자연계열 1번

(1)

삼각형 $\displaystyle AA_{1} B$은 각$\displaystyle ABA_{1}$이 $\displaystyle \frac{{2 \pi}}{3}$이고 $\displaystyle \overline{AB} = \overline{A_{1} B} = 2$인 이등변삼각형이다.

선분 $\displaystyle AA_{1}$의 중점을 $\displaystyle P_{1}$이라 하면 삼각형 $\displaystyle ABP_{1}$은 각 $\displaystyle ABP_{1}$이 $\displaystyle \frac{{\pi}}{3}$이고 $\displaystyle \overline{AB} = 2$인 직각삼각형이다. 따라서 $\displaystyle \overline{AP_{1}} = \overline{AB} \sin \frac{{\pi}}{3} = \sqrt{3}$ 이고, $\displaystyle l_{1} = 2 \overline{AP_{1}} = 2 \sqrt{3}$ 이다.

삼각형 $\displaystyle A_{1} A_{2} C$는 각 $\displaystyle A_{1} CA_{2}$가 $\displaystyle \frac{{\pi}}{2}$이고 $\displaystyle \overline{A_{1} C} = \overline{A_{2} C}$인 직각이등변삼각형이다. $\displaystyle \overline{A_{1} C} = \overline{A_{1} B} + \overline{BC} = \overline{AB} + \overline{BC} = 2 + 1 = 3$ 이므로 $\displaystyle l_2=\sqrt{\overline{A_1C}^{\,2}+\overline{A_2C}^{\,2}}=3\sqrt2$이다.

삼각형 $\displaystyle AA_{2} A_{3}$는 각 $\displaystyle A_{2} AA_{3}$가 $\displaystyle \pi - \frac{{\pi}}{6} = \frac{{5 \pi}}{6}$이고 $\displaystyle \overline{AA_{2}} = \overline{AA_{3}}$인 이등변삼각형이다.

선분 $\displaystyle A_{2} A_{3}$의 중점을 $\displaystyle P_{3}$이라 하면, 삼각형 $\displaystyle AA{}_{3}\mathrm{P}_{3}$은 각 $\displaystyle A_{3} AP_{3}$가 $\displaystyle \frac{{5 \pi}}{12}$이고

$\displaystyle \overline{AA_{3}} = 3 + \sqrt{3}$(삼각형 $\displaystyle ABC$ 의 둘레의 길이)인 직각삼각형이므로 $\displaystyle \overline{A{}_{3}\mathrm{P}_{3}} = \overline{AA_{3}} \sin \frac{{5 \pi}}{12}$이다.

한편 $\displaystyle \frac{{5 \pi}}{12} = \frac{{\pi}}{6} + \frac{{\pi}}{4}$이므로 사인함수의 덧셈정리에 의해

$\displaystyle \sin \frac{{5 \pi}}{12} = \sin \frac{{\pi}}{6} \cos \frac{{\pi}}{4} + \cos \frac{{\pi}}{6} \sin \frac{{\pi}}{4} = \frac{{1 + \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2}}$

이다. 따라서 $\displaystyle l_{3} = 2 \overline{A{}_{3}\mathrm{P}_{3}} = 3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}$ 이고, $\displaystyle L_{3} = l_{1} + l_{2} + l_{3} = 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{6}$이다.

(2)

삼각형$\displaystyle ABC$의 중점을 $\displaystyle O$라 하면 삼각형$\displaystyle AOB$는 $\displaystyle \overline{OA} = \overline{OB} = r$이고 각$\displaystyle AOB$가 $\displaystyle \frac{{2 \pi}}{3}$ 인 이등변삼각형이다. 선분 $\displaystyle AB$의 중점을 $\displaystyle P_{0}$라 하면 삼각형$\displaystyle AOP_{0}$는 각$\displaystyle AOP_{0}$가 $\displaystyle \frac{{\pi}}{3}$, 각$\displaystyle OP_{0} A$가 $\displaystyle \frac{{\pi}}{2}$ 그리고 $\displaystyle \overline{OA} = r$인 직각삼각형이다. 따라서 $\displaystyle \overline{AB} = 2 \overline{OA} \sin \frac{{\pi}}{3} = \sqrt{3} r$이다.Correction. “중점”은 외접원의 중심을 뜻하는 “외심”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

