의예과 2번

(2-1) 양의 실수 $\displaystyle a,b\ (a<b)$에 대하여, 제시문 (가)에 의하여 정적분 $\displaystyle \int_a^b\frac{1}{x}dx$의 값은 곡선 $\displaystyle y=\frac{1}{x}$과 $\displaystyle x$축 및 두 직선 $\displaystyle x=a$, $\displaystyle x=b$로 둘러싸인 도형의 넓이이다. 자연수 $\displaystyle k$에 대하여 네 꼭짓점이 $\displaystyle (k,0)$, $\displaystyle (k+1,0)$, $\displaystyle \left(k,\frac{1}{k}\right)$, $\displaystyle \left(k+1,\frac{1}{k}\right)$인 직사각형의 넓이를 $\displaystyle R_k$라 하면, $\displaystyle x$가 양의 실수일 때 $\displaystyle y=\frac{1}{x}$는 감소함수이므로$\displaystyle \int_n^{3n}\frac{1}{x}\,dx<R_n+R_{n+1}+\cdots+R_{3n-1}$이 성립한다.

한편, $\displaystyle \int_n^{3n}\frac{1}{x}dx=\ln3n-\ln n=\ln3$이고 $\displaystyle R_n+\cdots+R_{3n-1}=a_n$이므로 $\displaystyle a_n>\ln3$을 얻는다.

(2-2) (2-1)과 같은 방법으로 네 꼭짓점이 $\displaystyle (k-1,0)$, $\displaystyle (k,0)$, $\displaystyle \left(k-1,\frac{1}{k}\right)$, $\displaystyle \left(k,\frac{1}{k}\right)$인 직사각형의 넓이를 $\displaystyle r_k$라 하면$\displaystyle \int_{n-1}^{3n-1}\frac{1}{x}dx>r_n+r_{n+1}+\cdots+r_{3n-1}$이 성립한다. $\displaystyle 2$ 이상인 자연수 $\displaystyle n$에 대하여$\displaystyle \int_{n-1}^{3n-1}\frac{1}{x}dx=\ln(3n-1)-\ln(n-1)=\ln\frac{3n-1}{n-1}$이고 $\displaystyle a_n=r_n+r_{n+1}+\cdots+r_{3n-1}$이므로부등식 $\displaystyle \ln3<a_n<\ln\frac{3n-1}{n-1}$이 성립한다.

한편, 제시문 (나)에 의하여$\displaystyle \ln3=\lim_{n\to\infty}\ln3\le\lim_{n\to\infty}a_n\le\lim_{n\to\infty}\ln\frac{3n-1}{n-1}=\ln3$이므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\ln3$이다.

(2-3)$\displaystyle \begin{aligned}a_{k+1}-a_k&=\left(\frac{1}{3k+2}+\frac{1}{3k+1}+\cdots+\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+1}\right)-\left(\frac{1}{3k-1}+\cdots+\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k}\right)\\&=\frac{1}{3k+2}+\frac{1}{3k+1}+\frac{1}{3k}-\frac{1}{k}=b_k\end{aligned}$이다.

따라서 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}b_k=\sum_{k=1}^{n}(a_{k+1}-a_k)=a_{n+1}-a_1=a_{n+1}-\frac{3}{2}$이다.

그러므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}b_k=\lim_{n\to\infty}\left(a_{n+1}-\frac{3}{2}\right)=\ln3-\frac{3}{2}$.