수리논술, 이게 다다.

의학계 1번

오류 제보

경희대 2018학년도 온라인 모의 의학계 1번 · mathesis.kr/archive/khu/2018mo_online/uihak_1

이전 문제
배점60점
예상 소요 시간60분
다음 문제

문제

[가] 일반적으로 수열 {an}\displaystyle \left\{ a_{n} \right\}에서 n\displaystyle n이 한없이 커질 때, 일반항 an\displaystyle a_{n}의 값이 일정한 값 α\displaystyle \alpha에 한없이 가까워지면, 수열 {an}\displaystyle \left\{ a_{n} \right\}은 α\displaystyle \alpha에 수렴한다고 한다. 이때 α\displaystyle \alpha를 수열 {an}\displaystyle \left\{ a_{n} \right\}의 극한값 또는 극한이라고 하며, 이것을 기호로

lim⁡n→∞an=α\displaystyle \lim_{n \to \infty} {a_{n}} = \alpha 또는 n→∞\displaystyle n \to \infty일 때 an→α\displaystyle a_{n} \to \alpha

와 같이 나나낸다. 여기서 ∞\displaystyle \infty는 한없이 커지는 상태를 나타내는 기호로 무한대라고 읽는다.

어떤 수열이 수렴하지 않을 때, 그 수열은 발산한다고 한다.

[나] 수열 {an}\displaystyle \left\{ a_{n} \right\}의 각 항을 차례로 덧셈 기호 +\displaystyle +를 사용하여 연결한 식

a1+a2+a3+⋯+an+⋯\displaystyle a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdots + a_{n} + \cdots

을 급수라고 하며, 이것을 기호 ∑\displaystyle \sum를 사용하여 ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}과 같이 나타낸다. 급수 ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}에서 첫째항부터 제n\displaystyle n항까지의 합 Sn\displaystyle S_{n}, 즉

Sn=a1+a2+a3+⋯+an=∑k=1nak\displaystyle S_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdots + a_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}

를 이 급수의 제n\displaystyle n항까지의 부분합이라고 한다. 이 부분합으로 이루어진 수열 {Sn}\displaystyle \left\{ S_{n} \right\}이 일정한 값 S\displaystyle S에 수렴할 때, 즉 lim⁡n→∞Sn=lim⁡n→∞∑k=1nak=S\displaystyle \lim_{n \to \infty} {S_{n}} = \lim_{n \to \infty} {\sum_{k = 1}^{n}} a_{k} = S일 때, 이 급수 ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}는 S\displaystyle S에 수렴한다고 한다. 이때 S\displaystyle S를 급수의 합이라 하고, 기호로

a1+a2+a3+⋯+an+⋯=S\displaystyle a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdots + a_{n} + \cdots = S 또는 ∑n=1∞an=S\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = S

와 같이 나타낸다. 한편, 급수 ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}의 부분합으로 이루어진 수열 {Sn}\displaystyle \left\{ S_{n} \right\}이 발산할 때, 이 급수는 발산한다고 한다.

[다] 등비수열의 첫째항부터 제n\displaystyle n항까지의 합을 구해 보자. 첫째항이 a\displaystyle a, 공비가 r\displaystyle r인 등비수열의 첫째항부터 제n\displaystyle n항까지의 합을 Sn\displaystyle S_{n}이라고 하면

Sn=a+ar+ar2+⋯+arn−2+arn−1\displaystyle S_{n} = a + a r + a r^{2} + \cdots + a r^{n - 2} + a r^{n - 1} ………… (1)

이고, 양변에 r\displaystyle r을 곱하면

rSn=ar+ar2+ar3+⋯+arn−1+arn\displaystyle r S_{n} = a r + a r^{2} + a r^{3} + \cdots + a r^{n - 1} + a r^{n} ………… (2)

이다. (1)에서 (2)를 변끼리 빼면

(1−r)Sn=a−arn=a(1−rn)\displaystyle ( 1 - r ) S_{n} = a - a r^{n} = a ( 1 - r^{n} )

이므로 Sn\displaystyle S_{n}은 다음과 같다.

r≠1\displaystyle r \ne 1일 때, Sn=a(1−rn)1−r=a(rn−1)r−1\displaystyle S_{n} = \frac{{a ( 1 - r^{n} )}}{1 - r} = \frac{{a ( r^{n} - 1 )}}{r - 1}

r=1\displaystyle r = 1일 때, (1)에서 Sn=a+a+a+⋯+a⏟n개=na\displaystyle S_{n} = \underbrace{a+a+a+\cdots+a}_{n\text{개}} = n a

