의예과 3번

인하대 2026학년도 모의 의예과 3번 · mathesis.kr/archive/inha/2026mo/uiye_3

[문제 3] (35점) 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 $\displaystyle x=a$ 에서의 우극한과 좌극한이 모두 존재하고, 그 값이 모두 $\displaystyle L$ 이면 $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=L$ 이다. 즉 다음이 성립한다. $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=L\ \Leftrightarrow\ \lim_{x\to a^+}f(x)=\lim_{x\to a^-}f(x)=L$

(나) 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 실수 $\displaystyle a$ 에 대하여 다음 조건을 모두 만족시킬 때, 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 연속이라고 한다.(i) 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 정의되어 있다.(ii) 극한값 $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)$ 가 존재한다.(iii) $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x=a$ 에서 연속이 아닐 때, 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 불연속이라고 한다.

(※) 구간 $\displaystyle [0,\infty)$ 에서 연속인 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 모든 양의 정수 $\displaystyle n$ 에 대하여 닫힌구간 $\displaystyle [n-1,n]$ 에서 그래프가 선분이고, $\displaystyle f(0)=0$ 을 만족한다. 임의의 음이 아닌 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle 0\le t\le x$ 인 모든 실수 $\displaystyle t$ 에 대하여 $\displaystyle f(t)\le f(\alpha)$ 가 되도록 하는 $\displaystyle \alpha$ 의 최댓값을 $\displaystyle g(x)$ 라고 하자. 또한 임의의 음이 아닌 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle 0\le t\le x$ 인 모든 실수 $\displaystyle t$ 에 대하여 $\displaystyle f(t)\ge f(\alpha)$ 가 되도록 하는 $\displaystyle \alpha$ 의 최댓값을 $\displaystyle h(x)$ 라고 하자. (단, $\displaystyle 0\le\alpha\le x$ )

(3-1) $\displaystyle f(x)=2x$ 일 때, 함수 $\displaystyle g(x)$ 와 $\displaystyle h(x)$ 의 값을 $\displaystyle x\ (x\ge0)$ 의 식으로 나타내시오. [6점]

(3-2) 모든 양의 정수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle f(n)=(-2)^{n-1}$ 일 때, 함수 $\displaystyle y=g(x)$ 가 $\displaystyle x=a$ 에서 불연속이 되도록 하는 양의 실수 $\displaystyle a$ 중에서 $\displaystyle a<10$ 인 것을 모두 구하시오. [13점]

(3-3) $\displaystyle n$ 이 8 이하의 홀수일 때 열린구간 $\displaystyle (n-1,n)$ 에서 함수 $\displaystyle y=g(x)-h(x)$ 의 그래프는 기울기가 $\displaystyle 0$ 인 직선의 일부이고, $\displaystyle n$ 이 8 이하의 짝수일 때는 열린구간 $\displaystyle (n-1,n)$ 에서 $\displaystyle y=g(x)-h(x)$ 의 그래프는 기울기가 $\displaystyle (-1)^{\frac{n}{2}+1}$ 인 직선의 일부이다. $\displaystyle n$ 이 $\displaystyle 1\le n\le8$ 인 정수일 때 각각의 구간 $\displaystyle [n-1,n]$ 에서 $\displaystyle f(x)$ 의 그래프는 기울기가 $\displaystyle 0,\pm1,\pm2$ 중 하나인 선분이다.(a) $\displaystyle \int_0^8 f(x)dx$ 의 값이 최대가 되도록 하는 함수 $\displaystyle y=f(x)\ (0\le x\le8)$ 의 그래프의 개형을 그리시오. [8점](b) $\displaystyle \int_0^8 f(x)dx$ 의 값이 최소가 되도록 하는 함수 $\displaystyle y=f(x)\ (0\le x\le8)$ 의 그래프의 개형을 그리시오. [8점]

해설강의 준비중

인하대 2026학년도 모의 의예과 3번 · mathesis.kr/archive/inha/2026mo/uiye_3

+3점 ·

\displaystyle g(x)

의 식을 구하면

+3점 ·

\displaystyle h(x)

의 식을 구하면

(3-1) 함수 $\displaystyle f(x)=2x$ 는 정의역 $\displaystyle [0,\infty)$ 에서 증가함수이다. $\displaystyle x\ge0$ 일 때, 구간 $\displaystyle [0,x]$ 에서 함수 $\displaystyle f(t)$ 의 최댓값은 $\displaystyle t=x$ 일 때 $\displaystyle 2x$ 이고, 최솟값은 $\displaystyle t=0$ 일 때 $\displaystyle 0$ 이다. $\displaystyle g(x)$ 와 $\displaystyle h(x)$ 의 정의에 의하여 $\displaystyle g(x)=x$ , $\displaystyle h(x)=0$ 이다.

+3점 ·

\displaystyle y=f(x)

의 그래프의 개형을 파악하면

(3-2) 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 의 그래프의 개형은 $\displaystyle 0\le x\le10$ 일 때 대략 다음과 같다. ( $\displaystyle y$ 축 방향으로 축소해서 그림)

+6점 · 구간별로

\displaystyle g(x)