삼각형$\displaystyle AA_{1} B$는 각$\displaystyle ABA_{1}$이 $\displaystyle \frac{{2 \pi}}{3}$이고 $\displaystyle \overline{AB} = \overline{A_{1} B} = \sqrt{3} r$인 이등변삼각형이므로, 삼각형$\displaystyle AOB$와 닮은 삼각형이다. 따라서 $\displaystyle l_{1} = \overline{AA_{1}} = 2 \overline{AB} \sin \frac{{\pi}}{3} = 3 r$ 이다.

삼각형$\displaystyle A_{1} A_{2} C$는 각$\displaystyle A_{1} CA_{2}$가 $\displaystyle \frac{{2 \pi}}{3}$이고 $\displaystyle \overline{A_{1} C} = \overline{A_{2} C} = 2 \sqrt{3} r$인 이등변삼각형이므로, 삼각형$\displaystyle AOB$와 닮은 삼각형이다. 따라서 $\displaystyle l_{2} = \overline{A_{1} A_{2}} = 2 \overline{A_{1} C} \sin \frac{{\pi}}{3} = 6 r$ 이다.

삼각형$\displaystyle AA_{2} A_{3}$는 각$\displaystyle A_{2} AA_{3}$가 $\displaystyle \frac{{2 \pi}}{3}$이고 $\displaystyle \overline{AA_{2}} = \overline{AA_{3}} = 3 \sqrt{3} r$인 이등변삼각형이므로, 삼각형$\displaystyle AOB$와 닮은 삼각형이다. 따라서 $\displaystyle l_{3} = \overline{A_{2} A_{3}} = 2 \overline{AA_{3}} \sin \frac{{\pi}}{3} = 9 r$ 이고

$\displaystyle L_{3} = l_{1} + l_{2} + l_{3} = 3 r + 6 r + 9 r = 18 r$이다.

(3)

정 $\displaystyle n$각형 $\displaystyle A_{0} B_{1} B_{2} \ldots B_{n - 1}$의 중점을 $\displaystyle O$라 하면 삼각형$\displaystyle A_{0} B_{1} O$는 $\displaystyle \overline{OA_{0}} = \overline{OB_{1}} = r$이고 각$\displaystyle A_{0} OB_{1}$이 $\displaystyle \frac{{2 \pi}}{n}$ 인 이등변삼각형이다. 선분 $\displaystyle A_{0} B_{1}$의 중점을 $\displaystyle P_{0}$라 하면 삼각형$\displaystyle A_{0} OP_{0}$는 각$\displaystyle A_{0} OP_{0}$가 $\displaystyle \frac{{\pi}}{n}$, 각$\displaystyle OP_{0} A_{0}$가 $\displaystyle \frac{{\pi}}{2}$ 그리고 $\displaystyle \overline{OA_{0}} = r$인 직각삼각형이다. 따라서 $\displaystyle \overline{A_{0} B_{1}} = 2 \overline{OA_{0}} \sin \frac{{\pi}}{n} = 2 r \sin \frac{{\pi}}{n}$ 이고 마찬가지로 $\displaystyle \overline{B_{1} B_{2}} = \cdots = \overline{B_{n - 2} B_{n - 1}} = \overline{B_{n - 1} A_{0}} = 2 r \sin \frac{{\pi}}{n}$ 이다. 여기서 $\displaystyle a = \sin \frac{{\pi}}{n}$라 하면Correction. “중점”은 외접원의 중심을 뜻하는 “외심”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle \overline{A_{0} B_{1}} = \overline{B_{1} B_{2}} = \cdots = \overline{B_{n - 2} B_{n - 1}} = \overline{B_{n - 1} A_{0}} = 2 r a$이다.

