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자연계열 (일요일) 1번

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경희대 2017학년도 수시 자연계열 (일요일) 1번 · mathesis.kr/archive/khu/2017su/jayeon_sun_1

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[가]좌표평면 위에서 x\displaystyle x축의 양의 방향을 시초선으로 잡았을 때, 동경 OP\displaystyle \mathrm{OP}가 나타내는 각의 크기 중 하나를 θ\displaystyle \theta라 하자. 중심이 원점 O\displaystyle \mathrm{O}이고 반지름의 길이가 r\displaystyle r인 원과 동경 OP\displaystyle \mathrm{OP}의 교점을 P(x,y)\displaystyle {\mathrm{P}} ( x , y )라 하면, yr\displaystyle \frac{y}{r}, xr\displaystyle \frac{x}{r}, yx\displaystyle \frac{y}{x} (x≠0\displaystyle x \neq 0)의 값은 θ\displaystyle \theta의 값에 따라 각각 하나로 정해진다. 따라서 θ⇒yr\displaystyle \theta \Rightarrow \frac{y}{r}, θ⇒xr\displaystyle \theta \Rightarrow \frac{x}{r}, θ⇒yx\displaystyle \theta \Rightarrow \frac{y}{x} (x≠0\displaystyle x \neq 0)와 같은 대응은 각각 θ\displaystyle \theta의 함수이다. 이들을 차례대로 θ\displaystyle \theta의 사인함수, 코사인함수, 탄젠트함수라 하고, 기호로 각각 sin⁡θ\displaystyle \sin \theta, cos⁡θ\displaystyle \cos \theta, tan⁡θ\displaystyle \tan \theta와 같이 나타낸다.

[나]함수 f(x)\displaystyle f ( x )가 어떤 열린 구간에서 미분가능할 때, 그 구간의 모든 x\displaystyle x에 대하여(1) f′(x)>0\displaystyle f^{\prime} ( x ) > 0이면 f(x)\displaystyle f ( x )는 그 구간에서 증가한다.(2) f′(x)<0\displaystyle f^{\prime} ( x ) < 0이면 f(x)\displaystyle f ( x )는 그 구간에서 감소한다.

함수 y=f(x)\displaystyle y = f ( x )의 정의역과 치역, 함수의 증가와 감소, 극대와 극소, 연속성 등은 함수의 특징이라 할 수 있고, 이러한 특징을 알면 그 그래프의 개형을 그릴 수 있다.

[다]두 함수 y=f(u)\displaystyle y=f(u), u=g(x)\displaystyle u=g(x)가 미분가능할 때, 합성함수 y=f(g(x))\displaystyle y=f(g(x))도 미분가능하며 그 도함수는 dydx=dydu⋅dudx\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} 또는 {f(g(x))}′=f′(g(x))g′(x)\displaystyle \{f(g(x))\}^{\prime}=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)이다.

[라]좌표평면 위를 움직이는 점 P(x,y)\displaystyle {\mathrm{P}} ( x , y )의 시각 t\displaystyle t에서의 위치가 x=f(t)\displaystyle x = f ( t ), y=g(t)\displaystyle y = g ( t )로 나타내어질 때, 시각 t=a\displaystyle t = a에서 시각 t=b\displaystyle t = b까지 점 P\displaystyle \mathrm{P}가 그리는 곡선의 길이 s\displaystyle s는 s=∫ab(dxdt)2+(dydt)2dt\displaystyle s = \int_{a}^{b} {\sqrt{\left( \frac{{d x}}{d t} \right)^{2} + \left( \frac{{d y}}{d t} \right)^{2}} d t}이다.

[논제 I] 제시문 [가]∼[라]를 읽고 다음 질문에 답하시오.