의 식을 구하면

$\displaystyle n=1,2,3,4$ 에 대하여 구간 $\displaystyle [2n,2n+1]$ 의 값 중 $\displaystyle f(t)=f(2n-1)=2^{2(n-1)}$ 을 만족하는 $\displaystyle t$ 의 값을 $\displaystyle a_n$ 이라고 하자. $\displaystyle x\in[2n,2n+1]$ 일 때 $\displaystyle f(x)=(2^{2n}+2^{2n-1})(x-2n)-2^{2n-1}$ 이므로 $\displaystyle (2^{2n}+2^{2n-1})(a_n-2n)-2^{2n-1}=2^{2(n-1)}$ 즉 $\displaystyle (4+2)(a_n-2n)-2=1$ 이다. 따라서 $\displaystyle a_n=2n+\frac{1}{2}$ 이다.이때 함수 $\displaystyle g(x)$ 는 구간별로 다음식을 만족한다. $\displaystyle 0\le x\le1$ 일 때 $\displaystyle g(x)=x$ $\displaystyle 2n-1<x<a_n$ 일 때 $\displaystyle g(x)=2n-1\quad(n=1,2,3,4)$ $\displaystyle a_n\le x\le2n+1$ 일 때 $\displaystyle g(x)=x\quad(n=1,2,3,4)$ $\displaystyle 9<x\le10$ 이면 $\displaystyle g(x)=9$

+4점 · 불연속점을 모두 구하면

따라서 $\displaystyle g(x)$ 는 $\displaystyle x=a_1,a_2,a_3,a_4$ 일 때 불연속이다. 그러므로, 구하려는 $\displaystyle a$ 의 값은 $\displaystyle 2.5,4.5,6.5,8.5$ 이다.

+4점 · 각각의 구간에서

\displaystyle g(x)

와

\displaystyle h(x)

가 만족해야 하는 성질을 파악하면

+4점 · 각각의 구간에서

\displaystyle f(x)

가 만족해야 하는 성질을 파악하면

(3-3) $\displaystyle 0<x<1$ 일 때 $\displaystyle f(x)=0$ 이면 $\displaystyle g(x)=h(x)=x$ , $\displaystyle f(x)$ 가 구간 $\displaystyle [0,1]$ 에서 증가이면 $\displaystyle g(x)=x$ , $\displaystyle h(x)=0$ 이고, $\displaystyle f(x)$ 가 구간 $\displaystyle [0,1]$ 에서 감소이면 $\displaystyle g(x)=0$ , $\displaystyle h(x)=x$ 이다. 따라서 문제의 조건에서 $\displaystyle f(x)=0$ 이다. $\displaystyle 1<x<2$ 일 때 $\displaystyle g(x)-h(x)$ 의 그래프는 기울기가 $\displaystyle 1$ 인 직선의 일부이므로 $\displaystyle g(x)=x$ 이고 $\displaystyle h(x)$ 는 상수이므로 $\displaystyle f(x)$ 는 상수함수 또는 증가함수이다. 그런데, $\displaystyle f(x)$ 가 이 구간에서 상수라면 $\displaystyle f(x)=0$ 이 되어야 하므로 $\displaystyle h(x)=x$ 를 의미하고 이는 문제의 조건을 만족하지 않는다. 따라서 이 구간에서 $\displaystyle f(x)=x+b$ 또는 $\displaystyle f(x)=2x+b$ 이다. (단, $\displaystyle b$ 는 상수) $\displaystyle 2<x<3$ 일 때 $\displaystyle g(x)$ 와 $\displaystyle h(x)$ 모두 상수이므로 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 구간 $\displaystyle (0,3)$ 에서의 최댓값과 최솟값은 모두 구간 $\displaystyle [0,2]$ 의 값일 때 얻어진다. $\displaystyle 3<x<4$ 일 때 $\displaystyle g(x)$ 는 상수이고, $\displaystyle h(x)=x$ 이므로, $\displaystyle f(3)$ 은 $\displaystyle f(x)$ 의 구간 $\displaystyle [0,3]$ 에서의 최솟값이고, $\displaystyle f(x)$ 는 이 구간에서 감소함수이거나 상수함수이어야 한다. $\displaystyle 4<x<5$ 일 때 $\displaystyle g(x)$ 와 $\displaystyle h(x)$ 모두 상수이므로 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 구간 $\displaystyle (0,5)$ 에서의 최댓값과 최솟값은 모두 구간 $\displaystyle [0,4]$ 의 값일 때 얻어진다. $\displaystyle 5<x<6$ 일 때 $\displaystyle g(x)=x$ 이고 $\displaystyle h(x)$ 는 상수이므로 $\displaystyle f(x)$ 는 상수함수 또는 증가함수이고, $\displaystyle f(5)$ 는 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 구간 $\displaystyle [0,5]$ 에서의 최댓값이어야 한다. $\displaystyle 6<x<7$ 일 때 $\displaystyle g(x)$ 와 $\displaystyle h(x)$ 모두 상수이므로 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 구간 $\displaystyle (0,7)$ 에서의 최댓값과 최솟값은 모두 구간 $\displaystyle [0,6]$ 의 값일 때 얻어진다. $\displaystyle 7<x<8$ 일 때 $\displaystyle g(x)$ 는 상수이고, $\displaystyle h(x)=x$ 이므로, $\displaystyle f(7)$ 은 $\displaystyle f(x)$ 의 구간 $\displaystyle [0,7]$ 에서의 최솟값이고, $\displaystyle f(x)$ 는 이 구간에서 감소함수이거나 상수함수이어야 한다.

+8점 · (a), (b)의 각각의 경우 함수

\displaystyle y=f(x)

의 그래프의 개형을 그리면

이 사실들을 고려하면 함수 $\displaystyle y=f(x)\ (0\le x\le8)$ 의 그래프의 개형은 각각의 경우 다음과 같다.

(a) 적분값이 최대가 되는 함수와 (b) 적분값이 최소가 되는 함수의 그래프

(3-1) 위 식들이 구해진 이유를 논리적으로 서술하지 않았을 때 최대 4점 감점

(3-3) 함수의 개형이 구간별로 틀린 부분이 있는 경우 구간 당 2점 감점

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