자연계열 1번

인하대 2027학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/inha/2027mo/jayeon_1

[문제 1] (30점) 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) (접선의 방정식)곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle (a,f(a))$ 에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)$

(나) (함수의 증가와 감소)함수 $\displaystyle f(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속이고 열린구간 $\displaystyle (a,b)$ 에서 미분가능할 때, $\displaystyle (a,b)$ 의 모든 $\displaystyle x$ 에 대하여(i) $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$ 이면 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle [a,b]$ 에서 증가한다.(ii) $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$ 이면 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle [a,b]$ 에서 감소한다.

(※) 함수 $\displaystyle f(x)=x^{3}+\frac{1}{x}\quad(x>0)$ 의 그래프 위의 점 $\displaystyle P(t,f(t))$ 에서의 접선이 $\displaystyle x$ 축과 만나는 점을 $\displaystyle A$ , 점 $\displaystyle P$ 에서 $\displaystyle x$ 축에 내린 수선의 발을 $\displaystyle B$ 라 할 때, 삼각형 $\displaystyle APB$ 의 넓이를 $\displaystyle S(t)$ 라 하자. (단, $\displaystyle t>\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ 이다.)

(1-1) $\displaystyle S(t)$ 를 $\displaystyle t$ 에 관한 식으로 나타내시오. [15점]

(1-2) $\displaystyle S(t)$ 의 최솟값을 구하시오. [15점]

해설강의 준비중

인하대 2027학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/inha/2027mo/jayeon_1

+5점 · 점

\displaystyle P(t,f(t))

에서의 접선의 방정식을 구하면

+5점 · 접선의

\displaystyle x

절편을 구하면

(1-1) 점 $\displaystyle P(t,f(t))$ 에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle y=f^{\prime}(t)(x-t)+f(t)$ 이고, 이 접선이 $\displaystyle x$ 축과 만나는 점 $\displaystyle A$ 의 좌표는 $\displaystyle \left(t-\frac{f(t)}{f^{\prime}(t)},0\right)$ 이다. 여기서 $\displaystyle f^{\prime}(t)=\frac{3t^{4}-1}{t^{2}}$ 이므로, $\displaystyle t>\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ 일 때 $\displaystyle f^{\prime}(t)\neq0$ 이다. 이제 $\displaystyle \frac{f(t)}{f^{\prime}(t)}=\frac{\frac{t^{4}+1}{t}}{\frac{3t^{4}-1}{t^{2}}}=\frac{t(t^{4}+1)}{3t^{4}-1}$ 이고, $\displaystyle \overline{AB}=t-\left(t-\frac{t(t^{4}+1)}{3t^{4}-1}\right)=\frac{t(t^{4}+1)}{3t^{4}-1}$ 이다. 또한 $\displaystyle \overline{PB}=f(t)=\frac{t^{4}+1}{t}$ 이다.

+5점 · 넓이

\displaystyle S(t)

를 구하면

따라서 $\displaystyle S(t)=\frac{1}{2}\times\overline{AB}\times\overline{PB}=\frac{1}{2}\times\frac{t(t^{4}+1)}{3t^{4}-1}\times\frac{t^{4}+1}{t}=\frac{(t^{4}+1)^{2}}{2(3t^{4}-1)}$ 이다.

+8점 · 넓이를 나타내는 함수를 미분하면

(1-2) $\displaystyle u=t^{4}$ 이라 하고 $\displaystyle T(u)=S(t)=S(\sqrt[4]{u})=\frac{(u+1)^{2}}{2(3u-1)}$ 라 하자. $\displaystyle t>\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ 이므로 $\displaystyle u>\frac{1}{3}$ 이다. $\displaystyle T^{\prime}(u)=\frac{(u+1)(3u-5)}{2(3u-1)^{2}}$ 이고 $\displaystyle u>\frac{1}{3}$ 이므로, $\displaystyle u=\frac{5}{3}$ 일 때 함수 $\displaystyle T(u)$ 는 극값을 갖는다.

+7점 · 함수의 증가와 감소를 파악하여 최솟값을 계산하면

$\displaystyle \frac{1}{3}<u<\frac{5}{3}$ 일 때는 $\displaystyle T^{\prime}(u)<0$ 이므로 함수 $\displaystyle T(u)$ 가 감소하고, $\displaystyle u>\frac{5}{3}$ 일 때는 $\displaystyle T^{\prime}(u)>0$ 이므로 함수 $\displaystyle T(u)$ 가 증가한다. 따라서 함수 $\displaystyle T(u)$ 는 $\displaystyle u=\frac{5}{3}$ 일 때 최솟값 $\displaystyle \frac{8}{9}$ 를 갖는다. 따라서 $\displaystyle t>\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ 일 때 함수 $\displaystyle S(t)$ 의 최솟값은 $\displaystyle \frac{8}{9}$ 이다.

(1-1) 풀이는 맞았는데 사소한 계산 실수가 있는 경우 최대 5점 감점

(1-2) 풀이는 맞았는데 사소한 계산 실수가 있는 경우 최대 5점 감점

함수의 증가와 감소를 파악하지 않고 극값을 바로 최솟값으로 결론 내리면 3점 감점

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