반지름의 길이가 1\displaystyle 1이고 점 O\displaystyle \mathrm{O}를 중심으로 하는 반원 위의 한 점 P\displaystyle \mathrm{P}와 이 반원의 지름의 양 끝점 A\displaystyle \mathrm{A}, B\displaystyle \mathrm{B}를 꼭짓점으로 하는 삼각형 APB\displaystyle \mathrm{APB}가 아래 그림과 같이 주어졌다고 하자. 점 N\displaystyle \mathrm{N}과 M\displaystyle \mathrm{M}은 각각 선분 AP\displaystyle \mathrm{AP}와 선분 PB\displaystyle \mathrm{PB}의 중점이다. 이때, 아래 그림과 같이 선분 AP\displaystyle \mathrm{AP}와 선분 PB\displaystyle \mathrm{PB}를 지름으로 하는 각 반원에 내접하며, 선분 AB\displaystyle \mathrm{AB}를 지름으로 하는 반원에 외접하는 두 원을 C1\displaystyle C_{1}과 C2\displaystyle C_{2}라 하자. 원 C1\displaystyle C_{1}과 C2\displaystyle C_{2}의 중심을 각각 점 O1\displaystyle \mathrm{O}_{1}과 O2\displaystyle \mathrm{O}_{2}라 할 때, 세 점 O\displaystyle \mathrm{O}, N\displaystyle \mathrm{N}, O1\displaystyle \mathrm{O}_{1}이 일직선 위에 있고, 세 점 O\displaystyle \mathrm{O}, M\displaystyle \mathrm{M}, O2\displaystyle \mathrm{O}_{2}가 일직선 위에 있다. 원 C1\displaystyle C_{1}과 C2\displaystyle C_{2}의 반지름의 길이는 각각 r1\displaystyle r_{1}과 r2\displaystyle r_{2}이다. 그리고 각 PAB\displaystyle \mathrm{PAB}의 크기를 θ\displaystyle \theta라 하자.

세 반원과 두 내접원

[논제 I-1] 0<θ<π2\displaystyle {0 < \theta < \frac{\pi}{2}}일 때, r1\displaystyle {r_{1}}과 r2\displaystyle {r_{2}}를 θ\displaystyle {\theta}의 함수로 나타내고 그 근거를 논술하시오. (15점)

[논제 I-2] 0<θ<π2\displaystyle {0 < \theta < \frac{\pi}{2}}일 때, 선분 PB\displaystyle {\mathrm{PB}}의 중점 M\displaystyle {\mathrm{M}}과 점 O2\displaystyle {\mathrm{O}_{2}}사이의 거리를 ℓ(θ)\displaystyle {\ell ( \theta )}라 하자. ∫π6π3ℓ(θ)dθ\displaystyle {\int_{\frac{{\pi}}{6}}^{\frac{{\pi}}{3}} {\ell ( \theta ) d \theta}}의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (15점)

[논제 I-3] 원 C1\displaystyle {C_{1}}의 넓이를 S1\displaystyle {S_{1}}, 원 C2\displaystyle {C_{2}}의 넓이를 S2\displaystyle {S_{2}}라 하면 S1\displaystyle {S_{1}}과 S2\displaystyle {S_{2}}는 각각 θ\displaystyle {\theta}의 함수이다. S(θ)=S1(θ)+S2(θ)\displaystyle {S ( \theta ) = S_{1} ( \theta ) + S_{2} ( \theta )}라 하자. 0<θ<π2\displaystyle {0 < \theta < \frac{\pi}{2}}에서 함수 S(θ)\displaystyle {S ( \theta )}의 증가와 감소를 표로 나타내고, S(θ)\displaystyle {S ( \theta )}가 최대가 되는 θ\displaystyle {\theta}의 값을 구하시오. 그리고 그 근거를 논술하시오. (15점)

[논제 I-4] 원 C2\displaystyle {C_{2}}와 선분 PB\displaystyle \mathrm{PB}를 지름으로 하는 반원의 접점을 Q\displaystyle \mathrm{Q}라 하자. θ=π6\displaystyle {\theta = \frac{\pi}{6}}에서 θ=π3\displaystyle {\theta = \frac{\pi}{3}}까지 변할 때, 점 Q\displaystyle \mathrm{Q}가 그리는 곡선의 길이를 구하고 그 과정을 서술하시오. (15점)

해설강의 준비중

경희대 2017학년도 수시 자연계열 (일요일) 1번 · mathesis.kr/archive/khu/2017su/jayeon_sun_1

[논제I-1]

반원과 원들의 접점
+4점 · ∠ROB=∠PAB=θ\displaystyle \angle\mathrm{ROB}=\angle\mathrm{PAB}=\theta (논리적 설명 필요)

원의 중심과 현의 중점을 이은 선분은 현을 수직 이등분하므로, OM‾⊥BP‾\displaystyle \overline{\mathrm{OM}} \perp \overline{\mathrm{BP}}이다.∠APB\displaystyle \angle \mathrm{APB}는 반원에 대한 원주각이므로 직각이다.∠APB=∠OMB\displaystyle \angle \mathrm{APB} = \angle \mathrm{OMB} 이므로 선분 AP\displaystyle {\mathrm{AP}}와 선분 OM\displaystyle \mathrm{OM}은 평행이다. 따라서 ∠ROB=∠PAB=θ\displaystyle \angle \mathrm{ROB} = \angle \mathrm{PAB} = \theta이다.

