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자연계열 (토요일) 1번

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경희대 2017학년도 수시 자연계열 (토요일) 1번 · mathesis.kr/archive/khu/2017su/jayeon_sat_1

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문제

I. 다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오. (60점)

[가]각 π2±θ\displaystyle \frac{{\pi}}{2} \pm \theta에 대한 사인과 코사인의 성질은 다음과 같다.

sin⁡(π2+θ)=cos⁡θ\displaystyle \sin \left( \frac{{\pi}}{2} + \theta \right) = \cos \theta, sin⁡(π2−θ)=cos⁡θ\displaystyle \sin \left( \frac{{\pi}}{2} - \theta \right) = \cos \theta

cos⁡(π2+θ)=−sin⁡θ\displaystyle \cos \left( \frac{{\pi}}{2} + \theta \right) = - \sin \theta, cos⁡(π2−θ)=sin⁡θ\displaystyle \cos \left( \frac{{\pi}}{2} - \theta \right) = \sin \theta

두 각 α\displaystyle \alpha와 β\displaystyle \beta의 삼각함수를 이용하여 각 α±β\displaystyle \alpha \pm \beta의 삼각함수를 나타내는 사인과 코사인의 덧셈정리는 다음과 같다.

sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\displaystyle \sin ( \alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta, sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\displaystyle \sin ( \alpha - \beta ) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta

cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\displaystyle \cos ( \alpha + \beta ) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta, cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\displaystyle \cos ( \alpha - \beta ) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

[나]영벡터가 아닌 두 벡터 a→\displaystyle \overrightarrow{a}, b→\displaystyle \overrightarrow{b}가 이루는 각의 크기가 θ\displaystyle \theta일 때 ∣a→∣∣b→∣cos⁡θ\displaystyle | \overrightarrow{a} | | \overrightarrow{b} | \cos \theta를 a→\displaystyle \overrightarrow{a}와 b→\displaystyle \overrightarrow{b}의 내적이라 하고 기호로 a→⋅b→\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}와 같이 나타낸다. 즉 a→⋅b→=∣a→∣∣b→∣cos⁡θ\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = | \overrightarrow{a} | | \overrightarrow{b} | \cos \theta이다. a→=0→\displaystyle \overrightarrow{a} = \overrightarrow{0} 또는 b→=0→\displaystyle \overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}일 때에는 a→⋅b→=0\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0으로 정한다.

또한 두 평면벡터의 내적을 성분을 이용하여 나타내어 보자. 영벡터가 아닌 두 평면벡터 a→=(a1,a2)\displaystyle \overrightarrow{a} = ( a_{1} , a_{2} ), b→=(b1,b2)\displaystyle \overrightarrow{b} = ( b_{1} , b_{2} )에 대하여 a→⋅b→=a1b1+a2b2\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}임을 알 수 있다. 이 식은 a→=0→\displaystyle \overrightarrow{a} = \overrightarrow{0} 또는 b→=0→\displaystyle \overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}일 때도 성립한다.

[다]좌표평면 위의 두 점 A(x1,y1)\displaystyle \mathrm{A} ( x_{1} , y_{1} ), B(x2,y2)\displaystyle \mathrm{B} ( x_{2} , y_{2} )에 대하여 선분 AB\displaystyle \mathrm{AB}를 m:n\displaystyle m : n (m>0\displaystyle m > 0, n>0\displaystyle n > 0)으로 내분하는 점 P(x,y)\displaystyle {\mathrm{P}} ( x , y )의 좌표는 P(mx2+nx1m+n,my2+ny1m+n)\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{{m x_{2} + n x_{1}}}{m + n} , \frac{{m y_{2} + n y_{1}}}{m + n} \right)이고, m:n\displaystyle m : n (m>0\displaystyle m > 0, n>0\displaystyle n > 0, m≠n\displaystyle m \ne n)으로 외분하는 점 Q(x,y)\displaystyle \mathrm{Q} ( x , y )의 좌표는 Q(mx2−nx1m−n,my2−ny1m−n)\displaystyle \mathrm{Q} \left( \frac{{m x_{2} - n x_{1}}}{m - n} , \frac{{m y_{2} - n y_{1}}}{m - n} \right)이다.