직각삼각형 OPₙQₙ으로 이루어진 수열의 도형

[그림 1]과 같이 선분 OP1\displaystyle OP_{1}의 길이 OP1‾\displaystyle {\overline{OP_{1}}}는 1이고, 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 ∠OPnQn\displaystyle \angle OP_{n} Q_{n}은 직각이고, 점 Pn+1\displaystyle P_{n + 1}은 선분 OQn\displaystyle OQ_{n}에 놓여 있는 좌표평면의 점 Pn\displaystyle P_{n}과 점 Qn\displaystyle Q_{n}을 생각하자. (단, n≥1\displaystyle n \geq 1) 여기서, 기호의 편의를 위하여, ∠PnOQn=θn\displaystyle \angle P_{n} OQ_{n} = \theta_{n}, OPn+1‾/OQn‾=αn\displaystyle {\overline{OP_{n + 1}}} / {\overline{OQ_{n}}} = \alpha_{n}, OPn‾=pn\displaystyle {\overline{OP_{n}}} = p_{n}, OQn‾=qn\displaystyle {\overline{OQ_{n}}} = q_{n}, PnQn‾=tn\displaystyle {\overline{P_{n} Q_{n}}} = t_{n}이라고 표시하자.

[논제 I-1] θn\displaystyle \theta_{n}이 모두 상수 θ\displaystyle \theta로 일정하고 αn\displaystyle \alpha_{n}도 모두 상수 α\displaystyle \alpha로 일정할 때, pn\displaystyle p_{n}을 θ\displaystyle \theta, α\displaystyle \alpha, n\displaystyle n에 대한 식으로 나타내고, 그 근거를 논술하시오. (단, 0<θ<π2\displaystyle 0 < \theta < \frac{{\pi}}{2}, 0<α\displaystyle 0 < \alpha) (5점)

[논제 I-2] 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 αn=nn+1\displaystyle \alpha_{n} = \frac{{n}}{n + 1}이고 tn=n2−(n−1)2n\displaystyle t_{n} = \frac{{\sqrt{n^{2} - ( n - 1 )^{2}}}}{n}일 때, sin⁡2θn\displaystyle \sin^{2} \theta_{n}을 n\displaystyle n에 대한 식으로 나타내시오. 또한 lim⁡n→∞sin⁡2θn\displaystyle \lim_{n \to \infty} {\sin^{2} \theta_{n}}의 수렴, 발산을 조사하고, 수렴하면 그 값을 구하고, 그 근거를 논술하시오. (20점)

[논제 I-3] 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 αn\displaystyle \alpha_{n}이 상수 a\displaystyle \sqrt{a}로 일정하고, 어떤 상수 r\displaystyle r에 대하여 tn\displaystyle t_{n}이 rn\displaystyle \sqrt{r^{n}}일 때, pn2\displaystyle p_{n}^{2}을 n\displaystyle n에 대한 식으로 나타내고, 그 근거를 논술하시오. (단, r>0\displaystyle r > 0, a>0\displaystyle a > 0) (20점)

[논제 I-4] [논제 I-3]에서 구한 식을 이용하여 lim⁡n→∞sin⁡2θn\displaystyle \lim_{n \to \infty} {\sin^{2} \theta_{n}}이 수렴하는 a\displaystyle a와 r\displaystyle r의 범위를 구하고, 그 근거를 논술하시오. (15점)

해설강의 준비중

경희대 2018학년도 온라인 모의 의학계 1번 · mathesis.kr/archive/khu/2018mo_online/uihak_1

I-1. 아래 그림과 같은 직각삼각형 △PnOQn\displaystyle \triangle P_{n} OQ_{n}에서 다음의 식을 알 수 있다.

