수리논술, 이게 다다.

자연계열 1번

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경희대 2018학년도 온라인 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/khu/2018mo_online/jayeon_1

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다음 문제

문제

[가]

첫째항부터 차례대로 일정한 수를 더하여 만든 수열을 등차수열이라 하고, 그 일정한 수를 공차라고 한다. 첫째항이 a\displaystyle a, 공차가 d\displaystyle d인 등차수열의 일반항은 an=a+(n−1)d\displaystyle a_{n} = a + ( n - 1 ) d이다. 그리고 이 등차수열의 첫째항부터 제n\displaystyle n항까지의 합을 Sn\displaystyle S_{n}이라고 하면 Sn=n{2a+(n−1)d}2\displaystyle S_{n} = \frac{{n \left\{ 2 a + ( n - 1 ) d \right\}}}{2}이다. 특히, 임의의 자연수 n\displaystyle n에 대하여 1부터 자연수 n\displaystyle n까지의 합은 첫째항이 1이고 공차가 1인 등차수열의 제n\displaystyle n항까지의 합으로 생각할 수 있으므로 Sn=n(n+1)2\displaystyle S_{n} = \frac{{n \left( n + 1 \right)}}{2}이다.

[나]

임의의 두 각 x\displaystyle x와 y\displaystyle y의 삼각함수를 이용하여 각 x+y\displaystyle x + y, x−y\displaystyle x - y의 삼각함수를 나타내는 방법을 삼각함수의 덧셈정리라 하며

사인함수의 덧셈정리는

sin⁡(x+y)=sin⁡xcos⁡y+cos⁡xsin⁡y\displaystyle \sin ( x + y ) = \sin x \cos y + \cos x \sin y, sin⁡(x−y)=sin⁡xcos⁡y−cos⁡xsin⁡y\displaystyle \sin ( x - y ) = \sin x \cos y - \cos x \sin y

이다. 마찬가지로 코사인함수의 덧셈정리는

cos⁡(x+y)=cos⁡xcos⁡y−sin⁡xsin⁡y\displaystyle \cos ( x + y ) = \cos x \cos y - \sin x \sin y, cos⁡(x−y)=cos⁡xcos⁡y+sin⁡xsin⁡y\displaystyle \cos ( x - y ) = \cos x \cos y + \sin x \sin y

이며, 사인과 코사인함수의 덧셈정리를 이용하면 탄젠트함수의 덧셈정리

tan⁡(x+y)=tan⁡x+tan⁡y1−tan⁡xtan⁡y\displaystyle \tan ( x + y ) = \frac{{\tan x + \tan y}}{1 - \tan x \tan y}, tan⁡(x−y)=tan⁡x−tan⁡y1+tan⁡xtan⁡y\displaystyle \tan ( x - y ) = \frac{{\tan x - \tan y}}{1 + \tan x \tan y}

를 얻을 수 있다.

[다]

각 θ\displaystyle \theta에 대한 두 삼각함수 f(θ)=sin⁡θ\displaystyle f \left( \theta \right) = \sin \theta와 g(θ)=cos⁡θ\displaystyle g \left( \theta \right) = \cos \theta는 각각 모든 실수 θ\displaystyle \theta에서 연속함수이므로 임의의 실수 a\displaystyle a에 대하여

lim⁡θ→asin⁡θ=sin⁡a\displaystyle \lim_{\theta \to a} {\sin \theta} = \sin a, lim⁡θ→acos⁡θ=cos⁡a\displaystyle \lim_{\theta \to a} {\cos \theta} = \cos a

이다. 또한 함수 h(θ)=sin⁡θθ\displaystyle h \left( \theta \right) = \frac{{\sin \theta}}{\theta}는 0\displaystyle 0이 아닌 실수 θ\displaystyle \theta에서 연속이므로 0\displaystyle 0이 아닌 실수 a\displaystyle a에 대하여

lim⁡θ→asin⁡θθ=sin⁡aa\displaystyle \lim_{\theta \to a} {\frac{{\sin \theta}}{\theta}} = \frac{{\sin a}}{a}이다.