[라]좌표평면 위를 움직이는 점 P\displaystyle \mathrm{P}의 시각 t\displaystyle t에서의 위치를 (x,y)\displaystyle ( x , y )라고 하면 x\displaystyle x, y\displaystyle y는 t\displaystyle t의 함수이므로 x=f(t)\displaystyle x = f ( t ), y=g(t)\displaystyle y = g ( t )로 나타낼 수 있다. 이때 점 P\displaystyle \mathrm{P}에서 x\displaystyle x축, y\displaystyle y축에 내린 수선의 발을 각각 Q\displaystyle \mathrm{Q}, R\displaystyle \mathrm{R}이라고 하면, 점 P\displaystyle \mathrm{P}가 움직일 때 점 Q\displaystyle \mathrm{Q}는 x\displaystyle x축 위를 움직이고 점 R\displaystyle \mathrm{R}은 y\displaystyle y축 위를 움직인다. 따라서 시각 t\displaystyle t에서 두 점 Q\displaystyle \mathrm{Q}와 R\displaystyle \mathrm{R}의 속도를 각각 vx\displaystyle v_{x}와 vy\displaystyle v_{y}라고 하면 vx=dxdt=f′(t)\displaystyle v_{x} = \frac{{d x}}{d t} = f^{\prime} ( t ), vy=dydt=g′(t)\displaystyle v_{y} = \frac{{d y}}{d t} = g^{\prime} ( t )이고 이들을 성분으로 하는 벡터 v→=(vx,vy)=(dxdt,dydt)=(f′(t),g′(t))\displaystyle \overrightarrow{v} = ( v_{x} , v_{y} ) = \left( \frac{{d x}}{d t} , \frac{{d y}}{d t} \right) = \left( f^{\prime} ( t ) , g^{\prime} ( t ) \right)를 시각 t\displaystyle t에서 점 P\displaystyle \mathrm{P}의 속도라고 한다. 속도 v→\displaystyle \overrightarrow{v}의 크기는 ∣v→∣=(dxdt)2+(dydt)2={f′(t)}2+{g′(t)}2\displaystyle \left| \overrightarrow{v} \right| = \sqrt{\left( \frac{{d x}}{d t} \right)^{2} + \left( \frac{{d y}}{d t} \right)^{2}} = \sqrt{\left\{ f^{\prime} ( t ) \right\}^{2} + \left\{ g^{\prime} ( t ) \right\}^{2}}이고, 이것을 점 P\displaystyle \mathrm{P}의 속력이라고 한다.

[논제 I] 제시문 [가]∼[라]를 읽고 다음 질문에 답하시오.

아래 그림과 같이 중심이 원점에 있고 3\displaystyle 3시 방향이 x\displaystyle x축의 양의 방향, 12\displaystyle 12시 방향이 y\displaystyle y축의 양의 방향인 시계가 있다. 시침의 끝점을 H\displaystyle \mathrm{H}, 분침의 끝점을 M\displaystyle \mathrm{M}이라 하자. 시침 OH\displaystyle \mathrm{OH}의 길이는 3\displaystyle 3이고 분침 OM\displaystyle \mathrm{OM}의 길이는 4\displaystyle 4이다(즉, OH‾=3\displaystyle \overline{\mathrm{OH}} = 3, OM‾=4\displaystyle \overline{\mathrm{OM}} = 4). t\displaystyle t는 0\displaystyle 0시부터 12\displaystyle 12시 이전까지 시계의 시각을 분 단위로 나타낸 것이다. 따라서 t\displaystyle t의 범위는 0≤t<720\displaystyle 0 \leq t < 720이다. 예를 들어 [그림 1]은 0\displaystyle 0시이므로 t=0\displaystyle t = 0인 경우, [그림 2]는 3\displaystyle 3시이므로 t=180\displaystyle t = 180인 경우, [그림 3]은 7\displaystyle 7시 30\displaystyle 30분 30\displaystyle 30초이므로 t=450.5\displaystyle t = 450.5인 경우이다.

