의학계 1번

I-1. 아래 그림과 같은 직각삼각형 $\displaystyle \triangle P_{n} OQ_{n}$에서 다음의 식을 알 수 있다.

$\displaystyle \begin{aligned}{\overline{OQ_{n}}}^{2} &= {\overline{OP_{n}}}^{2} + {\overline{P_{n} Q_{n}}}^{2}\,,\quad\text{즉}\quad q_{n}^{2} = p_{n}^{2} + t_{n}^{2} \\ \\ {\overline{OP_{n + 1}}} &= \alpha_{n} {\overline{OQ_{n}}}\,,\quad\text{즉}\quad p_{n + 1} = \alpha_{n} q_{n} \\ \\ {\overline{OP_{n + 1}}}^{2} &= \alpha_{n}^{2} {\overline{OP_{n}}}^{2} + \alpha_{n}^{2} {\overline{P_{n} Q_{n}}}^{2}\,,\quad\text{즉}\quad p_{n + 1}^{2} = \left( \alpha_{n} p_{n} \right)^{2} + \left( \alpha_{n} t_{n} \right)^{2}\end{aligned}$

$\displaystyle \angle P_{n} OQ_{n} = \theta$이므로 $\displaystyle q_{n} = \frac{{p_{n}}}{\cos \theta}$이다. 한편, $\displaystyle \alpha_{n} = \alpha$이므로, $\displaystyle p_{n + 1} = \alpha q_{n} = \left( \frac{{\alpha}}{\cos \theta} \right) p_{n}$이 되어 $\displaystyle p_{n}$이 공비 $\displaystyle \frac{{\alpha}}{\cos \theta}$이고 첫째항이 $\displaystyle p_{1} = {\overline{OP_{1}}} = 1$인 등비수열임을 알 수 있다. 이 등비수열의 일반항은 $\displaystyle p_{n} = \left( \frac{{\alpha}}{\cos \theta} \right)^{n - 1}$이다.

I-2. 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle \alpha_{n} = \frac{{n}}{n + 1}$이고 $\displaystyle t_{n} = \frac{{\sqrt{n^{2} - ( n - 1 )^{2}}}}{n}$이므로, 식 $\displaystyle p_{n + 1}^{2} = \left( \alpha_{n} p_{n} \right)^{2} + \left( \alpha_{n} t_{n} \right)^{2}$으로부터 $\displaystyle p_{n + 1}^{2} = \left( \frac{{n}}{n + 1} \right)^{2} p_{n}^{2} + \left( \frac{{n}}{n + 1} \right)^{2} - \left( \frac{{n - 1}}{n + 1} \right)^{2}$을 얻는다. 이 항등식으로부터 $\displaystyle p_{n + 1}^{2}$을 구하는 것은 다음과 같은 두 가지 방법이 있다.

[방법 1] 이 식의 양변에 $\displaystyle ( n + 1 )^{2}$을 곱하고 $\displaystyle n^{2}$을 오른쪽으로 이항하면,

$\displaystyle ( n + 1 )^{2} p_{n + 1}^{2} - n^{2} = n^{2} p_{n}^{2} - ( n - 1 )^{2}$

을 얻는다. 이 항등식은 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 성립하므로, 수열 $\displaystyle ( n + 1 )^{2} p_{n + 1}^{2} - n^{2}$은 $\displaystyle n$에 상관없이 값이 일정함을 알 수 있다. 특히 $\displaystyle n = 1$일 때의 값과 같아지게 되므로

$\displaystyle ( n + 1 )^{2} p_{n + 1}^{2} - n^{2} = 1^{2} p_{1}^{2} - ( 1 - 1 )^{2} = 1$.

이를 정리하여 $\displaystyle p_{n + 1}^{2} = \frac{{n^{2} + 1}}{( n + 1 )^{2}}$을 구할 수 있다.

이렇게 구한 $\displaystyle p_{n + 1}^{2}$을 이용하여 $\displaystyle q_{n}^{2} = \frac{{1}}{\alpha_{n}^{2}} p_{n + 1}^{2} = \frac{{n^{2} + 1}}{n^{2}}$이고, $\displaystyle \sin^{2} \theta_{n} = \frac{{t_{n}^{2}}}{q_{n}^{2}} = \frac{{2 n - 1}}{n^{2} + 1}$을 구할 수 있다. $\displaystyle n \to \infty$일 때, 그 극한은 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} {\sin^{2} \theta_{n}} = \lim_{n \to \infty} {\frac{{\frac{{2}}{n} - \frac{{1}}{n^{2}}}}{\frac{{1}}{n^{2}} + 1} = \frac{{0}}{1} = 0}$으로 수렴한다.

I-3. 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle \alpha_{n} = \sqrt{a}$이고 $\displaystyle t_{n} = \sqrt{r^{n}}$이므로, 식 $\displaystyle p_{n + 1}^{2} = \left( \alpha_{n} p_{n} \right)^{2} + \left( \alpha_{n} t_{n} \right)^{2}$으로부터 식 $\displaystyle p_{n + 1}^{2} = a p_{n}^{2} + a r^{n}$을 얻는다. 이를 이용하여 $\displaystyle p_{n}^{2}$을 구하는 것은 다음과 같은 두 가지 방법이 있다.

