=x$이다. 따라서 문제의 조건에서 $\displaystyle f(x)=0$이다.$\displaystyle 1<x<2$일 때 $\displaystyle g(x)-h(x)$의 그래프는 기울기가 $\displaystyle 1$인 직선의 일부이므로 $\displaystyle g(x)=x$이고 $\displaystyle h(x)$는 상수이므로 $\displaystyle f(x)$는 상수함수 또는 증가함수이다. 그런데, $\displaystyle f(x)$가 이 구간에서 상수라면 $\displaystyle f(x)=0$이 되어야 하므로 $\displaystyle h(x)=x$를 의미하고 이는 문제의 조건을 만족하지 않는다. 따라서 이 구간에서 $\displaystyle f(x)=x+b$ 또는 $\displaystyle f(x)=2x+b$이다. (단, $\displaystyle b$는 상수)$\displaystyle 2<x<3$일 때 $\displaystyle g(x)$와 $\displaystyle h(x)$ 모두 상수이므로 함수 $\displaystyle f(x)$의 구간 $\displaystyle (0,3)$에서의 최댓값과 최솟값은 모두 구간 $\displaystyle [0,2]$의 값일 때 얻어진다.$\displaystyle 3<x<4$일 때 $\displaystyle g(x)$는 상수이고, $\displaystyle h(x)=x$이므로, $\displaystyle f(3)$은 $\displaystyle f(x)$의 구간 $\displaystyle [0,3]$에서의 최솟값이고, $\displaystyle f(x)$는 이 구간에서 감소함수이거나 상수함수이어야 한다.$\displaystyle 4<x<5$일 때 $\displaystyle g(x)$와 $\displaystyle h(x)$ 모두 상수이므로 함수 $\displaystyle f(x)$의 구간 $\displaystyle (0,5)$에서의 최댓값과 최솟값은 모두 구간 $\displaystyle [0,4]$의 값일 때 얻어진다.$\displaystyle 5<x<6$일 때 $\displaystyle g(x)=x$이고 $\displaystyle h(x)$는 상수이므로 $\displaystyle f(x)$는 상수함수 또는 증가함수이고, $\displaystyle f(5)$는 함수 $\displaystyle f(x)$의 구간 $\displaystyle [0,5]$에서의 최댓값이어야 한다.$\displaystyle 6<x<7$일 때 $\displaystyle g(x)$와 $\displaystyle h(x)$ 모두 상수이므로 함수 $\displaystyle f(x)$의 구간 $\displaystyle (0,7)$에서의 최댓값과 최솟값은 모두 구간 $\displaystyle [0,6]$의 값일 때 얻어진다.$\displaystyle 7<x<8$일 때 $\displaystyle g(x)$는 상수이고, $\displaystyle h(x)=x$이므로, $\displaystyle f(7)$은 $\displaystyle f(x)$의 구간 $\displaystyle [0,7]$에서의 최솟값이고, $\displaystyle f(x)$는 이 구간에서 감소함수이거나 상수함수이어야 한다.

이 사실들을 고려하면 함수 $\displaystyle y=f(x)\ (0\le x\le8)$의 그래프의 개형은 각각의 경우 다음과 같다.