0시의 시침과 분침
[그림 1] t=0\displaystyle t=0 (0시)
3시의 시침과 분침
[그림 2] t=180\displaystyle t=180 (3시)
7시 30분 30초의 시침과 분침
[그림 3] t=450.5\displaystyle t=450.5 (7시 30분 30초)

[논제 I-1] 시초선을 x\displaystyle {x}축의 양의 방향으로 잡을 때, 시각 t\displaystyle {t} (0≤t<720\displaystyle {0 \leq t < 720})에서 동경 OM\displaystyle {\mathrm{OM}}이 나타내는 각은 π2−π180⋅6t\displaystyle {\frac{{\pi}}{2} - \frac{{\pi}}{180} \cdot 6 t} =π2−π30t\displaystyle {= \frac{{\pi}}{2} - \frac{{\pi}}{30} t}이다. 여기서 각의 단위는 라디안이다. 마찬가지로 시각 t\displaystyle {t}에서 동경 OH\displaystyle {\mathrm{OH}}가 나타내는 각도 구할 수 있다. 이를 이용하여 점 H(x1,y1)\displaystyle {\mathrm{H} ( x_{1} , y_{1} )}와 M(x2,y2)\displaystyle {\mathrm{M} ( x_{2} , y_{2} )}의 시각 t\displaystyle {t}에서의 위치를 각각 t\displaystyle {t}의 함수로 나타내고, 그 근거를 논술하시오. (12점)

[논제 I-2] 점 M\displaystyle {\mathrm{M}}을 직선 y=x\displaystyle {y = x}에 대하여 대칭이동한 점을 M′\displaystyle {\mathrm{M}^{\prime}}이라고 하자. 선분 HM′\displaystyle {\mathrm{HM}^{\prime}}을 3:4\displaystyle {3 : 4}로 내분하는 점을 A\displaystyle {\mathrm{A}}, 3:4\displaystyle {3 : 4}로 외분하는 점을 B\displaystyle {\mathrm{B}}라고 하자. 두 벡터 OA→\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{OA}}}와 OB→\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{OB}}}에 대하여 OA→⋅OB→=0\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}} = 0}임을 보이고, 그 근거를 논술하시오. (15점)

[논제 I-3] 시각 t\displaystyle t (0≤t<720\displaystyle 0\le t<720)에서 두 벡터 OH→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OH}}와 OM→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OM}}의 내적을 p(t)\displaystyle p(t)라고 하자. 즉 p(t)=OH→⋅OM→\displaystyle p(t)=\overrightarrow{\mathrm{OH}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OM}}이다. 내적 p(t)\displaystyle p(t)에 대하여 집합 S\displaystyle S를 S={t∣p(t)≥63, 0≤t≤120, t는 정수}\displaystyle S=\{t\mid p(t)\ge6\sqrt3,\ 0\le t\le120,\ t\text{는 정수}\}라고 하자. 이때, 내적 p(t)\displaystyle p(t)와 집합 S\displaystyle S의 원소의 개수를 구하고, 그 과정을 서술하시오. (18점)

[논제 I-4] 선분 HM\displaystyle {\mathrm{HM}}의 중점을 C\displaystyle {\mathrm{C}}라고 하면, 점 C\displaystyle {\mathrm{C}}는 좌표평면 위를 움직이는 점이다. 180≤t≤240\displaystyle {180 \leq t \leq 240}일 때, 점 C\displaystyle {\mathrm{C}}의 속력이 최대가 되는 시각 t\displaystyle {t}를 구하고, 그 과정을 서술하시오. (15점)

