자연계열 1번

(1-1) 점 $\displaystyle P(t,f(t))$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle y=f^{\prime}(t)(x-t)+f(t)$이고, 이 접선이 $\displaystyle x$축과 만나는 점 $\displaystyle A$의 좌표는 $\displaystyle \left(t-\frac{f(t)}{f^{\prime}(t)},0\right)$이다. 여기서 $\displaystyle f^{\prime}(t)=\frac{3t^{4}-1}{t^{2}}$이므로, $\displaystyle t>\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$일 때 $\displaystyle f^{\prime}(t)\neq0$이다. 이제 $\displaystyle \frac{f(t)}{f^{\prime}(t)}=\frac{\frac{t^{4}+1}{t}}{\frac{3t^{4}-1}{t^{2}}}=\frac{t(t^{4}+1)}{3t^{4}-1}$이고, $\displaystyle \overline{AB}=t-\left(t-\frac{t(t^{4}+1)}{3t^{4}-1}\right)=\frac{t(t^{4}+1)}{3t^{4}-1}$이다. 또한 $\displaystyle \overline{PB}=f(t)=\frac{t^{4}+1}{t}$이다. 따라서$\displaystyle S(t)=\frac{1}{2}\times\overline{AB}\times\overline{PB}=\frac{1}{2}\times\frac{t(t^{4}+1)}{3t^{4}-1}\times\frac{t^{4}+1}{t}=\frac{(t^{4}+1)^{2}}{2(3t^{4}-1)}$이다.

(1-2) $\displaystyle u=t^{4}$이라 하고 $\displaystyle T(u)=S(t)=S(\sqrt[4]{u})=\frac{(u+1)^{2}}{2(3u-1)}$라 하자.$\displaystyle t>\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$이므로 $\displaystyle u>\frac{1}{3}$이다. $\displaystyle T^{\prime}(u)=\frac{(u+1)(3u-5)}{2(3u-1)^{2}}$이고 $\displaystyle u>\frac{1}{3}$이므로, $\displaystyle u=\frac{5}{3}$일 때 함수 $\displaystyle T(u)$는 극값을 갖는다. $\displaystyle \frac{1}{3}<u<\frac{5}{3}$일 때는 $\displaystyle T^{\prime}(u)<0$이므로 함수 $\displaystyle T(u)$가 감소하고, $\displaystyle u>\frac{5}{3}$일 때는 $\displaystyle T^{\prime}(u)>0$이므로 함수 $\displaystyle T(u)$가 증가한다. 따라서 함수 $\displaystyle T(u)$는 $\displaystyle u=\frac{5}{3}$일 때 최솟값 $\displaystyle \frac{8}{9}$를 갖는다. 따라서 $\displaystyle t>\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$일 때 함수 $\displaystyle S(t)$의 최솟값은 $\displaystyle \frac{8}{9}$이다.