수리논술, 이게 다다.

자연계열 1번

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경희대 2018학년도 오프라인 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/khu/2018mo_offline/jayeon_1

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다음 문제

문제

[가]첫째항부터 차례대로 일정한 수를 더하여 만든 수열을 등차수열이라 하고, 그 일정한 수를 공차라고 한다. 일반적으로 공차가 d\displaystyle d인 등차수열 {an}\displaystyle \left\{ a_{n} \right\}에서 제n\displaystyle n항에 공차 d\displaystyle d를 더하면 제n+1\displaystyle n + 1항이 되므로 an+1=an+d\displaystyle a_{n+1} = a_{n} + d (단, n=1,2,3,⋯\displaystyle n = 1 , 2 , 3 , \cdots)이 성립한다. 첫째항이 a\displaystyle a, 공차가 d\displaystyle d인 등차수열의 일반항은 an=a+(n−1)d\displaystyle a_{n} = a + ( n - 1 ) d이다. 그리고 이 등차수열의 첫째항부터 제n\displaystyle n항까지의 합을 Sn\displaystyle S_{n}이라고 하면 Sn=n{2a+(n−1)d}2\displaystyle S_{n} = \frac{{n \left\{ 2 a + ( n - 1 ) d \right\}}}{2}이다.

첫째항부터 차례대로 일정한 수를 곱하여 만든 수열을 등비수열이라 하고, 그 일정한 수를 공비라고 한다. 일반적으로 공비가 r\displaystyle r인 등비수열 {an}\displaystyle \left\{ a_{n} \right\}에서 제n\displaystyle n항에 공비 r\displaystyle r를 곱하면 제n+1\displaystyle n + 1항이 되므로 an+1=ran\displaystyle a_{n+1} = r a_{n} (단, n=1,2,3,⋯ )\displaystyle n = 1 , 2 , 3 , \cdots )이 성립한다. 첫째항이 a\displaystyle a, 공비가 r\displaystyle r인 등비수열의 일반항은 an=arn−1\displaystyle a_{n} = a r^{n-1}이다. 그리고 이 등비수열의 첫째항부터 제n\displaystyle n항까지의 합을 Sn\displaystyle S_{n}이라고 하면, r≠1\displaystyle r \ne 1일 때 Sn=a(1−rn)1−r\displaystyle S_{n} = \frac{a(1-r^n)}{1-r}이고, r=1\displaystyle r = 1일 때 Sn=na\displaystyle S_{n} = n a이다. 따라서 등비급수 ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}은 ∣r∣<1\displaystyle | r | < 1일 때 수렴하고, ∣r∣≥1\displaystyle | r | \ge 1일 때 발산한다.

[나]θ\displaystyle \theta에 대한 삼각함수 사이에는 다음과 같은 관계가 있다.tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ,sin⁡2θ+cos⁡2θ=1,1+tan⁡2θ=sec⁡2θ\displaystyle \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta},\quad\sin^2\theta+\cos^2\theta=1,\quad1+\tan^2\theta=\sec^2\theta이러한 관계를 이용하여, θ\displaystyle \theta가 몇 사분면의 각인지 알고 sin⁡θ\displaystyle \sin \theta, cos⁡θ\displaystyle \cos \theta, tan⁡θ\displaystyle \tan \theta 중의 한 값을 알 때, 나머지 삼각함수의 값을 각각 구할 수 있다. 예를 들어, θ\displaystyle \theta가 제2\displaystyle 2사분면의 각이고 sin⁡θ=35\displaystyle \sin \theta = \frac{3}{5}일 때, cos⁡θ\displaystyle \cos \theta, tan⁡θ\displaystyle \tan \theta의 값을 각각 구할 수 있다.그리고 sin⁡x=1\displaystyle \sin x = 1, cos⁡x≤12\displaystyle \cos x \le \frac{1}{2}과 같이 각의 크기가 미지수인 방정식이나 부등식의 해는 단위원과 동경을 이용하거나 삼각함수의 그래프를 이용하여 구할 수 있다.