+5점 · 접점 R\displaystyle \mathrm R과 Q\displaystyle \mathrm Q도 세 점 O\displaystyle \mathrm O, M\displaystyle \mathrm M, O2\displaystyle \mathrm O_2와 같은 직선 위에 있음. (논리적 설명 필요)

원 C2\displaystyle C_2와 중심이 O\displaystyle \mathrm O인 반원과의 접점을 R\displaystyle \mathrm R, 원 C2\displaystyle C_2와 선분 PM\displaystyle \mathrm{PM}이 지름인 반원의 접점을 Q\displaystyle \mathrm Q라 하자.Correction. 반원의 지름을 나타낸 선분 PM\displaystyle PM은 PB\displaystyle PB의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.R\displaystyle \mathrm{R}에서의 접선은 선분 O2R\displaystyle \mathrm{O}_{2} \mathrm{R}과 선분 OR\displaystyle \mathrm{OR}과 수직이다.따라서 접점 R\displaystyle \mathrm{R}은 두 점 O\displaystyle \mathrm{O}, O2\displaystyle \mathrm{O}_{2}를 지나는 직선 위에 있다.마찬가지로 접점 Q\displaystyle \mathrm{Q}는 두 점 M\displaystyle \mathrm{M}, O2\displaystyle \mathrm{O}_{2}를 지나는 직선 위에 있다.세 점 O\displaystyle \mathrm{O}, M\displaystyle \mathrm{M}, O2\displaystyle \mathrm{O}_{2}가 일직선 위에 있으므로 접점 R\displaystyle \mathrm{R}과 Q\displaystyle \mathrm{Q}도 세 점 O\displaystyle \mathrm{O}, M\displaystyle \mathrm{M}, O2\displaystyle \mathrm{O}_{2}와 같은 직선 위에 있다.

+6점 · r1(θ)=r2(θ)=12(cos⁡θ+sin⁡θ−1)\displaystyle r_1(\theta)=r_2(\theta)=\frac12(\cos\theta+\sin\theta-1)

따라서 OR‾+2r2=OM‾+MQ‾=OM‾+BM‾\displaystyle {\overline{\mathrm{OR}}} + 2 r_{2} = {\overline{\mathrm{OM}} + \overline{\mathrm{MQ}}} = {\overline{\mathrm{OM}} + \overline{\mathrm{BM}}} 이며 마찬가지로 OS‾+2r1=ON‾+AN‾\displaystyle {\overline{\mathrm{OS}}} + 2 r_{1} = \overline{\mathrm{ON}} + \overline{\mathrm{AN}}을 얻는다.이때, AN‾=OM‾=cos⁡θ,ON‾=BM‾=sin⁡θ\displaystyle {\overline{\mathrm{AN}}} = {\overline{\mathrm{OM}}} = \cos \theta , {\overline{\mathrm{ON}} = {\overline{\mathrm{BM}}}} = \sin \theta이므로,r1(θ)=r2(θ)=12(cos⁡θ+sin⁡θ−1)(0<θ<π2)\displaystyle r_{1} ( \theta ) = r_{2} ( \theta ) = \frac{{1}}{2} ( \cos \theta + \sin \theta - 1 ) \left( 0 < \theta < \frac{{\pi}}{2} \right)이다.

+5점 · O2M‾=BM‾−r2\displaystyle \overline{\mathrm{O_2M}}=\overline{\mathrm{BM}}-r_2, BM‾=sin⁡θ\displaystyle \overline{\mathrm{BM}}=\sin\theta (논리적 설명 필요)

[논제I-2]그림에서 원 C2\displaystyle C_{2}와 중심이 O\displaystyle \mathrm{O}인 반원과의 접점을 R\displaystyle \mathrm{R}이라 하면, O\displaystyle \mathrm{O},R\displaystyle \mathrm{R},O2\displaystyle \mathrm{O}_{2}는 일직선 위에 있고, O\displaystyle \mathrm{O},M\displaystyle \mathrm{M},O2\displaystyle \mathrm{O}_{2}가 일직선 위에 있으므로, M\displaystyle \mathrm{M},R\displaystyle \mathrm{R},O2\displaystyle \mathrm{O}_{2}도 일직선 위에 있다. 이를 이용하면 O2M‾=QM‾−r2=BM‾−r2\displaystyle \overline{\mathrm{O}_{2} \mathrm{M}} = \overline{\mathrm{QM}} - r_{2} = \overline{\mathrm{BM}} - r_{2} 이다.