한편 a=0\displaystyle a = 0인 경우에도 함수의 극한과 대소 관계에 대한 성질을 이용하여 그 극한이 존재하며

lim⁡θ→0sin⁡θθ=1\displaystyle \lim_{\theta \to 0} {\frac{{\sin \theta}}{\theta}} = 1

임을 알 수 있다. 비슷한 방법으로 lim⁡θ→01−cos⁡θθ=0\displaystyle \lim_{\theta \to 0} {\frac{{1 - \cos \theta}}{\theta}} = 0 역시 확인할 수 있다.

[논제 I] 제시문 [가], [나], [다]를 읽고 다음 질문에 답하시오.

(그림 1)에서 삼각형 ABC\displaystyle ABC의 둘레의 길이와 같은 길이의 실의 한쪽 끝을 점 A\displaystyle A에 고정시키고 시계 반대방향으로 팽팽하게 한 바퀴 감았다. (그림 2)에서와 같이 삼각형 ABC\displaystyle ABC와 같은 평면 위에서 실을 팽팽한 상태로 유지하면서 실을 풀어 실의 다른 한쪽 끝점이 선분 BC\displaystyle BC의 연장선위에 처음 위치했을 때 실의 끝점의 위치를 A1\displaystyle A_{1}, 선분 AA1\displaystyle AA_{1}의 길이를 l1\displaystyle l_{1}이라 한다. 같은 방법으로 실을 계속 풀어 (그림 3)에서와 같이 실의 끝점이 선분 AC\displaystyle AC의 연장선위에 처음 위치했을 때 실의 끝점의 위치를 A2\displaystyle A_{2}, 선분 A1A2\displaystyle A_{1} A_{2}의 길이를 l2\displaystyle l_{2}이라 한다. 같은 방법으로 실을 계속 풀어 실의 끝점이 선분 AB\displaystyle AB 의 연장선위에 다시 위치했을 때 실의 끝점의 위치를 A3\displaystyle A_{3}, 선분 A2A3\displaystyle A_{2} A_{3}의 길이를 l3\displaystyle l_{3}이라 하고 이때 L3=l1+l2+l3\displaystyle L_{3} = l_{1} + l_{2} + l_{3}라 하자 (그림 4).

삼각형에 감긴 실을 차례로 풀어 나가는 과정

(1) 각 ACB\displaystyle ACB의 크기가 π2\displaystyle \frac{{\pi}}{2}이고 각 BAC\displaystyle BAC의 크기가 π6\displaystyle \frac{{\pi}}{6}이며 선분 AB\displaystyle AB의 길이가 2\displaystyle 2(AB‾=2\displaystyle \overline{AB} = 2)인 삼각형 ABC\displaystyle ABC에 대하여 L3\displaystyle L_{3}을 구하고 그 과정을 논술하시오. (15점)

(2) 삼각형 ABC\displaystyle ABC가 반지름의 길이가 r(>0)\displaystyle r ( > 0 )인 원에 내접하는 정삼각형일 때, L3\displaystyle L_{3}를 구하고 그 과정을 논술하시오. (15점)