해설강의 준비중

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+4점 · 시각 t\displaystyle t에서 동경 OH\displaystyle \mathrm{OH}가 나타내는 각 π2−π360t\displaystyle \frac\pi2-\frac\pi{360}t를 제시

[논제I-1]시침은 60\displaystyle 60분에 30\displaystyle 30도, 즉 π180×30=π6\displaystyle \frac{{\pi}}{180} \times 30 = \frac{{\pi}}{6}씩 시계방향으로 움직이므로 1\displaystyle 1분에 π360\displaystyle \frac{{\pi}}{360}씩 움직인다.t=0\displaystyle t = 0에서 시침의 각도는 π2\displaystyle \frac{{\pi}}{2}이므로 시각 t\displaystyle t에서 동경 OH\displaystyle {\mathrm{OH}}가 나타내는 각은 π2−π360t\displaystyle \frac{{\pi}}{2} - \frac{{\pi}}{360} t이다.

+4점 · H(x1,y1)=(3sin⁡π360t,3cos⁡π360t)\displaystyle \mathrm H(x_1,y_1)=\left(3\sin\frac\pi{360}t,3\cos\frac\pi{360}t\right)을 계산. (※ H(x1,y1)=(3cos⁡(π2−π360t),3sin⁡(π2−π360t))\displaystyle \mathrm H(x_1,y_1)=\left(3\cos\left(\frac\pi2-\frac\pi{360}t\right),3\sin\left(\frac\pi2-\frac\pi{360}t\right)\right)도 인정)

시각 t\displaystyle t에서 동경 OM\displaystyle {\mathrm{OM}}이 나타내는 각은 π2−π30t\displaystyle \frac{{\pi}}{2} - \frac{{\pi}}{30} t, OH‾=3\displaystyle \overline{\mathrm{OH}} = 3, OM‾=4\displaystyle \overline{\mathrm{OM}} = 4이므로H(x1,y1)=(3cos⁡(π2−π360t),3sin⁡(π2−π360t))=(3sin⁡π360t,3cos⁡π360t)\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{H} ( x_{1} , y_{1} ) &= \left( 3 \cos \left( \frac{{\pi}}{2} - \frac{{\pi}}{360} t \right) , 3 \sin \left( \frac{{\pi}}{2} - \frac{{\pi}}{360} t \right) \right)\\&= \left( 3 \sin \frac{{\pi}}{360} t , 3 \cos \frac{{\pi}}{360} t \right)\end{aligned}이고,

+4점 · M(x2,y2)=(4sin⁡π30t,4cos⁡π30t)\displaystyle \mathrm M(x_2,y_2)=\left(4\sin\frac\pi{30}t,4\cos\frac\pi{30}t\right)을 계산. (※ M(x2,y2)=(4cos⁡(π2−π30t),4sin⁡(π2−π30t))\displaystyle \mathrm M(x_2,y_2)=\left(4\cos\left(\frac\pi2-\frac\pi{30}t\right),4\sin\left(\frac\pi2-\frac\pi{30}t\right)\right)도 인정)

M(x2,y2)=(4cos⁡(π2−π30t),4sin⁡(π2−π30t))=(4sin⁡π30t,4cos⁡π30t)\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{M} ( x_{2} , y_{2} ) &= \left( 4 \cos \left( \frac{{\pi}}{2} - \frac{{\pi}}{30} t \right) , 4 \sin \left( \frac{{\pi}}{2} - \frac{{\pi}}{30} t \right) \right)\\&= \left( 4 \sin \frac{{\pi}}{30} t , 4 \cos \frac{{\pi}}{30} t \right)\end{aligned}이다.

+2점 · M′=(4cos⁡π30t,4sin⁡π30t)\displaystyle \mathrm M^{\prime}=\left(4\cos\frac\pi{30}t,4\sin\frac\pi{30}t\right)를 제시.

