자연계열 (토요일) 1번

[논제I-1]시침은 $\displaystyle 60$분에 $\displaystyle 30$도, 즉 $\displaystyle \frac{{\pi}}{180} \times 30 = \frac{{\pi}}{6}$씩 시계방향으로 움직이므로 $\displaystyle 1$분에 $\displaystyle \frac{{\pi}}{360}$씩 움직인다.$\displaystyle t = 0$에서 시침의 각도는 $\displaystyle \frac{{\pi}}{2}$이므로 시각 $\displaystyle t$에서 동경 $\displaystyle {\mathrm{OH}}$가 나타내는 각은 $\displaystyle \frac{{\pi}}{2} - \frac{{\pi}}{360} t$이다.

시각 $\displaystyle t$에서 동경 $\displaystyle {\mathrm{OM}}$이 나타내는 각은 $\displaystyle \frac{{\pi}}{2} - \frac{{\pi}}{30} t$, $\displaystyle \overline{\mathrm{OH}} = 3$, $\displaystyle \overline{\mathrm{OM}} = 4$이므로$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{H} ( x_{1} , y_{1} ) &= \left( 3 \cos \left( \frac{{\pi}}{2} - \frac{{\pi}}{360} t \right) , 3 \sin \left( \frac{{\pi}}{2} - \frac{{\pi}}{360} t \right) \right)\\&= \left( 3 \sin \frac{{\pi}}{360} t , 3 \cos \frac{{\pi}}{360} t \right)\end{aligned}$이고,$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{M} ( x_{2} , y_{2} ) &= \left( 4 \cos \left( \frac{{\pi}}{2} - \frac{{\pi}}{30} t \right) , 4 \sin \left( \frac{{\pi}}{2} - \frac{{\pi}}{30} t \right) \right)\\&= \left( 4 \sin \frac{{\pi}}{30} t , 4 \cos \frac{{\pi}}{30} t \right)\end{aligned}$이다.

[논제I-2]$\displaystyle \mathrm{M}^{\prime}$은 $\displaystyle \mathrm{M}$을 직선 $\displaystyle y = x$에 대하여 대칭이동한 점이므로$\displaystyle \mathrm{M}^{\prime} = \left( 4 \cos \frac{{\pi}}{30} t , 4 \sin \frac{{\pi}}{30} t \right)$이다.

제시문 [다]의 내분점, 외분점 공식을 이용하면$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{A} ( a_{1} , a_{2} ) &= \left( \frac{{3 \times 4 \cos \frac{{\pi}}{30} t + 4 \times 3 \sin \frac{{\pi}}{360} t}}{3 + 4} , \frac{{3 \times 4 \sin \frac{{\pi}}{30} t + 4 \times 3 \cos \frac{{\pi}}{360} t}}{3 + 4} \right)\\& = \frac{{12}}{7} \left( \cos \frac{{\pi}}{30} t + \sin \frac{{\pi}}{360} t , \sin \frac{{\pi}}{30} t + \cos \frac{{\pi}}{360} t \right)\end{aligned}$이고,$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{B} ( b_{1} , b_{2} ) &= \left( \frac{{3 \times 4 \cos \frac{{\pi}}{30} t - 4 \times 3 \sin \frac{{\pi}}{360} t}}{3 - 4} , \frac{{3 \times 4 \sin \frac{{\pi}}{30} t - 4 \times 3 \cos \frac{{\pi}}{360} t}}{3 - 4} \right)\\& = 12 \left( - \cos \frac{{\pi}}{30} t + \sin \frac{{\pi}}{360} t , - \sin \frac{{\pi}}{30} t + \cos \frac{{\pi}}{360} t \right)\end{aligned}$이다.

제시문 [나]를 이용하면$\displaystyle \begin{aligned}\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}} &= a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} = \frac{{12^{2}}}{7} \left( \sin^{2} \frac{{\pi}}{360} t - \cos^{2} \frac{{\pi}}{30} t + \cos^{2} \frac{{\pi}}{360} t - \sin^{2} \frac{{\pi}}{30} t \right)\\&= 0\end{aligned}$.따라서 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}} = 0$이다.

[논제I-3]제시문 [가]와 [나]를 이용하면$\displaystyle \begin{aligned}p ( t ) &= \overrightarrow{\mathrm{OH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OM}} = \left( 3 \sin \frac{{\pi}}{360} t , 3 \cos \frac{{\pi}}{360} t \right) \cdot \left( 4 \sin \frac{{\pi}}{30} t , 4 \cos \frac{{\pi}}{30} t \right)\\&= 12 \left( \sin \frac{{\pi}}{360} t \cdot \sin \frac{{\pi}}{30} t + \cos \frac{{\pi}}{360} t \cdot \cos \frac{{\pi}}{30} t \right)\\&= 12 \cos \left( \frac{{\pi}}{30} t - \frac{{\pi}}{360} t \right)\\&= 12 \cos \frac{{11 \pi}}{360} t\end{aligned}$이다.