[다]함수 f(x)\displaystyle f ( x )가 닫힌 구간 [a,b]\displaystyle [ a , b ]에서 연속이면 이 구간에서 f(x)\displaystyle f ( x )는 반드시 최댓값과 최솟값을 가진다. 닫힌 구간 [a,b]\displaystyle [ a , b ]에서 함수 f(x)\displaystyle f ( x )의 최댓값과 최솟값을 구할 때에는 극댓값과 극솟값, f(a)\displaystyle f ( a ), f(b)\displaystyle f ( b ) 중에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 택하면 된다.

[논제 I] 제시문 [가], [나], [다]를 읽고 다음 질문에 답하시오.아래 그림에서 선분 OA\displaystyle \mathrm{OA}는 각 BOC\displaystyle \mathrm{BOC}의 이등분선이다. 선분 OA\displaystyle \mathrm{OA} 위의 점 A0\displaystyle \mathrm{A}_{0}, 선분 OB\displaystyle \mathrm{OB} 위의 점 B0\displaystyle \mathrm{B}_{0}, 선분 OC\displaystyle \mathrm{OC} 위의 점 C0\displaystyle \mathrm{C}_{0}를 꼭짓점으로 갖는 삼각형 A0B0C0\displaystyle \mathrm{A}_{0} \mathrm{B}{}_{0}\mathrm{C}_{0}가 있다. 여기서 선분 B0C0\displaystyle \mathrm{B}{}_{0}\mathrm{C}_{0}는 선분 OA\displaystyle \mathrm{OA}와 수직이다. 선분 B0C0\displaystyle \mathrm{B}{}_{0}\mathrm{C}_{0}와 선분 OA\displaystyle \mathrm{OA}의 교점을 A1\displaystyle \mathrm{A}_{1}이라 하자. 점 A1\displaystyle \mathrm{A}_{1}을 지나면서 선분 A0B0\displaystyle \mathrm{A}_{0} \mathrm{B}_{0}와 평행한 직선과 선분 OB\displaystyle \mathrm{OB}의 교점을 B1\displaystyle \mathrm{B}_{1}이라 하자. 점 B1\displaystyle \mathrm{B}_{1}을 지나면서 선분 B0C0\displaystyle \mathrm{B}{}_{0}\mathrm{C}_{0}와 평행한 직선과 선분 OC\displaystyle \mathrm{OC}의 교점을 C1\displaystyle \mathrm{C}_{1}이라 하자. 그러면 삼각형 A1B1C1\displaystyle \mathrm{A}_{1} \mathrm{B}{}_{1}\mathrm{C}_{1}은 삼각형 A0B0C0\displaystyle \mathrm{A}_{0} \mathrm{B}{}_{0}\mathrm{C}_{0}와 닮은 삼각형이 된다. 같은 방법으로 삼각형 A1B1C1\displaystyle \mathrm{A}_{1} \mathrm{B}{}_{1}\mathrm{C}_{1}을 이용하여 닮은 삼각형 A2B2C2\displaystyle \mathrm{A}_{2} \mathrm{B}{}_{2}\mathrm{C}_{2}를 그린다. 이와 같은 과정을 계속 반복하여 닮은 삼각형 A3B3C3\displaystyle \mathrm{A}_{3} \mathrm{B}{}_{3}\mathrm{C}_{3}, A4B4C4\displaystyle \mathrm{A}_{4} \mathrm{B}{}_{4}\mathrm{C}_{4}, A5B5C5\displaystyle \mathrm{A}_{5} \mathrm{B}{}_{5}\mathrm{C}_{5}, ⋯\displaystyle \cdots를 계속 그릴 수 있다. 이때 삼각형 AkBkCk\displaystyle \mathrm{A}_{k} B{}_{k}\mathrm{C}_{k}의 넓이를 Sk\displaystyle S_{k}, 둘레의 길이를 Lk\displaystyle L_{k}라고 하자.