(3) 반지름의 길이가 r(>0)\displaystyle r ( > 0 )인 원에 내접하는 정 n\displaystyle n각형 A0B1B2…Bn−1\displaystyle A_{0} B_{1} B_{2} \ldots B_{n - 1}에 대하여 정 n\displaystyle n각형의 둘레의 길이와 같은 길이의 실의 한쪽 끝을 점 A0\displaystyle A_{0}에 고정하고 시계 반대방향으로 팽팽하게 한 바퀴 감았다. 실을 팽팽한 상태로 유지하면서 실을 풀어 실의 다른 한쪽 끝점이 선분 B1B2\displaystyle B_{1} B_{2}의 연장선위에 처음 위치했을 때 실의 끝점의 위치를 A1\displaystyle A_{1}, 선분 A0A1\displaystyle A_{0} A_{1}의 길이를 l1\displaystyle l_{1}이라 한다. 같은 방법으로 실을 계속 풀어 실의 다른 한쪽 끝점이 선분 B2B3\displaystyle B_{2} B_{3}의 연장선위에 처음 위치했을 때 실의 끝점의 위치를 A2\displaystyle A_{2}, 선분 A1A2\displaystyle A_{1} A_{2}의 길이를 l2\displaystyle l_{2}이라 한다. 이와 같은 과정을 계속 반복하여 각각의 A2\displaystyle A_{2},…\displaystyle \ldots,An−1\displaystyle A_{n - 1}과 l2\displaystyle l_{2},…\displaystyle \ldots,ln−1\displaystyle l_{n - 1}을 정의 할 수 있으며, 실의 끝점이 선분 A0B1\displaystyle A_{0} B_{1} 의 연장선위에 다시 위치했을 때 실의 끝점의 위치를 An\displaystyle A_{n}, 선분 An−1An\displaystyle A_{n - 1} A_{n}의 길이를 ln\displaystyle l_{n}이라 하자. a=sin⁡πn\displaystyle a = \sin \frac{{\pi}}{n}라 할 때 자연수 n\displaystyle n(≥3\displaystyle \geq 3)에 대하여 Ln=∑k=1nlk\displaystyle L_{n} = \sum_{k = 1}^{n} l_{k}를 a\displaystyle a에 관한 식으로 표현하고 그 과정을 논술하시오. (20점)

정육각형에 감긴 실을 풀어 나가는 과정

(4) 반지름의 길이가 r(>0)\displaystyle r ( > 0 )인 원이 있다. 원의 둘레의 길이와 같은 길이의 실의 한쪽 끝을 원위의 한 점에 고정하고 실을 시계 반대방향으로 한 바퀴 감았다. 원과 같은 평면 위에서 팽팽한 상태로 유지하면서 실을 풀어 실 전체가 직선이 될 때 까지 실의 다른 끝점이 움직인 거리를 L\displaystyle L이라 할 때, L\displaystyle L을 구하고 그 과정을 논술하시오. (10점)

해설강의 준비중

경희대 2018학년도 온라인 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/khu/2018mo_online/jayeon_1

(1)

삼각형 AA1B\displaystyle AA_{1} B은 각ABA1\displaystyle ABA_{1}이 2π3\displaystyle \frac{{2 \pi}}{3}이고 AB‾=A1B‾=2\displaystyle \overline{AB} = \overline{A_{1} B} = 2인 이등변삼각형이다.

선분 AA1\displaystyle AA_{1}의 중점을 P1\displaystyle P_{1}이라 하면 삼각형 ABP1\displaystyle ABP_{1}은 각 ABP1\displaystyle ABP_{1}이 π3\displaystyle \frac{{\pi}}{3}이고 AB‾=2\displaystyle \overline{AB} = 2인 직각삼각형이다. 따라서 AP1‾=AB‾sin⁡π3=3\displaystyle \overline{AP_{1}} = \overline{AB} \sin \frac{{\pi}}{3} = \sqrt{3} 이고, l1=2AP1‾=23\displaystyle l_{1} = 2 \overline{AP_{1}} = 2 \sqrt{3} 이다.

삼각형 A1A2C\displaystyle A_{1} A_{2} C는 각 A1CA2\displaystyle A_{1} CA_{2}가 π2\displaystyle \frac{{\pi}}{2}이고 A1C‾=A2C‾\displaystyle \overline{A_{1} C} = \overline{A_{2} C}인 직각이등변삼각형이다. A1C‾=A1B‾+BC‾=AB‾+BC‾=2+1=3\displaystyle \overline{A_{1} C} = \overline{A_{1} B} + \overline{BC} = \overline{AB} + \overline{BC} = 2 + 1 = 3 이므로 l2=A1C‾ 2+A2C‾ 2=32\displaystyle l_2=\sqrt{\overline{A_1C}^{\,2}+\overline{A_2C}^{\,2}}=3\sqrt2이다.