[논제I-2]M′\displaystyle \mathrm{M}^{\prime}은 M\displaystyle \mathrm{M}을 직선 y=x\displaystyle y = x에 대하여 대칭이동한 점이므로M′=(4cos⁡π30t,4sin⁡π30t)\displaystyle \mathrm{M}^{\prime} = \left( 4 \cos \frac{{\pi}}{30} t , 4 \sin \frac{{\pi}}{30} t \right)이다.

+8점 · A(a1,a2)=127(cos⁡π30t+sin⁡π360t,sin⁡π30t+cos⁡π360t)\displaystyle \mathrm A(a_1,a_2)=\frac{12}{7}\left(\cos\frac\pi{30}t+\sin\frac\pi{360}t,\sin\frac\pi{30}t+\cos\frac\pi{360}t\right)을 계산. B(b1,b2)=12(−cos⁡π30t+sin⁡π360t,−sin⁡π30t+cos⁡π360t)\displaystyle \mathrm B(b_1,b_2)=12\left(-\cos\frac\pi{30}t+\sin\frac\pi{360}t,-\sin\frac\pi{30}t+\cos\frac\pi{360}t\right)을 계산. (※ B(b1,b2)=12(cos⁡π30t−sin⁡π360t,sin⁡π30t−cos⁡π360t)\displaystyle \mathrm B(b_1,b_2)=12\left(\cos\frac\pi{30}t-\sin\frac\pi{360}t,\sin\frac\pi{30}t-\cos\frac\pi{360}t\right)를 놓은 틀린 경우 용인)

제시문 [다]의 내분점, 외분점 공식을 이용하면A(a1,a2)=(3×4cos⁡π30t+4×3sin⁡π360t3+4,3×4sin⁡π30t+4×3cos⁡π360t3+4)=127(cos⁡π30t+sin⁡π360t,sin⁡π30t+cos⁡π360t)\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{A} ( a_{1} , a_{2} ) &= \left( \frac{{3 \times 4 \cos \frac{{\pi}}{30} t + 4 \times 3 \sin \frac{{\pi}}{360} t}}{3 + 4} , \frac{{3 \times 4 \sin \frac{{\pi}}{30} t + 4 \times 3 \cos \frac{{\pi}}{360} t}}{3 + 4} \right)\\& = \frac{{12}}{7} \left( \cos \frac{{\pi}}{30} t + \sin \frac{{\pi}}{360} t , \sin \frac{{\pi}}{30} t + \cos \frac{{\pi}}{360} t \right)\end{aligned}이고,B(b1,b2)=(3×4cos⁡π30t−4×3sin⁡π360t3−4,3×4sin⁡π30t−4×3cos⁡π360t3−4)=12(−cos⁡π30t+sin⁡π360t,−sin⁡π30t+cos⁡π360t)\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{B} ( b_{1} , b_{2} ) &= \left( \frac{{3 \times 4 \cos \frac{{\pi}}{30} t - 4 \times 3 \sin \frac{{\pi}}{360} t}}{3 - 4} , \frac{{3 \times 4 \sin \frac{{\pi}}{30} t - 4 \times 3 \cos \frac{{\pi}}{360} t}}{3 - 4} \right)\\& = 12 \left( - \cos \frac{{\pi}}{30} t + \sin \frac{{\pi}}{360} t , - \sin \frac{{\pi}}{30} t + \cos \frac{{\pi}}{360} t \right)\end{aligned}이다.

+5점 · OA→⋅OB→=1447(sin⁡2π360t−cos⁡2π30t+cos⁡2π360t−sin⁡2π30t)=0\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\frac{144}{7}\left(\sin^2\frac\pi{360}t-\cos^2\frac\pi{30}t+\cos^2\frac\pi{360}t-\sin^2\frac\pi{30}t\right)=0을 계산. (※ OA→⋅OB→=−1447(cos⁡2π360t−sin⁡2π30t+sin⁡2π360t−cos⁡2π30t)=0\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=-\frac{144}{7}\left(\cos^2\frac\pi{360}t-\sin^2\frac\pi{30}t+\sin^2\frac\pi{360}t-\cos^2\frac\pi{30}t\right)=0도 가능). OA→⋅OB→=0\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=0을 보임.