각의 이등분선을 따라 반복하여 그린 닮은 삼각형들

(1) 각 BOC\displaystyle \mathrm{BOC}의 크기가 60∘\displaystyle 60 ^{\circ}이고, 삼각형 A0B0C0\displaystyle \mathrm{A}_{0} \mathrm{B}{}_{0}\mathrm{C}_{0}가 한 변의 길이가 a\displaystyle a인 정삼각형일 때, S4\displaystyle S_{4}와 L4\displaystyle L_{4}을 구하고, 그 과정을 논술하시오. (12점)

(2) 각 BOC\displaystyle \mathrm{BOC}의 크기가 90∘\displaystyle 90 ^{\circ}이고, 삼각형 A0B0C0\displaystyle \mathrm{A}_{0} \mathrm{B}{}_{0}\mathrm{C}_{0}가 B0C0‾\displaystyle \overline{\mathrm{B}{}_{0}\mathrm{C}_{0}}=4b\displaystyle = 4 b, A0A1‾=3b\displaystyle \overline{\mathrm{A}_{0} \mathrm{A}_{1}} = 3 b인 이등변삼각형일 때, ∑k=0∞Sk\displaystyle \sum_{k = 0}^{\infty} S_{k}의 값을 구하고, 그 과정을 논술하시오. (15점)

(3) 각 BOC\displaystyle \mathrm{BOC}의 크기가 2θ\displaystyle 2 \theta이고, 삼각형 A0B0C0\displaystyle \mathrm{A}_{0} \mathrm{B}{}_{0}\mathrm{C}_{0}가 B0C0‾=4\displaystyle \overline{\mathrm{B}{}_{0}\mathrm{C}_{0}} = 4, A0A1‾=3\displaystyle \overline{\mathrm{A}_{0} \mathrm{A}_{1}} = 3인 이등변삼각형일 때, ∑k=0∞Lk\displaystyle \sum_{k = 0}^{\infty} L_{k}를 θ\displaystyle \theta의 식으로 나타내고, 그 근거를 서술하시오. (18점)

(4) (3)에서 구한 ∑k=0∞Lk\displaystyle \sum_{k = 0}^{\infty} L_{k}를 이용하여 함수 f(θ)=6sin⁡θ2+13(∑k=0∞Lk)\displaystyle f ( \theta ) = \frac{{6 \sin \theta}}{2 + \sqrt{13}} \left( \sum_{k = 0}^{\infty} L_{k} \right)를 정의하자. 30∘≤θ≤60∘\displaystyle 30 ^{\circ} \le \theta \le 60 ^{\circ}일 때, f(θ)\displaystyle f ( \theta )의 최댓값과 최솟값을 구하고, 그 근거를 서술하시오. (15점)

해설강의 준비중

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(1)

선분 B0C0\displaystyle \mathrm{B}{}_{0}\mathrm{C}_{0}와 B1C1\displaystyle \mathrm{B}{}_{1}\mathrm{C}_{1}가 서로 평행이고, 선분 OA\displaystyle \mathrm{OA}와 수직이므로 삼각형 OB0C0\displaystyle \mathrm{OB}{}_{0}\mathrm{C}_{0}와 OB1C1\displaystyle \mathrm{OB}{}_{1}\mathrm{C}_{1}도 서로 닮은 이등변삼각형이다.따라서 B0C0‾:B1C1‾=OA‾1:OA‾2\displaystyle \overline{\mathrm{B}{}_{0}\mathrm{C}_{0}} : \overline{\mathrm{B}{}_{1}\mathrm{C}_{1}} = {\overline{\mathrm{OA}}_{1} : \overline{\mathrm{OA}}_{2}}.∠BOC=60∘\displaystyle \angle \mathrm{BOC} = 60 ^{\circ}이므로 삼각형 OB0C0\displaystyle \mathrm{OB}{}_{0}\mathrm{C}_{0}와 OB1C1\displaystyle \mathrm{OB}{}_{1}\mathrm{C}_{1} 모두 정삼각형이다.따라서 삼각형 A1B1C1\displaystyle \mathrm{A}_{1} \mathrm{B}{}_{1}\mathrm{C}_{1}과 OB1C1\displaystyle \mathrm{OB}{}_{1}\mathrm{C}_{1}은 합동인 정삼각형이다.따라서 OA‾1=2OA‾2\displaystyle \overline{\mathrm{OA}}_{1} = 2 \overline{\mathrm{OA}}_{2}.그러므로 B1C1‾=12B0C0‾\displaystyle \overline{\mathrm{B}{}_{1}\mathrm{C}_{1}} = \frac{1}{2} \overline{\mathrm{B}{}_{0}\mathrm{C}_{0}}.같은 방법을 이용하면 Bk+1Ck+1‾=12BkCk‾\displaystyle \overline{\mathrm{B}{}_{k + 1}\mathrm{C}_{k + 1}} = \frac{1}{2} \overline{\mathrm{B}{}_{k}\mathrm{C}_{k}}이다.B0C0‾=a\displaystyle \overline{\mathrm{B}{}_{0}\mathrm{C}_{0}} = a이므로 BkCk‾=a(12)k=a2k\displaystyle \overline{\mathrm{B}{}_{k}\mathrm{C}_{k}} = a \left( \frac{1}{2} \right)^{k} = \frac{a}{2^{k}}.한 변의 길이가 x\displaystyle x인 정삼각형의 넓이는 3x24\displaystyle \frac{{\sqrt{3} x^{2}}}{4}이고, 둘레의 길이는 3x\displaystyle 3 x이므로,S4=34(a24)2=3a21024\displaystyle S_4=\frac{\sqrt3}4\left(\frac a{2^4}\right)^2=\frac{\sqrt3a^2}{1024}이고, L4=3×a24=3a16\displaystyle L_4=3\times\frac a{2^4}=\frac{3a}{16}.

