의학계 1번

[논제 I-1]$\displaystyle {\mathrm{A}} ( 0 , a )$에서 해안선 위의 점 $\displaystyle ( t , t^{2} )$까지 거리의 제곱을 $\displaystyle t$에 관한 함수로 표현하면$\displaystyle f ( t ) = t^{2} + ( t^{2} - a )^{2}$이다.$\displaystyle f^{\prime} ( t ) = 2 t + 4 t ( t^{2} - a ) = 2 t ( 2 t^{2} + 1 - 2 a ) = 0$에서,$\displaystyle 0 < a \leq \frac{1}{2}$일 때는 도함수 $\displaystyle f^{\prime} ( t )$는 하나의 실근 $\displaystyle 0$을 갖고,$\displaystyle a > \frac{1}{2}$일 때는 서로 다른 세 개의 실근 $\displaystyle 0$, $\displaystyle \pm \sqrt{a - \frac{1}{2}}$을 갖는다.

(1) $\displaystyle 0 < a \le \frac{{1}}{2}$일 때: 함수의 증가, 감소 표를 구하면 다음과 같다.

$\displaystyle \begin{array}{c|ccc}t&\cdots&0&\cdots\\\hline f^{\prime}(t)&-&0&+\\\hline f(t)&\searrow&a^2&\nearrow\end{array}$

따라서 함수 $\displaystyle f ( t )$는 $\displaystyle t = 0$일 때 최소가 되므로 $\displaystyle b = 0$이다.

(2) $\displaystyle a > \frac{1}{2}$일 때: 함수의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

$\displaystyle \begin{array}{c|ccccccc}t&\cdots&-\sqrt{a-\frac12}&\cdots&0&\cdots&\sqrt{a-\frac12}&\cdots\\\hline f^{\prime}(t)&-&0&+&0&-&0&+\\\hline f(t)&\searrow&a-\frac14&\nearrow&a^2&\searrow&a-\frac14&\nearrow\end{array}$

그러므로 $\displaystyle f ( t )$는 $\displaystyle t = \pm \sqrt{a - \frac{1}{2}}$에서 최소가 되기 때문에 $\displaystyle b = \sqrt{a - \frac{1}{2}}$ ($\displaystyle b \geq 0$이므로)가 된다.따라서$\displaystyle b = {\begin{cases}0 & \left( 0 < a \leq \frac{{1}}{2} \right) , \\ \sqrt{a - \frac{{1}}{2}} & \left( a > \frac{{1}}{2} \right)\end{cases}}$이다.

[논제 I-2]점 $\displaystyle {\mathrm{A}} ( 0 , a )$로부터 점 $\displaystyle \mathrm{C} ( t , t^{3} )$까지의 거리의 제곱에 대한 함수는 $\displaystyle f ( t ) = t^{2} + ( t^{3} - a )^{2}$이다.

$\displaystyle f^{\prime} ( t ) = 2 t \left\{ 1 + 3 t ( t^{3} - a ) \right\} = 0$로부터 $\displaystyle f^{\prime} ( t )$의 부호가 $\displaystyle t = 0$의 좌우에서 음에서 양으로 바뀌기 때문에, $\displaystyle f ( t )$는 $\displaystyle t = 0$에서 하나의 극값을 가짐을 알 수 있다.나머지 극값을 찾기 위해 $\displaystyle 1 + 3 t ( t^{3} - a ) = 0$의 해와 $\displaystyle 1 + 3 t ( t^{3} - a )$의 부호에 대해서 알아보자.$\displaystyle 1 + 3 t ( t^{3} - a ) = 0$은 $\displaystyle \frac{{1}}{3 t} + t^{3} - a = 0$과 동일한 해를 갖는다는 사실과 제시문 [라]를 이용해서,두 곡선 $\displaystyle y = g ( t ) = \frac{{1}}{3 t} + t^{3}$과 $\displaystyle y = a$의 그래프의 교점의 개수를 조사하면 된다.특히 $\displaystyle a$가 양수이므로 $\displaystyle t > 0$에서의 $\displaystyle g ( t ) = \frac{{1}}{3 t} + t^{3}$의 그래프와의 $\displaystyle y = a$의 교점의 개수를 찾는다.$\displaystyle g^{\prime} ( t ) = 3 t^{2} - \frac{{1}}{3 t^{2}} = 0$에서 $\displaystyle t = \frac{1}{\sqrt{3}}$을 얻을 수 있고,함수의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

$\displaystyle \begin{array}{c|cccc}t&(0)&\cdots&\frac1{\sqrt3}&\cdots\\\hline g^{\prime}(t)&&-&0&+\\\hline g(t)&&\searrow&\frac{4\sqrt3}{9}&\nearrow\end{array}$

$\displaystyle t > 0$인 $\displaystyle t$에 대해서, $\displaystyle f^{\prime} ( t ) = 6 t^{2} ( g ( t ) - a )$이므로 아래 그림에서

(1) $\displaystyle 0 < a \le \frac{{4 \sqrt{3}}}{9}$일 때$\displaystyle g ( t )$의 최솟값이 $\displaystyle \frac{{4 \sqrt{3}}}{9}$이기 때문에 $\displaystyle g ( t ) - a \ge 0$이어서 $\displaystyle f^{\prime} ( t ) \ge 0$이고,따라서 $\displaystyle f ( t )$는 하나의 극값($\displaystyle t = 0$일 때)만 갖는다.