OPₙQₙ과 선분 OQₙ 위의 점 Pₙ₊₁

OQn‾2=OPn‾2+PnQn‾2 ,즉qn2=pn2+tn2OPn+1‾=αnOQn‾ ,즉pn+1=αnqnOPn+1‾2=αn2OPn‾2+αn2PnQn‾2 ,즉pn+12=(αnpn)2+(αntn)2\displaystyle \begin{aligned}{\overline{OQ_{n}}}^{2} &= {\overline{OP_{n}}}^{2} + {\overline{P_{n} Q_{n}}}^{2}\,,\quad\text{즉}\quad q_{n}^{2} = p_{n}^{2} + t_{n}^{2} \\ \\ {\overline{OP_{n + 1}}} &= \alpha_{n} {\overline{OQ_{n}}}\,,\quad\text{즉}\quad p_{n + 1} = \alpha_{n} q_{n} \\ \\ {\overline{OP_{n + 1}}}^{2} &= \alpha_{n}^{2} {\overline{OP_{n}}}^{2} + \alpha_{n}^{2} {\overline{P_{n} Q_{n}}}^{2}\,,\quad\text{즉}\quad p_{n + 1}^{2} = \left( \alpha_{n} p_{n} \right)^{2} + \left( \alpha_{n} t_{n} \right)^{2}\end{aligned}

∠PnOQn=θ\displaystyle \angle P_{n} OQ_{n} = \theta이므로 qn=pncos⁡θ\displaystyle q_{n} = \frac{{p_{n}}}{\cos \theta}이다. 한편, αn=α\displaystyle \alpha_{n} = \alpha이므로, pn+1=αqn=(αcos⁡θ)pn\displaystyle p_{n + 1} = \alpha q_{n} = \left( \frac{{\alpha}}{\cos \theta} \right) p_{n}이 되어 pn\displaystyle p_{n}이 공비 αcos⁡θ\displaystyle \frac{{\alpha}}{\cos \theta}이고 첫째항이 p1=OP1‾=1\displaystyle p_{1} = {\overline{OP_{1}}} = 1인 등비수열임을 알 수 있다. 이 등비수열의 일반항은 pn=(αcos⁡θ)n−1\displaystyle p_{n} = \left( \frac{{\alpha}}{\cos \theta} \right)^{n - 1}이다.

I-2. 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 αn=nn+1\displaystyle \alpha_{n} = \frac{{n}}{n + 1}이고 tn=n2−(n−1)2n\displaystyle t_{n} = \frac{{\sqrt{n^{2} - ( n - 1 )^{2}}}}{n}이므로, 식 pn+12=(αnpn)2+(αntn)2\displaystyle p_{n + 1}^{2} = \left( \alpha_{n} p_{n} \right)^{2} + \left( \alpha_{n} t_{n} \right)^{2}으로부터 pn+12=(nn+1)2pn2+(nn+1)2−(n−1n+1)2\displaystyle p_{n + 1}^{2} = \left( \frac{{n}}{n + 1} \right)^{2} p_{n}^{2} + \left( \frac{{n}}{n + 1} \right)^{2} - \left( \frac{{n - 1}}{n + 1} \right)^{2}을 얻는다. 이 항등식으로부터 pn+12\displaystyle p_{n + 1}^{2}을 구하는 것은 다음과 같은 두 가지 방법이 있다.

[방법 1] 이 식의 양변에 (n+1)2\displaystyle ( n + 1 )^{2}을 곱하고 n2\displaystyle n^{2}을 오른쪽으로 이항하면,

(n+1)2pn+12−n2=n2pn2−(n−1)2\displaystyle ( n + 1 )^{2} p_{n + 1}^{2} - n^{2} = n^{2} p_{n}^{2} - ( n - 1 )^{2}

을 얻는다. 이 항등식은 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 성립하므로, 수열 (n+1)2pn+12−n2\displaystyle ( n + 1 )^{2} p_{n + 1}^{2} - n^{2}은 n\displaystyle n에 상관없이 값이 일정함을 알 수 있다. 특히 n=1\displaystyle n = 1일 때의 값과 같아지게 되므로

(n+1)2pn+12−n2=12p12−(1−1)2=1\displaystyle ( n + 1 )^{2} p_{n + 1}^{2} - n^{2} = 1^{2} p_{1}^{2} - ( 1 - 1 )^{2} = 1.

이를 정리하여 pn+12=n2+1(n+1)2\displaystyle p_{n + 1}^{2} = \frac{{n^{2} + 1}}{( n + 1 )^{2}}을 구할 수 있다.