(2)

삼각형 A0B0C0\displaystyle \mathrm{A}_{0} \mathrm{B}{}_{0}\mathrm{C}_{0}와 A1B1C1\displaystyle \mathrm{A}_{1} \mathrm{B}{}_{1}\mathrm{C}_{1}가 서로 닮은 삼각형이므로 B0C0‾:B1C1‾=A0A1‾:A1A2‾\displaystyle \overline{\mathrm{B}{}_{0}\mathrm{C}_{0}} : \overline{\mathrm{B}{}_{1}\mathrm{C}_{1}} = \overline{\mathrm{A}_{0} \mathrm{A}_{1}} : \overline{\mathrm{A}_{1} \mathrm{A}_{2}}.∠BOA=45∘\displaystyle \angle \mathrm{BOA} = 45 ^{\circ}이므로 B0A1‾=OA‾1\displaystyle \overline{\mathrm{B}_{0} \mathrm{A}_{1}} = \overline{\mathrm{OA}}_{1} {}, B1A2‾=OA‾2\displaystyle \overline{\mathrm{B}_{1} \mathrm{A}_{2}} = \overline{\mathrm{OA}}_{2}.따라서 B1A2‾=x\displaystyle \overline{\mathrm{B}_{1} \mathrm{A}_{2}} = x라고 하면 A1A2‾=3x2\displaystyle \overline{\mathrm{A}_{1} \mathrm{A}_{2}} = 3 \frac{x}{2}이므로OA‾2=x\displaystyle \overline{\mathrm{OA}}_{2} = x, OA‾1=OA‾2+A1A2‾\displaystyle \overline{\mathrm{OA}}_{1} = \overline{\mathrm{OA}}_{2} + \overline{\mathrm{A}_{1} \mathrm{A}_{2}}=x+3x2=5x2\displaystyle = x + 3 \frac{x}{2} = 5 \frac{x}{2}.(1)에서와 마찬가지로 삼각형 OB0C0\displaystyle \mathrm{OB}{}_{0}\mathrm{C}_{0}와 OB1C1\displaystyle \mathrm{OB}{}_{1}\mathrm{C}_{1}가 서로 닮은 이등변삼각형이다.B0C0‾:B1C1‾=OA1‾:OA2‾\displaystyle \overline{\mathrm{B}{}_{0}\mathrm{C}_{0}} : \overline{\mathrm{B}{}_{1}\mathrm{C}_{1}} = \overline{\mathrm{OA}_{1}} : \overline{\mathrm{OA}_{2}}=5x2:x=5:2\displaystyle = 5 \frac{x}{2} : x = 5 : 2이므로 B1C1‾=25B0C0‾\displaystyle \overline{\mathrm{B}{}_{1}\mathrm{C}_{1}} = \frac{2}{5} \overline{\mathrm{B}{}_{0}\mathrm{C}_{0}}.같은 방법을 이용하면 Bk+1Ck+1‾=25BkCk‾\displaystyle \overline{\mathrm{B}{}_{k + 1}\mathrm{C}_{k + 1}} = \frac{2}{5} \overline{\mathrm{B}{}_{k}\mathrm{C}_{k}}이다.B0C0‾=4b\displaystyle \overline{\mathrm{B}{}_{0}\mathrm{C}_{0}} = 4 b이므로 BkCk‾\displaystyle \overline{\mathrm{B}{}_{k}\mathrm{C}_{k}}=4b(25)k\displaystyle = 4 b \left( \frac{2}{5} \right)^{k}.따라서 Sk=12×4b(25)k×3b(25)k=6b2(425)k\displaystyle S_{k} = \frac{1}{2} \times 4 b \left( \frac{2}{5} \right)^{k} \times 3 b \left( \frac{2}{5} \right)^{k} = 6 b^{2} \left( \frac{4}{25} \right)^{k}이므로 ∑k=0∞Sk=6b21−425=50b27\displaystyle \sum_{k = 0}^{\infty} S_{k} = 6 \frac{b^{2}}{1 - \frac{4}{25}} = 50 \frac{b^{2}}{7}.

