의학계 1번

I-1. 원의 중심 $\displaystyle \mathrm{O}$를 좌표평면의 원점으로 하고 아래 그림에서처럼 물의 수면이 $\displaystyle y$축과 평행하다고 하자.

도형 $\displaystyle S$는 반지름의 길이가 $\displaystyle r$인 원과 두 직선 $\displaystyle x=-r$, $\displaystyle x=h$로 둘러싸인 도형 $\displaystyle S^{\prime}$에서 반지름의 길이가 $\displaystyle h$인 원을 제외하여 얻어진다. <제시문 [바]>를 활용하면 반지름의 길이가 $\displaystyle r$인 원의 위 곡선과 아래 곡선의 식은 각각 $\displaystyle y=\sqrt{r^2-x^2}$과 $\displaystyle y=-\sqrt{r^2-x^2}$이므로, <제시문 [가]>를 활용하면 도형 $\displaystyle S^{\prime}$의 넓이는 $\displaystyle \int_{-r}^h2\sqrt{r^2-x^2}\,dx$가 된다. 도형 $\displaystyle S$의 넓이 $\displaystyle A$는 $\displaystyle S^{\prime}$의 넓이에서 반지름의 길이가 $\displaystyle h$인 원의 넓이 $\displaystyle \pi h^2$을 뺀 것이므로,$\displaystyle A=\int_{-r}^h2\sqrt{r^2-x^2}\,dx-\pi h^2=-\pi h^2+2\int_{-r}^h\sqrt{r^2-x^2}\,dx$.

Ⅰ-2. 도형 $\displaystyle S$의 넓이 $\displaystyle A$를 $\displaystyle h$에 대하여 미분하면$\displaystyle \frac{dA}{dh}=\frac d{dh}\left(-\pi h^2+2\int_{-r}^h\sqrt{r^2-x^2}\,dx\right)$$\displaystyle =-2\pi h+2\frac d{dh}\int_{-r}^h\sqrt{r^2-x^2}\,dx$이고, <제시문 [다]>를 활용하면$\displaystyle \frac{dA}{dh}=-2\pi h+2\sqrt{r^2-h^2}$이다.극값을 구하기 위한 식 $\displaystyle \frac{dA}{dh}=0$의 해는 $\displaystyle h=\pm\frac r{\sqrt{1+\pi^2}}$이고, $\displaystyle h\ge0$이므로 $\displaystyle h=\frac r{\sqrt{1+\pi^2}}$이다. 만약 $\displaystyle 0\le h<\frac r{\sqrt{1+\pi^2}}$이면 $\displaystyle \frac{dA}{dh}=-2\pi h+2\sqrt{r^2-h^2}>0$이고, $\displaystyle \frac r{\sqrt{1+\pi^2}}<h\le r$이면 $\displaystyle \frac{dA}{dh}<0$이 되므로, <제시문 [라]>를 활용하면 $\displaystyle A$는 $\displaystyle h=\frac r{\sqrt{1+\pi^2}}$에서 극댓값을 가진다.$\displaystyle h$에 대한 $\displaystyle A$는 닫힌 구간 $\displaystyle [ 0 , r ]$에서 극값을 유일하게 극댓값 하나만 가지므로 <제시문 [마]>를 활용하면 $\displaystyle A$의 그래프는 아래 그림과 같고 $\displaystyle A$는 $\displaystyle h = \frac{r}{\sqrt{1 + \pi^{2}}}$에서 최댓값을 가진다.

Ⅰ-3. 입체도형 $\displaystyle P$는 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $\displaystyle r$인 구가 평면 $\displaystyle x = h$에 의하여 잘려진 두 부분 중 큰 부분인 입체도형 $\displaystyle P^{\prime}$에서 반지름의 길이가 $\displaystyle h$인 구를 제외하여 얻어진다.

위 그림에서처럼 입체도형 $\displaystyle P^{\prime}$가 평면 $\displaystyle x = t$에 의하여 잘려진 단면 $\displaystyle S ( t )$는 반지름의 길이가 $\displaystyle \sqrt{r^{2} - t^{2}}$인 원이므로, 그 넓이는 $\displaystyle \pi ( r^{2} - t^{2} )$이다. <제시문 [가]>를 활용하면 $\displaystyle P^{\prime}$의 부피는Correction. 부피를 구하는 데 사용한 공식은 제시문 [가]가 아니라 [나]에 있다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle \int_{-r}^h\pi(r^2-t^2)\,dt=\Biggl[\pi(r^2t-t^3/3)\Biggr]_{t=-r}^{t=h}=\pi\left(-\frac{h^3}3+r^2h+\frac{2r^3}3\right)$이다. $\displaystyle P$의 부피는 $\displaystyle P^{\prime}$의 부피에서 반지름의 길이가 $\displaystyle h$인 구의 부피를 뺀 것이므로 $\displaystyle V = \pi \left( - 5 \frac{h^{3}}{3} + r^{2} h + 2 \frac{r^{3}}{3} \right)$이다.

Ⅰ-4. $\displaystyle V$를 $\displaystyle h$에 대하여 미분하면 $\displaystyle \frac{dV}{dh} = \pi ( - 5 h^{2} + r^{2} )$이고, 식 $\displaystyle \frac{dV}{dh} = 0$의 해는 $\displaystyle h = \pm \frac{r}{\sqrt{5}}$이다. $\displaystyle h \ge 0$이므로 $\displaystyle h = \frac{r}{\sqrt{5}}$이 해가 된다. 만약 $\displaystyle 0 \le h < \frac{r}{\sqrt{5}}$이면 $\displaystyle \frac{dV}{dh} > 0$이고, $\displaystyle \frac{r}{\sqrt{5}} < h \le r$이면 $\displaystyle \frac{dV}{dh} < 0$이므로 <제시문[라]>를 활용하면 $\displaystyle V$는 $\displaystyle h = \frac{r}{\sqrt{5}}$에서 극댓값을 가진다. 논제 Ⅰ-2의 답안에서처럼 닫힌 구간 $\displaystyle [ 0 , r ]$에서 $\displaystyle V$가 극댓값만 유일하게 가지므로, <제시문 [마]>를 활용하여 아래와 같이 그래프를 살펴보면 $\displaystyle V$가 $\displaystyle h = \frac{r}{\sqrt{5}}$에서 최댓값 $\displaystyle V = \frac{{10 + 2 \sqrt{5}}}{15} \pi r^{3}$를 가진다.