삼각형 AA2A3\displaystyle AA_{2} A_{3}는 각 A2AA3\displaystyle A_{2} AA_{3}가 π−π6=5π6\displaystyle \pi - \frac{{\pi}}{6} = \frac{{5 \pi}}{6}이고 AA2‾=AA3‾\displaystyle \overline{AA_{2}} = \overline{AA_{3}}인 이등변삼각형이다.

선분 A2A3\displaystyle A_{2} A_{3}의 중점을 P3\displaystyle P_{3}이라 하면, 삼각형 AA3P3\displaystyle AA{}_{3}\mathrm{P}_{3}은 각 A3AP3\displaystyle A_{3} AP_{3}가 5π12\displaystyle \frac{{5 \pi}}{12}이고

AA3‾=3+3\displaystyle \overline{AA_{3}} = 3 + \sqrt{3}(삼각형 ABC\displaystyle ABC 의 둘레의 길이)인 직각삼각형이므로 A3P3‾=AA3‾sin⁡5π12\displaystyle \overline{A{}_{3}\mathrm{P}_{3}} = \overline{AA_{3}} \sin \frac{{5 \pi}}{12}이다.

한편 5π12=π6+π4\displaystyle \frac{{5 \pi}}{12} = \frac{{\pi}}{6} + \frac{{\pi}}{4}이므로 사인함수의 덧셈정리에 의해

sin⁡5π12=sin⁡π6cos⁡π4+cos⁡π6sin⁡π4=1+322\displaystyle \sin \frac{{5 \pi}}{12} = \sin \frac{{\pi}}{6} \cos \frac{{\pi}}{4} + \cos \frac{{\pi}}{6} \sin \frac{{\pi}}{4} = \frac{{1 + \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2}}

이다. 따라서 l3=2A3P3‾=32+26\displaystyle l_{3} = 2 \overline{A{}_{3}\mathrm{P}_{3}} = 3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6} 이고, L3=l1+l2+l3=62+23+26\displaystyle L_{3} = l_{1} + l_{2} + l_{3} = 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{6}이다.

(2)

삼각형ABC\displaystyle ABC의 중점을 O\displaystyle O라 하면 삼각형AOB\displaystyle AOB는 OA‾=OB‾=r\displaystyle \overline{OA} = \overline{OB} = r이고 각AOB\displaystyle AOB가 2π3\displaystyle \frac{{2 \pi}}{3} 인 이등변삼각형이다. 선분 AB\displaystyle AB의 중점을 P0\displaystyle P_{0}라 하면 삼각형AOP0\displaystyle AOP_{0}는 각AOP0\displaystyle AOP_{0}가 π3\displaystyle \frac{{\pi}}{3}, 각OP0A\displaystyle OP_{0} A가 π2\displaystyle \frac{{\pi}}{2} 그리고 OA‾=r\displaystyle \overline{OA} = r인 직각삼각형이다. 따라서 AB‾=2OA‾sin⁡π3=3r\displaystyle \overline{AB} = 2 \overline{OA} \sin \frac{{\pi}}{3} = \sqrt{3} r이다.Correction. “중점”은 외접원의 중심을 뜻하는 “외심”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

삼각형AA1B\displaystyle AA_{1} B는 각ABA1\displaystyle ABA_{1}이 2π3\displaystyle \frac{{2 \pi}}{3}이고 AB‾=A1B‾=3r\displaystyle \overline{AB} = \overline{A_{1} B} = \sqrt{3} r인 이등변삼각형이므로, 삼각형AOB\displaystyle AOB와 닮은 삼각형이다. 따라서 l1=AA1‾=2AB‾sin⁡π3=3r\displaystyle l_{1} = \overline{AA_{1}} = 2 \overline{AB} \sin \frac{{\pi}}{3} = 3 r 이다.

삼각형A1A2C\displaystyle A_{1} A_{2} C는 각A1CA2\displaystyle A_{1} CA_{2}가 2π3\displaystyle \frac{{2 \pi}}{3}이고 A1C‾=A2C‾=23r\displaystyle \overline{A_{1} C} = \overline{A_{2} C} = 2 \sqrt{3} r인 이등변삼각형이므로, 삼각형AOB\displaystyle AOB와 닮은 삼각형이다. 따라서 l2=A1A2‾=2A1C‾sin⁡π3=6r\displaystyle l_{2} = \overline{A_{1} A_{2}} = 2 \overline{A_{1} C} \sin \frac{{\pi}}{3} = 6 r 이다.