(3)

B0A1‾=2\displaystyle \overline{B_0A_1}=2이고 ∠BOA=θ\displaystyle \angle BOA=\theta이므로 OA1‾=2tan⁡θ\displaystyle \overline{OA_1}=\frac2{\tan\theta}.B1A2‾=x\displaystyle \overline{B_1A_2}=x라고 하면 OA2‾=xtan⁡θ\displaystyle \overline{OA_2}=\frac x{\tan\theta}이고 A1A2‾=3x2\displaystyle \overline{A_1A_2}=\frac{3x}2.따라서 2tan⁡θ=xtan⁡θ+3x2\displaystyle \frac2{\tan\theta}=\frac x{\tan\theta}+\frac{3x}2이므로 x=42+3tan⁡θ\displaystyle x=\frac4{2+3\tan\theta}.(1), (2)에서와 마찬가지로 삼각형 OB0C0\displaystyle \mathrm{OB}{}_{0}\mathrm{C}_{0}와 OB1C1\displaystyle \mathrm{OB}{}_{1}\mathrm{C}_{1}가 서로 닮은 이등변삼각형이다.B0C0‾:B1C1‾=B0A1‾:B1A2‾\displaystyle \overline{\mathrm{B}{}_{0}\mathrm{C}_{0}} : \overline{\mathrm{B}{}_{1}\mathrm{C}_{1}} = \overline{\mathrm{B}_{0} \mathrm{A}_{1}} : \overline{\mathrm{B}_{1} \mathrm{A}_{2}}=2:x=2:42+3tan⁡θ\displaystyle = 2 : x = 2 : \frac{4}{2 + 3 \tan \theta}이므로 B1C1‾=22+3tan⁡θB0C0‾\displaystyle \overline{\mathrm{B}{}_{1}\mathrm{C}_{1}} = \frac{2}{2 + 3 \tan \theta} \overline{\mathrm{B}{}_{0}\mathrm{C}_{0}}.같은 방법을 이용하면 Bk+1Ck+1‾=22+3tan⁡θBkCk‾\displaystyle \overline{\mathrm{B}{}_{k + 1}\mathrm{C}_{k + 1}} = \frac{2}{2 + 3 \tan \theta} \overline{\mathrm{B}{}_{k}\mathrm{C}_{k}}이고 B0C0‾=4\displaystyle \overline{\mathrm{B}{}_{0}\mathrm{C}_{0}} = 4이므로BkCk‾=4(22+3tan⁡θ)k\displaystyle \overline{\mathrm{B}{}_{k}\mathrm{C}_{k}} = 4 \left( \frac{2}{2 + 3 \tan \theta} \right)^{k}.따라서 Lk=(1+134+134)BkCk‾=(4+213)(22+3tan⁡θ)k\displaystyle L_k=\left(1+\frac{\sqrt{13}}4+\frac{\sqrt{13}}4\right)\overline{B_kC_k}=(4+2\sqrt{13})\left(\frac2{2+3\tan\theta}\right)^k이므로∑k=0∞Lk=4+2131−22+3tan⁡θ=(4+213)(2+3tan⁡θ)3tan⁡θ\displaystyle \sum_{k = 0}^{\infty} L_{k} = \frac{{4 + 2 \sqrt{13}}}{1 - \frac{2}{2 + 3 \tan \theta}} = \frac{{( 4 + 2 \sqrt{13} ) ( 2 + 3 \tan \theta )}}{3 \tan \theta}.