이렇게 구한 pn+12\displaystyle p_{n + 1}^{2}을 이용하여 qn2=1αn2pn+12=n2+1n2\displaystyle q_{n}^{2} = \frac{{1}}{\alpha_{n}^{2}} p_{n + 1}^{2} = \frac{{n^{2} + 1}}{n^{2}}이고, sin⁡2θn=tn2qn2=2n−1n2+1\displaystyle \sin^{2} \theta_{n} = \frac{{t_{n}^{2}}}{q_{n}^{2}} = \frac{{2 n - 1}}{n^{2} + 1}을 구할 수 있다. n→∞\displaystyle n \to \infty일 때, 그 극한은 lim⁡n→∞sin⁡2θn=lim⁡n→∞2n−1n21n2+1=01=0\displaystyle \lim_{n \to \infty} {\sin^{2} \theta_{n}} = \lim_{n \to \infty} {\frac{{\frac{{2}}{n} - \frac{{1}}{n^{2}}}}{\frac{{1}}{n^{2}} + 1} = \frac{{0}}{1} = 0}으로 수렴한다.

I-3. 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 αn=a\displaystyle \alpha_{n} = \sqrt{a}이고 tn=rn\displaystyle t_{n} = \sqrt{r^{n}}이므로, 식 pn+12=(αnpn)2+(αntn)2\displaystyle p_{n + 1}^{2} = \left( \alpha_{n} p_{n} \right)^{2} + \left( \alpha_{n} t_{n} \right)^{2}으로부터 식 pn+12=apn2+arn\displaystyle p_{n + 1}^{2} = a p_{n}^{2} + a r^{n}을 얻는다. 이를 이용하여 pn2\displaystyle p_{n}^{2}을 구하는 것은 다음과 같은 두 가지 방법이 있다.

[방법 1] 위 항등식에 n\displaystyle n의 값을 1부터 순차적으로 대입하면,

p12=1\displaystyle p_{1}^{2} = 1

p22=a+ar\displaystyle p_{2}^{2} = a + a r

p32=a2+a2r+ar2\displaystyle p_{3}^{2} = a^{2} + a^{2} r + a r^{2}

p42=a3+a3r+a2r2+ar3\displaystyle p_{4}^{2} = a^{3} + a^{3} r + a^{2} r^{2} + a r^{3}

p52=a4+a4r+a3r2+a2r3+ar4\displaystyle p_{5}^{2} = a^{4} + a^{4} r + a^{3} r^{2} + a^{2} r^{3} + a r^{4}

⋮\displaystyle \vdots

pn2=an−1+an−1r+an−2r2+an−3r3+⋯+arn−1\displaystyle p_{n}^{2} = a^{n - 1} + a^{n - 1} r + a^{n - 2} r^{2} + a^{n - 3} r^{3} + \cdots + a r^{n - 1}을 유추할 수 있다.

여기서, an−1r+an−2r2+an−3r3+⋯+arn−1\displaystyle a^{n - 1} r + a^{n - 2} r^{2} + a^{n - 3} r^{3} + \cdots + a r^{n - 1}는 첫째항이 an−1r\displaystyle a^{n - 1} r, 공비 r/a\displaystyle r / a인 등비수열의 n−1\displaystyle n - 1번째 합이므로

pn2={an−1+an−1r((r/a)n−1−1)r/a−1,r/a≠1an−1+an+an+⋯+an⏟n−1개,r/a=1\displaystyle p_{n}^{2} = {\begin{cases}a^{n - 1} + \frac{{a^{n - 1} r \left( ( r / a )^{n - 1} - 1 \right)}}{r / a - 1} , & r / a \ne 1 \\ a^{n - 1} + \underbrace{a^n+a^n+\cdots+a^n}_{n-1\text{개}} , & r / a = 1\end{cases}} ={an−1+arn−anrr−a,r≠aan−1+(n−1)an,r=a\displaystyle = {\begin{cases}a^{n - 1} + \frac{{a r^{n} - a^{n} r}}{r - a} , & r \ne a \\ a^{n - 1} + ( n - 1 ) a^{n} , & r = a\end{cases}}