삼각형AA2A3\displaystyle AA_{2} A_{3}는 각A2AA3\displaystyle A_{2} AA_{3}가 2π3\displaystyle \frac{{2 \pi}}{3}이고 AA2‾=AA3‾=33r\displaystyle \overline{AA_{2}} = \overline{AA_{3}} = 3 \sqrt{3} r인 이등변삼각형이므로, 삼각형AOB\displaystyle AOB와 닮은 삼각형이다. 따라서 l3=A2A3‾=2AA3‾sin⁡π3=9r\displaystyle l_{3} = \overline{A_{2} A_{3}} = 2 \overline{AA_{3}} \sin \frac{{\pi}}{3} = 9 r 이고

L3=l1+l2+l3=3r+6r+9r=18r\displaystyle L_{3} = l_{1} + l_{2} + l_{3} = 3 r + 6 r + 9 r = 18 r이다.

(3)

정 n\displaystyle n각형 A0B1B2…Bn−1\displaystyle A_{0} B_{1} B_{2} \ldots B_{n - 1}의 중점을 O\displaystyle O라 하면 삼각형A0B1O\displaystyle A_{0} B_{1} O는 OA0‾=OB1‾=r\displaystyle \overline{OA_{0}} = \overline{OB_{1}} = r이고 각A0OB1\displaystyle A_{0} OB_{1}이 2πn\displaystyle \frac{{2 \pi}}{n} 인 이등변삼각형이다. 선분 A0B1\displaystyle A_{0} B_{1}의 중점을 P0\displaystyle P_{0}라 하면 삼각형A0OP0\displaystyle A_{0} OP_{0}는 각A0OP0\displaystyle A_{0} OP_{0}가 πn\displaystyle \frac{{\pi}}{n}, 각OP0A0\displaystyle OP_{0} A_{0}가 π2\displaystyle \frac{{\pi}}{2} 그리고 OA0‾=r\displaystyle \overline{OA_{0}} = r인 직각삼각형이다. 따라서 A0B1‾=2OA0‾sin⁡πn=2rsin⁡πn\displaystyle \overline{A_{0} B_{1}} = 2 \overline{OA_{0}} \sin \frac{{\pi}}{n} = 2 r \sin \frac{{\pi}}{n} 이고 마찬가지로 B1B2‾=⋯=Bn−2Bn−1‾=Bn−1A0‾=2rsin⁡πn\displaystyle \overline{B_{1} B_{2}} = \cdots = \overline{B_{n - 2} B_{n - 1}} = \overline{B_{n - 1} A_{0}} = 2 r \sin \frac{{\pi}}{n} 이다. 여기서 a=sin⁡πn\displaystyle a = \sin \frac{{\pi}}{n}라 하면Correction. “중점”은 외접원의 중심을 뜻하는 “외심”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

A0B1‾=B1B2‾=⋯=Bn−2Bn−1‾=Bn−1A0‾=2ra\displaystyle \overline{A_{0} B_{1}} = \overline{B_{1} B_{2}} = \cdots = \overline{B_{n - 2} B_{n - 1}} = \overline{B_{n - 1} A_{0}} = 2 r a이다.

정n\displaystyle n각형의 한 내각의 크기는 n−2nπ\displaystyle \frac{{n - 2}}{n} \pi이므로 삼각형A0A1B1\displaystyle A_{0} A_{1} B_{1}은 각A0B1A1\displaystyle A_{0} B_{1} A_{1}이 2πn\displaystyle \frac{{2 \pi}}{n}이고 A0B1‾=A1B1‾=2ra\displaystyle \overline{A_{0} B_{1}} = \overline{A_{1} B_{1}} = 2 r a인 이등변삼각형이다. 따라서 삼각형A0A1B1\displaystyle A_{0} A_{1} B_{1}은 삼각형A0B1O\displaystyle A_{0} B_{1} O와 닮은 삼각형이다. 그러므로 l1=A0A1‾=2A1B1‾sin⁡πn=2(2ra)a\displaystyle l_{1} = \overline{A_{0} A_{1}} = 2 \overline{A_{1} B_{1}} \sin \frac{{\pi}}{n} = 2 \left( 2 r a \right) a 이다.