정$\displaystyle n$각형의 한 내각의 크기는 $\displaystyle \frac{{n - 2}}{n} \pi$이므로 삼각형$\displaystyle A_{0} A_{1} B_{1}$은 각$\displaystyle A_{0} B_{1} A_{1}$이 $\displaystyle \frac{{2 \pi}}{n}$이고 $\displaystyle \overline{A_{0} B_{1}} = \overline{A_{1} B_{1}} = 2 r a$인 이등변삼각형이다. 따라서 삼각형$\displaystyle A_{0} A_{1} B_{1}$은 삼각형$\displaystyle A_{0} B_{1} O$와 닮은 삼각형이다. 그러므로 $\displaystyle l_{1} = \overline{A_{0} A_{1}} = 2 \overline{A_{1} B_{1}} \sin \frac{{\pi}}{n} = 2 \left( 2 r a \right) a$ 이다.

삼각형$\displaystyle A_{1} A_{2} B_{2}$은 각$\displaystyle A_{1} B_{2} A_{2}$가 $\displaystyle \frac{{2 \pi}}{n}$이고 $\displaystyle \overline{A_{1} B_{2}} = \overline{A_{2} B_{2}} = 2 \left( 2 r a \right)$인 이등변삼각형이다. 따라서 삼각형$\displaystyle A_{1} A_{2} B_{2}$은 삼각형$\displaystyle A_{0} B_{1} O$와 닮은 삼각형이다. 그러므로 $\displaystyle l_{2} = \overline{A_{1} A_{2}} = 2 \overline{A_{2} B_{2}} \sin \frac{{\pi}}{n} = 2 \left( 4 r a \right) a$ 이다. 비슷한 방법으로 $\displaystyle k = 3 , \ldots , n$에 대하여, $\displaystyle l_{k}$는 두변의 길이가 $\displaystyle 2 k r a$이고 그 사잇각이 $\displaystyle \frac{{2 \pi}}{n}$인 이등변삼각형의 나머지 한 변의 길이이므로 $\displaystyle l_{k} = 2 \left( 2 k r a \right) a$이다.

따라서 $\displaystyle L_{n} = \sum_{k = 1}^{n} l_{k} = \sum_{k = 1}^{n} 2 \left( 2 k r a \right) a = 2 r n \left( n + 1 \right) a^{2}$이다.

(4) 반지름이 $\displaystyle r$인 원은 그에 내접하는 정 $\displaystyle n$각형으로 근사할 수 있으므로, 실의 끝점이 움직인 거리 $\displaystyle L$은 논제 (3)에서 $\displaystyle L_{n}$의 $\displaystyle n$이 무한대로 갈 때의 극한

$\displaystyle L = \lim_{n \to \infty} {L_{n}} = \lim_{n \to \infty} {2 r n \left( n + 1 \right) a^{2}} = \lim_{n \to \infty} {2 r n \left( n + 1 \right) \left( \sin \frac{{\pi}}{n} \right)^{2}}$

이다.

또한 제시문 [다]에서 $\displaystyle \lim_{\theta \to 0} {\frac{{\sin \theta}}{\theta}} = 1$이므로

$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}2rn(n+1)\left(\sin\frac\pi n\right)^2&=2r\pi^2\lim_{n\to\infty}\left\{\frac{n+1}n\left(\frac{\sin\frac\pi n}{\frac\pi n}\right)\left(\frac{\sin\frac\pi n}{\frac\pi n}\right)\right\}\\&=2r\pi^2\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}n\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sin\frac\pi n}{\frac\pi n}\right)\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sin\frac\pi n}{\frac\pi n}\right)\\&=2r\pi^2\end{aligned}$

이고, 따라서 $\displaystyle L = 2 r \pi^{2}$이다.