의예과 1번

(3-1) $\displaystyle f(x)=2x^{3}+3x^{2}-12x+1$는 $\displaystyle f^{\prime}(x)=6x^{2}+6x-12$이므로 $\displaystyle x=-2$에서 극댓값 $\displaystyle 21$을 갖고, $\displaystyle x=1$에서 극솟값 $\displaystyle -6$을 갖는다. 함수 $\displaystyle y=f(|x|-3)$의 그래프는 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프를 $\displaystyle x$축 방향으로 $\displaystyle 3$만큼 이동시킨 후 $\displaystyle y$축의 오른편을 $\displaystyle y$축을 중심으로 대칭시킨 곡선이고 $\displaystyle f(-3)=10$이므로 $\displaystyle y$절편은 $\displaystyle 10$이다. 따라서 개형은 다음과 같다.

(3-2) $\displaystyle x>0$ 또는 $\displaystyle x<0$일 때에는 $\displaystyle f(|x|+a)$가 $\displaystyle x$에 대한 다항식으로 표현될 수 있으므로 미분가능하다. 따라서 주어진 함수가 실수 전체의 집합에서 미분가능하기 위해서는 $\displaystyle x=0$에서 미분계수가 존재하여야 한다. $\displaystyle x<0$인 경우에는 $\displaystyle f(|x|+a)=f(-x+a)$이므로 평균변화율의 좌극한은$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{x\to0^-}\frac{f(|x|+a)-f(a)}{x}&=\lim_{x\to0^-}\frac{f(-x+a)-f(a)}{x}\\&=-\lim_{x\to0^-}\frac{f(-x+a)-f(a)}{-x}=-f^{\prime}(a)\end{aligned}$이다. $\displaystyle x>0$인 경우에는 $\displaystyle f(|x|+a)=f(x+a)$이므로 평균변화율의 우극한은$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{x\to0^+}\frac{f(|x|+a)-f(a)}{x}&=\lim_{x\to0^+}\frac{f(x+a)-f(a)}{x}\\&=\lim_{x\to0^+}\frac{f(x+a)-f(a)}{x}=f^{\prime}(a)\end{aligned}$이며 제시문에 따라 미분가능하기 위해서는 좌극한과 우극한이 같아야 한다. 따라서 $\displaystyle f^{\prime}(a)=0$이어야 하고, $\displaystyle 6a^{2}+6a-12=0$이므로 $\displaystyle a=1$ 또는 $\displaystyle a=-2$이다.

(3-3) $\displaystyle x>0$ 또는 $\displaystyle x<0$일 때에는 $\displaystyle f(|x|+a)-g(x)$가 $\displaystyle x$에 대한 다항식으로 표현될 수 있으므로 미분가능하다. 따라서 주어진 함수가 실수 전체의 집합에서 미분가능하기 위해서는 $\displaystyle x=0$에서 미분계수가 존재하여야 한다. (3-2)에서와 같이 평균변화율의 좌극한을 구하면 $\displaystyle g(x)$의 정의에 따라$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{x\to0^-}\frac{(f(|x|+a)-g(x))-(f(a)-g(0))}{x}&=\lim_{x\to0^-}\frac{(f(-x+a)-16x)-f(a)}{x}\\&=\lim_{x\to0^-}\frac{f(-x+a)-f(a)}{x}-16=-f^{\prime}(a)-16\end{aligned}$이다. 마찬가지로 평균변화율의 우극한을 구하면$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{x\to0^+}\frac{(f(|x|+a)-g(x))-(f(a)-g(0))}{x}&=\lim_{x\to0^+}\frac{(f(x+a)-(-8x))-f(a)}{x}\\&=\lim_{x\to0^+}\frac{f(x+a)-f(a)}{x}+8=f^{\prime}(a)+8\end{aligned}$이다. (3-2)에서와 마찬가지로 좌극한과 우극한이 같아야 하므로 $\displaystyle f^{\prime}(a)=-12$이고 $\displaystyle 6a^{2}+6a=0$이므로 $\displaystyle a=0$ 또는 $\displaystyle a=-1$이다.