+5점

BM‾=sin⁡θ\displaystyle {\overline{\mathrm{BM}}} = \sin \theta와 [논제I-1]에서 구한 r2(θ)\displaystyle r_{2} ( \theta )를 대입해서 정리하면ℓ(θ)=O2M‾=12(sin⁡θ−cos⁡θ+1)\displaystyle \ell(\theta)=\overline{\mathrm{O_2M}}=\frac12(\sin\theta-\cos\theta+1)이다.

+5점 · ∫π/6π/3ℓ(θ) dθ=12∫π/6π/3(sin⁡θ−cos⁡θ+1) dθ=12[−cos⁡θ−sin⁡θ+θ]π/6π/3=π12\displaystyle \int_{\pi/6}^{\pi/3}\ell(\theta)\,d\theta=\frac12\int_{\pi/6}^{\pi/3}(\sin\theta-\cos\theta+1)\,d\theta=\frac12\Biggl[-\cos\theta-\sin\theta+\theta\Biggr]_{\pi/6}^{\pi/3}=\frac\pi{12}

따라서, ∫π6π3ℓ(θ)dθ=12∫π6π3(sin⁡θ−cos⁡θ+1)dθ=12[−cos⁡θ−sin⁡θ+θ]π6π3=π12\displaystyle \begin{aligned}\int_{\frac{{\pi}}{6}}^{\frac{{\pi}}{3}} {\ell ( \theta ) d \theta} &= \frac{{1}}{2} \int_{\frac{{\pi}}{6}}^{\frac{{\pi}}{3}} {( \sin \theta - \cos \theta + 1 ) d \theta} = \frac{{1}}{2} \Biggl[ - \cos \theta - \sin \theta + \theta \Biggr]_{\frac{{\pi}}{6}}^{\frac{{\pi}}{3}}\\&= \frac{{\pi}}{12}\end{aligned}이다.

+5점 · S′(θ)=π(cos⁡θ+sin⁡θ−1)(cos⁡θ−sin⁡θ)=2πr1(θ)(cos⁡θ−sin⁡θ)\displaystyle S^{\prime}(\theta)=\pi(\cos\theta+\sin\theta-1)(\cos\theta-\sin\theta)=2\pi r_1(\theta)(\cos\theta-\sin\theta)

[논제I-3][논제I-1]의 결과를 이용하면, r1(θ)=r2(θ)=12(cos⁡θ+sin⁡θ−1)(0<θ<π2)\displaystyle r_{1} ( \theta ) = r_{2} ( \theta ) = \frac{{1}}{2} \left( \cos \theta + \sin \theta - 1 \right) \left( 0 < \theta < \frac{{\pi}}{2} \right)이고S(θ)=S1(θ)+S2(θ)=π2(cos⁡θ+sin⁡θ−1)2\displaystyle S ( \theta ) = S_{1} ( \theta ) + S_{2} ( \theta ) = \frac{{\pi}}{2} ( \cos \theta + \sin \theta - 1 )^{2}이다.합성함수의 미분법을 적용하면,S′(θ)=π(cos⁡θ+sin⁡θ−1)(cos⁡θ−sin⁡θ)=2πr1(θ)(cos⁡θ−sin⁡θ)\displaystyle S^{\prime} ( \theta ) = \pi ( \cos \theta + \sin \theta - 1 ) ( \cos \theta - \sin \theta ) = 2 {\pi} r_{1} ( \theta ) ( \cos \theta - \sin \theta )이다.

+7점 · r1(θ)>0\displaystyle r_1(\theta)>0이고, cos⁡θ−sin⁡θ>0(0<θ<π4)\displaystyle \cos\theta-\sin\theta>0\left(0<\theta<\frac\pi4\right), cos⁡θ−sin⁡θ<0(π4<θ<π2)\displaystyle \cos\theta-\sin\theta<0\left(\frac\pi4<\theta<\frac\pi2\right)이므로 함수 S(θ)\displaystyle S(\theta)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같음. (논리적 설명 필요)

이때, r1(θ)>0\displaystyle r_1(\theta)>0이고, cos⁡θ−sin⁡θ>0(0<θ<π4)\displaystyle \cos\theta-\sin\theta>0\left(0<\theta<\frac\pi4\right), cos⁡θ−sin⁡θ<0(π4<θ<π2)\displaystyle \cos\theta-\sin\theta<0\left(\frac\pi4<\theta<\frac\pi2\right)이므로함수 S(θ)\displaystyle S ( \theta )의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

θ\displaystyle \theta0⋯\displaystyle \cdotsπ4\displaystyle \frac\pi4⋯\displaystyle \cdotsπ2\displaystyle \frac\pi2
S′(θ)\displaystyle S^{\prime}(\theta)+0−
S(θ)\displaystyle S(\theta)↗(2−1)22π\displaystyle \frac{(\sqrt2-1)^2}{2}\pi↘
두 원의 넓이 합의 그래프
+3점 · θ=π4\displaystyle \theta=\frac\pi4일 때 S(θ)\displaystyle S(\theta)가 최댓값 (논리적 설명 필요)

따라서 그래프의 개형은 오른쪽 그림과 같으며 θ=π4\displaystyle \theta = \frac{\pi}{4}일 때 S(θ)\displaystyle S ( \theta )가 최댓값을 갖는다.