(2) $\displaystyle a > \frac{{4 \sqrt{3}}}{9}$일 때방정식 $\displaystyle g ( t ) - a = 0$는 서로 다른 두 개의 실근을 갖고,그 두 점의 좌우에서 $\displaystyle g ( t ) - a$는 부호가 양에서 음으로 또는 음에서 양으로 바뀐다.그러므로 $\displaystyle f ( t )$는 세 개의 극값을 갖는다.

따라서 $\displaystyle f ( t )$가 하나의 극값을 갖기 위한 $\displaystyle a$의 범위는 $\displaystyle 0 < a \leq \frac{{4 \sqrt{3}}}{9}$이고,$\displaystyle f ( t )$가 세 개의 극값을 갖기 위한 $\displaystyle a$의 범위는 $\displaystyle a > \frac{{4 \sqrt{3}}}{9}$이다.

[논제 I-3][논제 I-2]로부터 함수 $\displaystyle f ( t )$는 극값이 하나이거나 세 개인 경우 밖에 없음을 알 수 있다.점 $\displaystyle {\mathrm{A}} ( 0 , a )$로부터 해안선까지의 최단경로가 두 개인 경우는 $\displaystyle f ( t )$가 세 개의 극값을 갖는 경우,즉 $\displaystyle a > \frac{{4 \sqrt{3}}}{9}$인 경우에 나타난다.이때, $\displaystyle f^{\prime} ( t ) = 2 t ( 1 + 3 t ( t^{3} - a ) ) = 0$의 해는 $\displaystyle t = 0$에서 한 개,그리고 $\displaystyle 1 + 3 t ( t^{3} - a ) = 0$에서 두 개가 주어진다.[논제 I-2]의 함수 $\displaystyle g ( t )$의 그래프로부터 $\displaystyle f^{\prime} ( t ) = 0$의 $\displaystyle 0$이 아닌 하나의 해는 $\displaystyle {0 < t < \frac{1}{\sqrt{3}}}$에서 나타나고(이 때의 해를 $\displaystyle t_{1}$), 나머지 한 해는 $\displaystyle t > \frac{1}{\sqrt{3}}$에서 나타남(이 때의 해를 $\displaystyle t_{2}$)을 알 수 있다.이를 바탕으로 함수 $\displaystyle f ( t )$의 증가, 감소 표를 그리면 다음과 같다.

$\displaystyle \begin{array}{c|ccccccc}t&\cdots&0&\cdots&t_1&\cdots&t_2&\cdots\\\hline f^{\prime}(t)&-&0&+&0&-&0&+\\\hline f(t)&\searrow&f(0)&\nearrow&f(t_1)&\searrow&f(t_2)&\nearrow\end{array}$

그러므로 함수 $\displaystyle f ( t )$는 $\displaystyle t = 0$에서와 $\displaystyle t = t_{2}$에서 극솟값을 갖고,이때 $\displaystyle f ( 0 ) = f ( t_{2} )$인 경우 두 개의 최단경로가 나타나게 된다.

또한, $\displaystyle t_{2}$가 $\displaystyle g ( t ) = a$의 해이므로, $\displaystyle a = t_{2}^{3} + \frac{{1}}{3 t_{2}}$을 만족하게 되어

$\displaystyle t_{2}^{6} + \frac{{2}}{3} t_{2}^{2} + \frac{{1}}{9 t_{2}^{2}} = f ( 0 ) = f ( t_{2} ) = t_{2}^{2} + \frac{{1}}{9 t_{2}^{2}}$로부터 $\displaystyle t_{2} {=} \frac{1}{\sqrt[4]{3}}$임을 알 수 있다. 따라서

$\displaystyle a_{0} = \left( \frac{{1}}{\sqrt[4]{3}} \right)^{3} + \frac{{\sqrt[4]{3}}}{3} = \frac{{2 \sqrt[4]{3}}}{3}$이고 $\displaystyle c_{1} = 0 , c_{2} = \frac{{1}}{\sqrt[4]{3}}$이다.

[논제 I-4] 영역의 넓이는 아래 그림처럼 사다리꼴의 넓이에서 곡선 $\displaystyle y = x^{3}$의 아래의 넓이의 차로 구할 수 있으므로$\displaystyle \frac{1}{2} \left( \frac{{2 \sqrt[4]{3}}}{3} + \frac{{\sqrt[4]{3}}}{3} \right) \frac{{1}}{\sqrt[4]{3}} - \int_{0}^{1 / \sqrt[4]{3}} {x^{3} d x = \frac{{1}}{2} - \frac{{1}}{12} = \frac{{5}}{12}}$이다.