자연계열 2번

(2-1) $\displaystyle f(x)=x-\ln(1+x)$라고 하면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=1-\frac{1}{1+x}=\frac{x}{1+x}$이다. $\displaystyle x>0$일 때 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$이므로 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x\ge0$에서 증가함수이다. 또한 $\displaystyle f(0)=0-\ln(1+0)=0$이므로 $\displaystyle x\ge0$일 때$\displaystyle f(x)=x-\ln(1+x)\ge0$이 성립한다.

다음으로 $\displaystyle g(x)=\ln(1+x)-x+x^{2}$이라고 하면 $\displaystyle g^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x}-1+2x=\frac{x+2x^{2}}{1+x}$이므로 $\displaystyle x>0$일 때 $\displaystyle g^{\prime}(x)>0$이다. 따라서 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x\ge0$에서 증가함수이다. 또한 $\displaystyle g(0)=\ln(1+0)-0+0=0$이므로 $\displaystyle x\ge0$일 때$\displaystyle g(x)=\ln(1+x)-x+x^{2}\ge0$이 성립한다. 따라서 $\displaystyle x\ge0$일 때 부등식$\displaystyle x-x^{2}\le\ln(1+x)\le x$가 성립한다.

(2-2) 제시문 (가)에 $\displaystyle f(x)=\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)$, $\displaystyle a=0$, $\displaystyle b=1$을 대입하면 다음과 같이 극한값을 구할 수 있다.$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sin\frac{k\pi}{2n}=\int_0^1\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)dx=\frac{2}{\pi}\Biggl[-\cos\left(\frac{\pi x}{2}\right)\Biggr]_0^1=\frac{2}{\pi}$

한편 $\displaystyle 0\le\sin^{2}\frac{k\pi}{2n}\le1$이므로 $\displaystyle 0\le\frac{1}{n^{2}}\sum_{k=1}^{n}\sin^{2}\frac{k\pi}{2n}\le\frac{n}{n^{2}}=\frac{1}{n}$이다. $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$이므로, 제시문 (나)에 의해$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{2}}\sum_{k=1}^{n}\sin^{2}\frac{k\pi}{2n}=0$이다. 따라서 수렴하는 수열의 성질에 의해 구하고자 하는 극한값은 $\displaystyle \frac{2}{\pi}-0=\frac{2}{\pi}$이다.

(2-3) (2-1)의 부등식에 $\displaystyle x=\frac{1}{n}\sin\frac{k\pi}{2n}$를 대입하면 다음 부등식을 얻는다.$\displaystyle \frac{1}{n}\sin\frac{k\pi}{2n}-\frac{1}{n^{2}}\sin^{2}\frac{k\pi}{2n}\le\ln\left(1+\frac{1}{n}\sin\frac{k\pi}{2n}\right)\le\frac{1}{n}\sin\frac{k\pi}{2n}$이 부등식을 $\displaystyle k=1$부터 $\displaystyle k=n$까지 더하면 다음 부등식을 얻는다.$\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sin\frac{k\pi}{2n}-\frac{1}{n^{2}}\sum_{k=1}^{n}\sin^{2}\frac{k\pi}{2n}\le\sum_{k=1}^{n}\ln\left(1+\frac{1}{n}\sin\frac{k\pi}{2n}\right)\le\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sin\frac{k\pi}{2n}$한편 로그함수의 성질에 의해 가운데 항은 다음과 같이 나타낼 수 있다.$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\ln\left(1+\frac{1}{n}\sin\frac{k\pi}{2n}\right)=\ln\left\{\left(1+\frac{1}{n}\sin\frac{\pi}{2n}\right)\times\left(1+\frac{1}{n}\sin\frac{2\pi}{2n}\right)\times\cdots\times\left(1+\frac{1}{n}\sin\frac{n\pi}{2n}\right)\right\}=\ln P_n$따라서 부등식$\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sin\frac{k\pi}{2n}-\frac{1}{n^{2}}\sum_{k=1}^{n}\sin^{2}\frac{k\pi}{2n}\le\ln P_n\le\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sin\frac{k\pi}{2n}$이 성립한다.

여기서 (2-2)에 의해 좌변은 $\displaystyle \frac{2}{\pi}$로 수렴하고, (2-2)의 풀이 과정에 의해 우변도 $\displaystyle \frac{2}{\pi}$로 수렴하므로, 제시문 (나)에 의해 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\ln P_n=\frac{2}{\pi}$이다.

마지막으로 제시문 (다)에 의해 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}P_n=\lim_{n\to\infty}e^{\ln P_n}=e^{2/\pi}$이다.