삼각형A1A2B2\displaystyle A_{1} A_{2} B_{2}은 각A1B2A2\displaystyle A_{1} B_{2} A_{2}가 2πn\displaystyle \frac{{2 \pi}}{n}이고 A1B2‾=A2B2‾=2(2ra)\displaystyle \overline{A_{1} B_{2}} = \overline{A_{2} B_{2}} = 2 \left( 2 r a \right)인 이등변삼각형이다. 따라서 삼각형A1A2B2\displaystyle A_{1} A_{2} B_{2}은 삼각형A0B1O\displaystyle A_{0} B_{1} O와 닮은 삼각형이다. 그러므로 l2=A1A2‾=2A2B2‾sin⁡πn=2(4ra)a\displaystyle l_{2} = \overline{A_{1} A_{2}} = 2 \overline{A_{2} B_{2}} \sin \frac{{\pi}}{n} = 2 \left( 4 r a \right) a 이다. 비슷한 방법으로 k=3,…,n\displaystyle k = 3 , \ldots , n에 대하여, lk\displaystyle l_{k}는 두변의 길이가 2kra\displaystyle 2 k r a이고 그 사잇각이 2πn\displaystyle \frac{{2 \pi}}{n}인 이등변삼각형의 나머지 한 변의 길이이므로 lk=2(2kra)a\displaystyle l_{k} = 2 \left( 2 k r a \right) a이다.

따라서 Ln=∑k=1nlk=∑k=1n2(2kra)a=2rn(n+1)a2\displaystyle L_{n} = \sum_{k = 1}^{n} l_{k} = \sum_{k = 1}^{n} 2 \left( 2 k r a \right) a = 2 r n \left( n + 1 \right) a^{2}이다.

(4) 반지름이 r\displaystyle r인 원은 그에 내접하는 정 n\displaystyle n각형으로 근사할 수 있으므로, 실의 끝점이 움직인 거리 L\displaystyle L은 논제 (3)에서 Ln\displaystyle L_{n}의 n\displaystyle n이 무한대로 갈 때의 극한

L=lim⁡n→∞Ln=lim⁡n→∞2rn(n+1)a2=lim⁡n→∞2rn(n+1)(sin⁡πn)2\displaystyle L = \lim_{n \to \infty} {L_{n}} = \lim_{n \to \infty} {2 r n \left( n + 1 \right) a^{2}} = \lim_{n \to \infty} {2 r n \left( n + 1 \right) \left( \sin \frac{{\pi}}{n} \right)^{2}}

이다.

또한 제시문 [다]에서 lim⁡θ→0sin⁡θθ=1\displaystyle \lim_{\theta \to 0} {\frac{{\sin \theta}}{\theta}} = 1이므로

lim⁡n→∞2rn(n+1)(sin⁡πn)2=2rπ2lim⁡n→∞{n+1n(sin⁡πnπn)(sin⁡πnπn)}=2rπ2lim⁡n→∞n+1nlim⁡n→∞(sin⁡πnπn)lim⁡n→∞(sin⁡πnπn)=2rπ2\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}2rn(n+1)\left(\sin\frac\pi n\right)^2&=2r\pi^2\lim_{n\to\infty}\left\{\frac{n+1}n\left(\frac{\sin\frac\pi n}{\frac\pi n}\right)\left(\frac{\sin\frac\pi n}{\frac\pi n}\right)\right\}\\&=2r\pi^2\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}n\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sin\frac\pi n}{\frac\pi n}\right)\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sin\frac\pi n}{\frac\pi n}\right)\\&=2r\pi^2\end{aligned}

이고, 따라서 L=2rπ2\displaystyle L = 2 r \pi^{2}이다.

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