의예과 3번

(3-1) 수열 $\displaystyle \{a_n\}$의 항들을 구해보면 다음과 같다. (대소 비교를 위해서 약분을 하지 않은 항들이 있음)$\displaystyle a_1=1,\ a_2=1$$\displaystyle a_3=\frac{4}{3},\ a_4=\frac{5}{3},\ a_5=\frac{6}{3},\ a_6=\frac{4}{3},\ a_7=\frac{5}{3},\ a_8=\frac{6}{3},$$\displaystyle a_9=\frac{13}{9},\ a_{10}=\frac{14}{9},\ a_{11}=\frac{15}{9},\ a_{12}=\frac{16}{9},\ a_{13}=\frac{17}{9},\ a_{14}=\frac{18}{9},\cdots$

조건 (가), (나)로부터 $\displaystyle b_2\ge3$인데, $\displaystyle b_2=3$이면 모든 $\displaystyle n\ge3$에 대하여 $\displaystyle a_3\le a_n$이므로 조건을 만족하는 수열 $\displaystyle \{b_n\}$이 존재하지 않는다. 따라서 $\displaystyle b_2\ge4$이어야 한다.$\displaystyle b_2=4$이면, $\displaystyle b_1=1,2,3$이 가능하고, $\displaystyle b_3=6$이고 $\displaystyle b_4\ge7$이어야 한다. 그런데 $\displaystyle b_4\ge9$이면 $\displaystyle b_5\ge18$이어야 하므로 $\displaystyle b_6=14$가 될 수 없다. 따라서 $\displaystyle b_4=7,8$이 가능하고, $\displaystyle b_4=7$이면 $\displaystyle b_5=9,10$이 가능하고, $\displaystyle b_4=8$이면 $\displaystyle b_5=9,10,11,12,13$이 가능하다. 따라서 $\displaystyle b_2=4$인 경우 가능한 순서쌍의 개수는 $\displaystyle 3\times(2+5)=21$개이다.$\displaystyle b_2=5$이면, $\displaystyle b_1=1,2,3,4$가 가능하고, $\displaystyle b_3=6,7$이 가능하다. $\displaystyle b_3=6$이면 $\displaystyle b_4=7,8$이 가능하고, 위의 경우와 같이 가능한 순서쌍 $\displaystyle (b_4,b_5)$의 개수는 $\displaystyle 7$개이다. $\displaystyle b_3=7$이면 $\displaystyle b_4=8$이고 $\displaystyle b_5=9,10,11,12,13$이 가능하다. 따라서 $\displaystyle b_2=5$인 경우 가능한 순서쌍의 개수는 $\displaystyle 4\times(7+5)=48$개이다.$\displaystyle b_2\ge6$이면 조건을 만족하는 수열 $\displaystyle \{b_n\}$은 존재하지 않는다.그러므로 가능한 모든 순서쌍 $\displaystyle (b_1,b_2,b_3,b_4,b_5)$의 개수는 $\displaystyle 21+48=69$개이다.

(3-2) 수열 $\displaystyle \{b_n\}$이 $\displaystyle b_{20}$이 최소인 수열이라고 가정하자.만약 $\displaystyle k$가 $\displaystyle k\le19$인 홀수일 때 수열 $\displaystyle \{a_n\}$의 $\displaystyle b_k$째 항보다 $\displaystyle b_k+1$째 항이 더 작다면 수열 $\displaystyle \{b^{\prime}_n\}$을$\displaystyle \begin{cases}b^{\prime}_n=b_n\quad(n\neq k)\\b^{\prime}_k=b_k+1\end{cases}$이라고 정의하면 수열 $\displaystyle \{b^{\prime}_n\}$도 조건 (가), (나)를 만족하며 $\displaystyle b^{\prime}_{20}=b_{20}$이다.즉 수열 $\displaystyle \{b^{\prime}_n\}$도 문제의 조건을 만족하면서 $\displaystyle b^{\prime}_{20}$이 최소값을 갖는 수열이다. 원래 수열 $\displaystyle \{b_n\}$을 수열 $\displaystyle \{b^{\prime}_n\}$으로 교체하면, $\displaystyle k$가 $\displaystyle k\le19$인 홀수일 때 수열 $\displaystyle \{a_n\}$의 $\displaystyle b_k$째 항보다 $\displaystyle b_k+1$째 항이 크거나 같다고 가정할 수 있다.비슷한 논리를 적용하면 $\displaystyle k$가 $\displaystyle k\le19$인 홀수일 때 ($\displaystyle b_k>1$이라면) 수열 $\displaystyle \{a_n\}$의 $\displaystyle b_k$째 항보다 $\displaystyle b_k-1$째 항이 크거나 같다고 가정할 수 있다.수열 $\displaystyle \{a_n\}$은 $\displaystyle a_1=a_2$를 제외하면 이웃한 두 항이 같은 값을 갖지 않으므로, $\displaystyle k$가 $\displaystyle 3\le k\le19$인 홀수일 때 수열 $\displaystyle \{a_n\}$의 $\displaystyle b_k$째 항은 $\displaystyle b_k-1$째 항보다 작고, $\displaystyle b_k+1$째 항보다도 작은 항이라고 가정할 수 있다.

이 가정을 만족하려면 $\displaystyle k$가 $\displaystyle 3\le k\le19$인 홀수일 때 $\displaystyle b_k=u\times3^p$ ($\displaystyle p$는 자연수이고 $\displaystyle u\in\{1,2\}$) 꼴이어야 한다.이런 형태의 수열 $\displaystyle \{b_n\}$ 중에서 $\displaystyle b_{20}$의 값이 최소인 것을 찾으면 되는데, $\displaystyle b_{20}$의 값이 최소가 되려면 $\displaystyle k$가 $\displaystyle 3\le k\le19$인 홀수일 때 $\displaystyle b_k=u\times3^p$ ($\displaystyle p$는 자연수이고 $\displaystyle u\in\{1,2\}$) 꼴 중에서 $\displaystyle b_{k-2}$보다는 크지만 가능한 가장 작은 값을 택해야 한다. $\displaystyle b_1=1$ 또는 $\displaystyle b_1=2$를 택할 수 있고, $\displaystyle b_3=6$, $\displaystyle b_5=9$, $\displaystyle b_7=18$, $\displaystyle \cdots$, $\displaystyle b_{19}=486$이어야 한다. 이러한 $\displaystyle \{b_n\}$으로부터 최솟값 $\displaystyle b_{20}=487$을 얻을 수 있다.