[방법 1] 위 항등식에 $\displaystyle n$의 값을 1부터 순차적으로 대입하면,

$\displaystyle p_{1}^{2} = 1$

$\displaystyle p_{2}^{2} = a + a r$

$\displaystyle p_{3}^{2} = a^{2} + a^{2} r + a r^{2}$

$\displaystyle p_{4}^{2} = a^{3} + a^{3} r + a^{2} r^{2} + a r^{3}$

$\displaystyle p_{5}^{2} = a^{4} + a^{4} r + a^{3} r^{2} + a^{2} r^{3} + a r^{4}$

$\displaystyle \vdots$

$\displaystyle p_{n}^{2} = a^{n - 1} + a^{n - 1} r + a^{n - 2} r^{2} + a^{n - 3} r^{3} + \cdots + a r^{n - 1}$을 유추할 수 있다.

여기서, $\displaystyle a^{n - 1} r + a^{n - 2} r^{2} + a^{n - 3} r^{3} + \cdots + a r^{n - 1}$는 첫째항이 $\displaystyle a^{n - 1} r$, 공비 $\displaystyle r / a$인 등비수열의 $\displaystyle n - 1$번째 합이므로

$\displaystyle p_{n}^{2} = {\begin{cases}a^{n - 1} + \frac{{a^{n - 1} r \left( ( r / a )^{n - 1} - 1 \right)}}{r / a - 1} , & r / a \ne 1 \\ a^{n - 1} + \underbrace{a^n+a^n+\cdots+a^n}_{n-1\text{개}} , & r / a = 1\end{cases}}$ $\displaystyle = {\begin{cases}a^{n - 1} + \frac{{a r^{n} - a^{n} r}}{r - a} , & r \ne a \\ a^{n - 1} + ( n - 1 ) a^{n} , & r = a\end{cases}}$

I-4. [논제 I-3]의 답으로부터, $\displaystyle q_{n}^{2} = \frac{{1}}{a} p_{n + 1}^{2} = {\begin{cases}a^{n - 1} + \frac{{r^{n + 1} - a^{n} r}}{r - a} , & r \ne a \\ a^{n - 1} \left( 1 + a n \right) , & r = a\end{cases}}$

$\displaystyle \sin^{2} \theta_{n} = \frac{{t_{n}^{2}}}{q_{n}^{2}} = {\begin{cases}\frac{{r^{n}}}{a^{n - 1} + \frac{{r^{n + 1} - a^{n} r}}{r - a}} , & r \ne a \\ \frac{{r^{n}}}{a^{n - 1} \left( 1 + a n \right)} , & r = a\end{cases}} = {\begin{cases}\frac{{( r - a ) r^{n}}}{a^{n - 1} ( r - a - a r ) + r^{n + 1}} , & r \ne a \\ \frac{{a}}{1 + a n} , & r = a\end{cases}}$

먼저, $\displaystyle r = a$일 때, 극한 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} {\sin^{2} \theta_{n}} = \lim_{n \to \infty} {\frac{{a}}{1 + a n}} = 0$으로 수렴한다.

$\displaystyle r > a$일 때, $\displaystyle 0 < \frac{{a}}{r} < 1$이고 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} {\left( \frac{{a}}{r} \right)^{n}} = 0$이다. 이때,

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} {\sin^{2} \theta_{n}} = \lim_{n \to \infty} {\frac{{( r - a ) r}}{\left( \frac{{a}}{r} \right)^{n - 1} ( r - a - a r ) + r^{2}}} = \frac{{( r - a ) r}}{r^{2}} = 1 - \frac{{a}}{r}$으로 수렴한다.

$\displaystyle r < a$일 때, $\displaystyle 0 < \frac{{r}}{a} < 1$이고 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} {\left( \frac{{r}}{a} \right)^{n}} = 0$이므로

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} {\sin^{2} \theta_{n}} = \lim_{n \to \infty} {\frac{{( r - a ) r \left( \frac{{r}}{a} \right)^{n - 1}}}{( r - a - a r ) + r^{2} \left( \frac{{r}}{a} \right)^{n - 1}}} = \frac{{0}}{r - a - a r} = 0$으로 수렴한다. 여기서, 분모 $\displaystyle r - a - a r$는 영이 될 수 없다. 왜냐하면, $\displaystyle r < a < ( 1 + r ) a$이므로, $\displaystyle r - ( 1 + r ) a < 0$이기 때문이다.

이를 종합하면 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} {\sin^{2} \theta_{n}}$는 모든 $\displaystyle a > 0$, $\displaystyle r > 0$에 대하여 수렴함을 알 수 있다.Comment. $\displaystyle \alpha_n=\frac{\overline{OP_{n+1}}}{\overline{OQ_n}}$이고 $\displaystyle P_{n+1}$은 선분 $\displaystyle OQ_n$ 위의 점이므로 $\displaystyle 0<\alpha_n\le1$이다. 따라서 $\displaystyle \alpha_n=\sqrt a$가 가능한 범위는 $\displaystyle 0<a\le1$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.