제시문 [나]를 이용하면OA→⋅OB→=a1b1+a2b2=1227(sin⁡2π360t−cos⁡2π30t+cos⁡2π360t−sin⁡2π30t)=0\displaystyle \begin{aligned}\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}} &= a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} = \frac{{12^{2}}}{7} \left( \sin^{2} \frac{{\pi}}{360} t - \cos^{2} \frac{{\pi}}{30} t + \cos^{2} \frac{{\pi}}{360} t - \sin^{2} \frac{{\pi}}{30} t \right)\\&= 0\end{aligned}.따라서 OA→⋅OB→=0\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}} = 0이다.

+4점 · p(t)=12cos⁡11π360t\displaystyle p(t)=12\cos\frac{11\pi}{360}t를 정확하게 계산. (※ p(t)=12(sin⁡π360t⋅sin⁡π30t+cos⁡π360t⋅cos⁡π30t)\displaystyle p(t)=12\left(\sin\frac\pi{360}t\cdot\sin\frac\pi{30}t+\cos\frac\pi{360}t\cdot\cos\frac\pi{30}t\right)도 인정)

[논제I-3]제시문 [가]와 [나]를 이용하면p(t)=OH→⋅OM→=(3sin⁡π360t,3cos⁡π360t)⋅(4sin⁡π30t,4cos⁡π30t)=12(sin⁡π360t⋅sin⁡π30t+cos⁡π360t⋅cos⁡π30t)=12cos⁡(π30t−π360t)=12cos⁡11π360t\displaystyle \begin{aligned}p ( t ) &= \overrightarrow{\mathrm{OH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OM}} = \left( 3 \sin \frac{{\pi}}{360} t , 3 \cos \frac{{\pi}}{360} t \right) \cdot \left( 4 \sin \frac{{\pi}}{30} t , 4 \cos \frac{{\pi}}{30} t \right)\\&= 12 \left( \sin \frac{{\pi}}{360} t \cdot \sin \frac{{\pi}}{30} t + \cos \frac{{\pi}}{360} t \cdot \cos \frac{{\pi}}{30} t \right)\\&= 12 \cos \left( \frac{{\pi}}{30} t - \frac{{\pi}}{360} t \right)\\&= 12 \cos \frac{{11 \pi}}{360} t\end{aligned}이다.

+6점 · 부등식 cos⁡11π360t≥32\displaystyle \cos\frac{11\pi}{360}t\ge\frac{\sqrt3}{2}과 범위 0≤11π360t≤11π3\displaystyle 0\le\frac{11\pi}{360}t\le\frac{11\pi}{3} 제시.

0≤t≤120\displaystyle 0 \leq t \leq 120이므로 0≤11π360t≤11π3=4π−π3\displaystyle 0 \leq \frac{{11 \pi}}{360} t \leq \frac{{11 \pi}}{3} = 4 \pi - \frac{{\pi}}{3}이다.p(t)=12cos⁡11π360t≥63\displaystyle p ( t ) = 12 \cos \frac{{11 \pi}}{360} t \geq 6 \sqrt{3}는 cos⁡11π360t≥32\displaystyle \cos \frac{{11 \pi}}{360} t \geq \frac{{\sqrt{3}}}{2}이므로

+6점 · 0≤11π360t≤π6\displaystyle 0\le\frac{11\pi}{360}t\le\frac\pi6 또는 11π6≤11π360t≤13π6\displaystyle \frac{11\pi}{6}\le\frac{11\pi}{360}t\le\frac{13\pi}{6} 유도. 0≤t≤6011\displaystyle 0\le t\le\frac{60}{11} 또는 60≤t≤78011\displaystyle 60\le t\le\frac{780}{11} 유도. S={0,1,2,3,4,5,60,61,62,…,70}\displaystyle S=\{0,1,2,3,4,5,60,61,62,\ldots,70\} 제시.