(4)

f(θ)=6sin⁡θ2+13(4+213)(2+3tan⁡θ)3tan⁡θ=(8+12tan⁡θ)cos⁡θ\displaystyle f ( \theta ) = \frac{{6 \sin \theta}}{2 + \sqrt{13}} \frac{{( 4 + 2 \sqrt{13} ) ( 2 + 3 \tan \theta )}}{3 \tan \theta} = ( 8 + 12 \tan \theta ) \cos \theta=8cos⁡θ+12sin⁡θ\displaystyle = 8 \cos \theta + 12 \sin \thetaf′(θ)=−8sin⁡θ+12cos⁡θ=4cos⁡θ(3−2tan⁡θ)\displaystyle f^{\prime} ( \theta ) = - 8 \sin \theta + 12 \cos \theta = 4 \cos \theta ( 3 - 2 \tan \theta ).30∘≤θ≤60∘\displaystyle 30 ^{\circ} \le \theta \le 60 ^{\circ}일 때, 13≤tan⁡θ≤3\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} \le \tan \theta \le \sqrt{3}이므로, 이 구간에 tan⁡θ=32\displaystyle \tan \theta = \frac{3}{2}인 θ\displaystyle \theta가 존재한다.13≤tan⁡θ<32\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} \le \tan \theta < \frac{3}{2}일 때 f′(θ)>0\displaystyle f^{\prime} ( \theta ) > 0이고, 32<tan⁡θ≤3\displaystyle \frac{3}{2} < \tan \theta \le \sqrt{3}일 때 f′(θ)<0\displaystyle f^{\prime} ( \theta ) < 0이므로,tan⁡θ=32\displaystyle \tan \theta = \frac{3}{2}인 θ\displaystyle \theta에서 f(θ)\displaystyle f ( \theta )는 최대가 된다.tan⁡θ=32\displaystyle \tan \theta = \frac{3}{2}이고 30∘≤θ≤60∘\displaystyle 30 ^{\circ} \le \theta \le 60 ^{\circ}이므로, sin⁡θ=313\displaystyle \sin \theta = \frac{3}{\sqrt{13}}, cos⁡θ=213\displaystyle \cos \theta = \frac{2}{\sqrt{13}}.따라서 f(θ)\displaystyle f ( \theta )는 tan⁡θ=32\displaystyle \tan \theta = \frac{3}{2}일 때 최댓값 5213=413\displaystyle \frac{52}{\sqrt{13}} = 4 \sqrt{13}을 가진다.f(θ)\displaystyle f ( \theta )는 θ=30∘\displaystyle \theta = 30 ^{\circ}일 때 4(3+32)\displaystyle 4 \left( \sqrt{3} + \frac{3}{2} \right)이고, θ=60∘\displaystyle \theta = 60 ^{\circ}일 때 4(1+332)\displaystyle 4 \left( 1 + \frac{{3 \sqrt{3}}}{2} \right)인데,3+32<332+1\displaystyle \sqrt{3} + \frac{3}{2} < \frac{{3 \sqrt{3}}}{2} + 1이므로,f(θ)\displaystyle f ( \theta )는 θ=30∘\displaystyle \theta = 30 ^{\circ}일 때 최솟값 4(3+32)=43+6\displaystyle 4 \left( \sqrt{3} + \frac{3}{2} \right) = 4 \sqrt{3} + 6을 가진다.

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