I-4. [논제 I-3]의 답으로부터, qn2=1apn+12={an−1+rn+1−anrr−a,r≠aan−1(1+an),r=a\displaystyle q_{n}^{2} = \frac{{1}}{a} p_{n + 1}^{2} = {\begin{cases}a^{n - 1} + \frac{{r^{n + 1} - a^{n} r}}{r - a} , & r \ne a \\ a^{n - 1} \left( 1 + a n \right) , & r = a\end{cases}}

sin⁡2θn=tn2qn2={rnan−1+rn+1−anrr−a,r≠arnan−1(1+an),r=a={(r−a)rnan−1(r−a−ar)+rn+1,r≠aa1+an,r=a\displaystyle \sin^{2} \theta_{n} = \frac{{t_{n}^{2}}}{q_{n}^{2}} = {\begin{cases}\frac{{r^{n}}}{a^{n - 1} + \frac{{r^{n + 1} - a^{n} r}}{r - a}} , & r \ne a \\ \frac{{r^{n}}}{a^{n - 1} \left( 1 + a n \right)} , & r = a\end{cases}} = {\begin{cases}\frac{{( r - a ) r^{n}}}{a^{n - 1} ( r - a - a r ) + r^{n + 1}} , & r \ne a \\ \frac{{a}}{1 + a n} , & r = a\end{cases}}

먼저, r=a\displaystyle r = a일 때, 극한 lim⁡n→∞sin⁡2θn=lim⁡n→∞a1+an=0\displaystyle \lim_{n \to \infty} {\sin^{2} \theta_{n}} = \lim_{n \to \infty} {\frac{{a}}{1 + a n}} = 0으로 수렴한다.

r>a\displaystyle r > a일 때, 0<ar<1\displaystyle 0 < \frac{{a}}{r} < 1이고 lim⁡n→∞(ar)n=0\displaystyle \lim_{n \to \infty} {\left( \frac{{a}}{r} \right)^{n}} = 0이다. 이때,

lim⁡n→∞sin⁡2θn=lim⁡n→∞(r−a)r(ar)n−1(r−a−ar)+r2=(r−a)rr2=1−ar\displaystyle \lim_{n \to \infty} {\sin^{2} \theta_{n}} = \lim_{n \to \infty} {\frac{{( r - a ) r}}{\left( \frac{{a}}{r} \right)^{n - 1} ( r - a - a r ) + r^{2}}} = \frac{{( r - a ) r}}{r^{2}} = 1 - \frac{{a}}{r}으로 수렴한다.

r<a\displaystyle r < a일 때, 0<ra<1\displaystyle 0 < \frac{{r}}{a} < 1이고 lim⁡n→∞(ra)n=0\displaystyle \lim_{n \to \infty} {\left( \frac{{r}}{a} \right)^{n}} = 0이므로

lim⁡n→∞sin⁡2θn=lim⁡n→∞(r−a)r(ra)n−1(r−a−ar)+r2(ra)n−1=0r−a−ar=0\displaystyle \lim_{n \to \infty} {\sin^{2} \theta_{n}} = \lim_{n \to \infty} {\frac{{( r - a ) r \left( \frac{{r}}{a} \right)^{n - 1}}}{( r - a - a r ) + r^{2} \left( \frac{{r}}{a} \right)^{n - 1}}} = \frac{{0}}{r - a - a r} = 0으로 수렴한다. 여기서, 분모 r−a−ar\displaystyle r - a - a r는 영이 될 수 없다. 왜냐하면, r<a<(1+r)a\displaystyle r < a < ( 1 + r ) a이므로, r−(1+r)a<0\displaystyle r - ( 1 + r ) a < 0이기 때문이다.

이를 종합하면 lim⁡n→∞sin⁡2θn\displaystyle \lim_{n \to \infty} {\sin^{2} \theta_{n}}는 모든 a>0\displaystyle a > 0, r>0\displaystyle r > 0에 대하여 수렴함을 알 수 있다.Caution. 치환할 때는 새 변수의 범위를 확인해야 한다: Pn+1\displaystyle P_{n+1}은 선분 OQn\displaystyle OQ_n 위의 점이므로 αn=OPn+1‾OQn‾\displaystyle \alpha_n=\frac{\overline{OP_{n+1}}}{\overline{OQ_n}}은 0<αn≤1\displaystyle 0<\alpha_n\le1을 만족한다. 따라서 αn=a\displaystyle \alpha_n=\sqrt a가 가능한 범위는 0<a≤1\displaystyle 0<a\le1이다. a>1\displaystyle a>1에서 점화식을 형식적으로 계산할 수 있더라도 문제의 도형 조건은 만족하지 않는다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.