0≤11π360t≤π6\displaystyle 0 \leq \frac{{11 \pi}}{360} t \leq \frac{{\pi}}{6} 또는 11π6≤11π360t≤13π6\displaystyle \frac{{11 \pi}}{6} \leq \frac{{11 \pi}}{360} t \leq \frac{{13 \pi}}{6}이고0≤t≤6011=5+511\displaystyle 0 \leq t \leq \frac{{60}}{11} = 5 + \frac{{5}}{11} 또는 60≤t≤78011=70+1011\displaystyle 60 \leq t \leq \frac{{780}}{11} = 70 + \frac{{10}}{11}이다.S={0,1,2,3,4,5,60,61,62,…,70}\displaystyle S = \left\{ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 60 , 61 , 62 , \ldots , 70 \right\}.

+2점 · S\displaystyle S의 원소의 개수 17\displaystyle 17개 계산.

따라서 S\displaystyle S의 원소의 개수는 6+11=17\displaystyle 6 + 11 = 17개.

+3점 · C(x,y)=(3sin⁡π360t+4sin⁡π30t2,3cos⁡π360t+4cos⁡π30t2)\displaystyle \mathrm C(x,y)=\left(\frac{3\sin\frac\pi{360}t+4\sin\frac\pi{30}t}{2},\frac{3\cos\frac\pi{360}t+4\cos\frac\pi{30}t}{2}\right)을 제시.

[논제I-4]C\displaystyle \mathrm{C}는 선분 HM\displaystyle \mathrm{HM}의 중점이므로 시각 t\displaystyle t에서 C\displaystyle \mathrm{C}의 위치는(x,y)=(3sin⁡π360t+4sin⁡π30t2,3cos⁡π360t+4cos⁡π30t2)\displaystyle ( x , y ) = \left( \frac{{3 \sin \frac{{\pi}}{360} t + 4 \sin \frac{{\pi}}{30} t}}{2} , \frac{{3 \cos \frac{{\pi}}{360} t + 4 \cos \frac{{\pi}}{30} t}}{2} \right)이다.

+6점 · (dxdt,dydt)=(π240cos⁡π360t+π15cos⁡π30t,−π240sin⁡π360t−π15sin⁡π30t)\displaystyle \left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right)=\left(\frac\pi{240}\cos\frac\pi{360}t+\frac\pi{15}\cos\frac\pi{30}t,-\frac\pi{240}\sin\frac\pi{360}t-\frac\pi{15}\sin\frac\pi{30}t\right)을 계산. ∣(dxdt,dydt)∣2=(π240)2+(π15)2+π21800cos⁡11π360t\displaystyle \left|\left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right)\right|^2=\left(\frac\pi{240}\right)^2+\left(\frac\pi{15}\right)^2+\frac{\pi^2}{1800}\cos\frac{11\pi}{360}t를 계산. (※ ∣(dxdt,dydt)∣2=(π240)2(257+32cos⁡11π360t)\displaystyle \left|\left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right)\right|^2=\left(\frac\pi{240}\right)^2\left(257+32\cos\frac{11\pi}{360}t\right)로 정리한 경우도 인정) (※ ∣(dxdt,dydt)∣=(π240)2+(π15)2+π21800cos⁡11π360t\displaystyle \left|\left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right)\right|=\sqrt{\left(\frac\pi{240}\right)^2+\left(\frac\pi{15}\right)^2+\frac{\pi^2}{1800}\cos\frac{11\pi}{360}t}도 인정)