[논제1-4]

반원과 원들의 접점
+4점 · Q=((cos⁡θ+sin⁡θ)cos⁡θ,(cos⁡θ+sin⁡θ)sin⁡θ)\displaystyle \mathrm Q=((\cos\theta+\sin\theta)\cos\theta,(\cos\theta+\sin\theta)\sin\theta) (논리적 설명 필요)

점 O\displaystyle \mathrm{O}의 좌표를 (0,0)\displaystyle ( 0 , 0 )이라 하면,원 C2\displaystyle C_{2}와 선분 PB\displaystyle \mathrm{PB}을 지름으로 하는 반원과의 접점 Q\displaystyle \mathrm{Q}의 좌표는Q=((cos⁡θ+sin⁡θ)cos⁡θ,(cos⁡θ+sin⁡θ)sin⁡θ)\displaystyle {\mathrm{Q}} = ( ( \cos \theta + \sin \theta ) \cos \theta , ( \cos \theta + \sin \theta ) \sin \theta )이다.

+8점 · (x′(θ))2+(y′(θ))2=2(X2+Y2)=2(cos⁡2θ+sin⁡2θ)2=2\displaystyle (x^{\prime}(\theta))^2+(y^{\prime}(\theta))^2=2(X^2+Y^2)=2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)^2=2

점 Q\displaystyle \mathrm{Q}가 그리는 곡선의 길이를 구하기 위해 Q\displaystyle \mathrm{Q}의 x\displaystyle x좌표를 x(θ)\displaystyle x ( \theta ), y\displaystyle y좌표를 y(θ)\displaystyle y ( \theta )라 하면,x′(θ)=cos⁡2θ−sin⁡2θ−2sin⁡θcos⁡θ\displaystyle x^{\prime} ( \theta ) = \cos^{2} \theta - \sin^{2} \theta - 2 \sin \theta \cos \theta,y′(θ)=cos⁡2θ−sin⁡2θ+2sin⁡θcos⁡θ\displaystyle y^{\prime} ( \theta ) = \cos^{2} \theta - \sin^{2} \theta + 2 \sin \theta \cos \theta이다.X=cos⁡2θ−sin⁡2θ,Y=2sin⁡θcos⁡θ\displaystyle X = \cos^{2} \theta - \sin^{2} \theta , Y = 2 \sin \theta \cos \theta로 치환하여 계산하면(x′(θ))2+(y′(θ))2=2(X2+Y2)=2(cos⁡2θ+sin⁡2θ)2=2\displaystyle ( x^{\prime} ( \theta ) )^{2} + ( y^{\prime} ( \theta ) )^{2} = 2 ( X^{2} + Y^{2} ) = 2 ( \cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta )^{2} = 2이다.

+3점 · ∫π/6π/3(x′(θ))2+(y′(θ))2 dθ=∫π/6π/32 dθ=[2θ]π/6π/3=26π\displaystyle \int_{\pi/6}^{\pi/3}\sqrt{(x^{\prime}(\theta))^2+(y^{\prime}(\theta))^2}\,d\theta=\int_{\pi/6}^{\pi/3}\sqrt2\,d\theta=\Biggl[\sqrt2\theta\Biggr]_{\pi/6}^{\pi/3}=\frac{\sqrt2}{6}\pi

따라서, 곡선의 길이는 ∫π6π3(x′(θ))2+(y′(θ))2dθ=∫π6π32dθ=[2θ]π6π3=26π\displaystyle \begin{aligned}\int_{\frac{{\pi}}{6}}^{\frac{{\pi}}{3}} {\sqrt{( x^{\prime} ( \theta ) )^{2} + ( y^{\prime} ( \theta ) )^{2}} d \theta} &= \int_{\frac{{\pi}}{6}}^{\frac{{\pi}}{3}} {\sqrt{2} d \theta} = \Biggl[ \sqrt{2} \theta \Biggr]_{\frac{{\pi}}{6}}^{\frac{{\pi}}{3}}\\&= \frac{{\sqrt{2}}}{6} \pi\end{aligned}.

※ 아이디어는 맞지만 계산이 틀린 경우 적절하게 부분점수 부여

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