$\displaystyle 0 \leq t \leq 120$이므로 $\displaystyle 0 \leq \frac{{11 \pi}}{360} t \leq \frac{{11 \pi}}{3} = 4 \pi - \frac{{\pi}}{3}$이다.$\displaystyle p ( t ) = 12 \cos \frac{{11 \pi}}{360} t \geq 6 \sqrt{3}$는 $\displaystyle \cos \frac{{11 \pi}}{360} t \geq \frac{{\sqrt{3}}}{2}$이므로

$\displaystyle 0 \leq \frac{{11 \pi}}{360} t \leq \frac{{\pi}}{6}$ 또는 $\displaystyle \frac{{11 \pi}}{6} \leq \frac{{11 \pi}}{360} t \leq \frac{{13 \pi}}{6}$이고$\displaystyle 0 \leq t \leq \frac{{60}}{11} = 5 + \frac{{5}}{11}$ 또는 $\displaystyle 60 \leq t \leq \frac{{780}}{11} = 70 + \frac{{10}}{11}$이다.$\displaystyle S = \left\{ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 60 , 61 , 62 , \ldots , 70 \right\}$.

따라서 $\displaystyle S$의 원소의 개수는 $\displaystyle 6 + 11 = 17$개.

[논제I-4]$\displaystyle \mathrm{C}$는 선분 $\displaystyle \mathrm{HM}$의 중점이므로 시각 $\displaystyle t$에서 $\displaystyle \mathrm{C}$의 위치는$\displaystyle ( x , y ) = \left( \frac{{3 \sin \frac{{\pi}}{360} t + 4 \sin \frac{{\pi}}{30} t}}{2} , \frac{{3 \cos \frac{{\pi}}{360} t + 4 \cos \frac{{\pi}}{30} t}}{2} \right)$이다.

제시문 [라]를 이용하면 속도 벡터는$\displaystyle \left( \frac{{d x}}{d t} , \frac{{d y}}{d t} \right) = \left( \frac{{\pi}}{240} \cos \frac{{\pi}}{360} t + \frac{{\pi}}{15} \cos \frac{{\pi}}{30} t , - \frac{{\pi}}{240} \sin \frac{{\pi}}{360} t - \frac{{\pi}}{15} \sin \frac{{\pi}}{30} t \right)$이다.따라서$\displaystyle \begin{aligned} \left| \left( \frac{{d x}}{d t} , \frac{{d y}}{d t} \right) \right|^{2} &= \left( \frac{{\pi}}{240} \cos \frac{{\pi}}{360} t + \frac{{\pi}}{15} \cos \frac{{\pi}}{30} t \right)^{2} + \left( - \frac{{\pi}}{240} \sin \frac{{\pi}}{360} t - \frac{{\pi}}{15} \sin \frac{{\pi}}{30} t \right)^{2} \\&= \left( \frac{{\pi}}{240} \right)^{2} \left( \cos^{2} \frac{{\pi}}{360} t + \sin^{2} \frac{{\pi}}{360} t \right) + \left( \frac{{\pi}}{15} \right)^{2} \left( \cos^{2} \frac{{\pi}}{30} t + \sin^{2} \frac{{\pi}}{30} t \right)\\&+ \frac{{\pi}}{240} \frac{{\pi}}{15} \left( 2 \cos \frac{{\pi}}{360} t \cdot \cos \frac{{\pi}}{30} t + 2 \sin \frac{{\pi}}{360} t \cdot \sin \frac{{\pi}}{30} t \right)\\&= \left( \frac{{\pi}}{240} \right)^{2} + \left( \frac{{\pi}}{15} \right)^{2} + \frac{{\pi^{2}}}{1800} \cos \frac{{11 \pi}}{360} t\end{aligned}$이다.

그러므로 $\displaystyle \cos \frac{{11 \pi}}{360} t$이 최대인 경우에 속력이 최대가 된다.$\displaystyle 180 \leq t \leq 240$이므로 $\displaystyle \frac{{11 \pi}}{2} = 6 \pi - \frac{{\pi}}{2} \leq \frac{{11 \pi}}{360} t \leq \frac{{22 \pi}}{3} = 6 \pi + \frac{{4 \pi}}{3}$이다.$\displaystyle \cos \frac{{11 \pi}}{360} t$는 $\displaystyle \frac{{11 \pi}}{360} t = 6 \pi$일 때 최댓값 $\displaystyle 1$을 가지므로,속력이 최대가 되는 $\displaystyle t$는 $\displaystyle t = 6 \times \frac{{360}}{11} = \frac{{2160}}{11}$이다.