제시문 [라]를 이용하면 속도 벡터는(dxdt,dydt)=(π240cos⁡π360t+π15cos⁡π30t,−π240sin⁡π360t−π15sin⁡π30t)\displaystyle \left( \frac{{d x}}{d t} , \frac{{d y}}{d t} \right) = \left( \frac{{\pi}}{240} \cos \frac{{\pi}}{360} t + \frac{{\pi}}{15} \cos \frac{{\pi}}{30} t , - \frac{{\pi}}{240} \sin \frac{{\pi}}{360} t - \frac{{\pi}}{15} \sin \frac{{\pi}}{30} t \right)이다.따라서∣(dxdt,dydt)∣2=(π240cos⁡π360t+π15cos⁡π30t)2+(−π240sin⁡π360t−π15sin⁡π30t)2=(π240)2(cos⁡2π360t+sin⁡2π360t)+(π15)2(cos⁡2π30t+sin⁡2π30t)+π240π15(2cos⁡π360t⋅cos⁡π30t+2sin⁡π360t⋅sin⁡π30t)=(π240)2+(π15)2+π21800cos⁡11π360t\displaystyle \begin{aligned} \left| \left( \frac{{d x}}{d t} , \frac{{d y}}{d t} \right) \right|^{2} &= \left( \frac{{\pi}}{240} \cos \frac{{\pi}}{360} t + \frac{{\pi}}{15} \cos \frac{{\pi}}{30} t \right)^{2} + \left( - \frac{{\pi}}{240} \sin \frac{{\pi}}{360} t - \frac{{\pi}}{15} \sin \frac{{\pi}}{30} t \right)^{2} \\&= \left( \frac{{\pi}}{240} \right)^{2} \left( \cos^{2} \frac{{\pi}}{360} t + \sin^{2} \frac{{\pi}}{360} t \right) + \left( \frac{{\pi}}{15} \right)^{2} \left( \cos^{2} \frac{{\pi}}{30} t + \sin^{2} \frac{{\pi}}{30} t \right)\\&+ \frac{{\pi}}{240} \frac{{\pi}}{15} \left( 2 \cos \frac{{\pi}}{360} t \cdot \cos \frac{{\pi}}{30} t + 2 \sin \frac{{\pi}}{360} t \cdot \sin \frac{{\pi}}{30} t \right)\\&= \left( \frac{{\pi}}{240} \right)^{2} + \left( \frac{{\pi}}{15} \right)^{2} + \frac{{\pi^{2}}}{1800} \cos \frac{{11 \pi}}{360} t\end{aligned}이다.

+6점 · cos⁡11π360t\displaystyle \cos\frac{11\pi}{360}t이 최대인 경우에 속력이 최대임을 서술. 11π2≤11π360t≤22π3\displaystyle \frac{11\pi}{2}\le\frac{11\pi}{360}t\le\frac{22\pi}{3}에서 11π360t=6π\displaystyle \frac{11\pi}{360}t=6\pi 유도. t=216011\displaystyle t=\frac{2160}{11} 계산.

그러므로 cos⁡11π360t\displaystyle \cos \frac{{11 \pi}}{360} t이 최대인 경우에 속력이 최대가 된다.180≤t≤240\displaystyle 180 \leq t \leq 240이므로 11π2=6π−π2≤11π360t≤22π3=6π+4π3\displaystyle \frac{{11 \pi}}{2} = 6 \pi - \frac{{\pi}}{2} \leq \frac{{11 \pi}}{360} t \leq \frac{{22 \pi}}{3} = 6 \pi + \frac{{4 \pi}}{3}이다.cos⁡11π360t\displaystyle \cos \frac{{11 \pi}}{360} t는 11π360t=6π\displaystyle \frac{{11 \pi}}{360} t = 6 \pi일 때 최댓값 1\displaystyle 1을 가지므로,속력이 최대가 되는 t\displaystyle t는 t=6×36011=216011\displaystyle t = 6 \times \frac{{360}}{11} = \frac{{2160}}{11}이다.

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