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자연계열 (토요일) 1번

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경희대 2019학년도 수시 자연계열 (토요일) 1번 · mathesis.kr/archive/khu/2019su/jayeon_sat_1

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문제

[가] 두 초점 F(c,0)\displaystyle \mathrm{F} \left( c , 0 \right), F′(−c,0)\displaystyle \mathrm{F}^{\prime} \left( - c , 0 \right)으로부터의 거리의 합이 2a(a>c>0)\displaystyle 2 a ( a > c > 0 )인 타원의 방정식은 x2a2+y2b2=1\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1이다. (단, b2=a2−c2)\displaystyle b^{2} = a^{2} - c^{2} )[나] 두 변수 x\displaystyle x, y\displaystyle y의 함수 관계가 변수 t\displaystyle t를 매개로 하여x=f(t)\displaystyle x = f ( t ), y=g(t)\displaystyle y = g ( t )와 같이 나타날 때 변수 t\displaystyle t를 매개변수라 하고, 위 함수를 매개변수로 나타낸 함수라고 한다.[다] 점 (x1,y1)\displaystyle \left( x_{1} , y_{1} \right)과 직선 ax+by+c=0\displaystyle a x + b y + c = 0 사이의 거리 d\displaystyle d는 d=∣ax1+by1+c∣a2+b2\displaystyle d = \frac{{| a x_{1} + b y_{1} + c |}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}이다.[라] 삼각함수에 대하여, 다음 등식이 성립한다.sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\displaystyle \sin ( \alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta, sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\displaystyle \sin ( \alpha - \beta ) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta,cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β,cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\displaystyle \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,\quad\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta,tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\displaystyle \tan ( \alpha + \beta ) = \frac{{\tan \alpha + \tan \beta}}{1 - \tan \alpha \tan \beta}, tan⁡(α−β)=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡αtan⁡β\displaystyle \tan ( \alpha - \beta ) = \frac{{\tan \alpha - \tan \beta}}{1 + \tan \alpha \tan \beta}[마] 닫힌 구간 f(x)\displaystyle f ( x ) [a,b]\displaystyle [ a , b ]의 임의의 점 x\displaystyle x에서 x\displaystyle x축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 S(x)\displaystyle S ( x )인 입체도형의 부피 V\displaystyle V는Correction. ‘닫힌 구간 f(x)\displaystyle f(x) [a,b]\displaystyle [a,b]’에서 f(x)\displaystyle f(x)는 불필요하게 들어갔다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.V=∫abS(x)dx\displaystyle V = \int_{a}^{b} S ( x ) d x이다. (단, S(x)\displaystyle S ( x )는 구간 [a,b]\displaystyle [ a , b ]에서 연속)[바] 함수가 어떤 구간에서 미분가능할 때, 그 구간의 모든 x\displaystyle x에 대하여(1) f′(x)>0\displaystyle f^{\prime} ( x ) > 0이면 f(x)\displaystyle f ( x )는 그 구간에서 증가한다.(2) f′(x)<0\displaystyle f^{\prime} ( x ) < 0이면 f(x)\displaystyle f ( x )는 그 구간에서 감소한다.

[논제 Ⅰ] 제시문 [가]~[바]를 읽고 다음 질문에 답하시오.타원 x2a2+y2b2=1\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a>b>0)\displaystyle \left( a > b > 0 \right) 위의 점 A\displaystyle \mathrm{A}에서의 접선 l\displaystyle l에 대하여 다음 질문에 답하시오. (단, O\displaystyle \mathrm{O}는 원점)

타원 위의 점 A에서의 접선 l

[논제 Ⅰ-1] a=2\displaystyle a = 2, b=1\displaystyle b = 1이라 하자. 중심이 원점이고 접선 l\displaystyle l에 접하는 원의 넓이가 2π\displaystyle 2 \pi일 때 제1\displaystyle 1사분면에 있는 점 A\displaystyle \mathrm{A}의 좌표를 구하고, 그 근거를 논술하시오. (10점)

[논제 Ⅰ-2] 0≤x≤22a\displaystyle 0 \le x \le \frac{\sqrt{2}}{2} a일 때, 타원 위의 점 A(x,y)\displaystyle \mathrm{A} \left( x , y \right)와 점 A\displaystyle \mathrm{A}에서 x\displaystyle x축에 내린 수선의 발 A′(x,0)\displaystyle \mathrm{A}^{\prime} \left( x , 0 \right), 점 B(−a,0)\displaystyle \mathrm{B} \left( - a , 0 \right)으로 만들어지는 삼각형 AA′B\displaystyle \mathrm{AA}^{\prime} \mathrm{B}의 넓이를 S(x)\displaystyle S ( x )라 하자. 닫힌 구간 [0,22a]\displaystyle \left[ 0 , \frac{\sqrt{2}}{2} a \right]의 임의의 x\displaystyle x에서 x\displaystyle x축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 S(x)\displaystyle S ( x )인 입체도형의 부피를 구하고, 그 근거를 논술하시오. (15점)

[논제 Ⅰ-3]0<t<π2\displaystyle 0 < t < \frac{\pi}{2}일 때, 타원 위의 점 A(acos⁡t,bsin⁡t)\displaystyle \mathrm{A} \left( a \cos t , b \sin t \right)에서의 접선 l\displaystyle l이 x\displaystyle x축과 만나는 점을 C\displaystyle \mathrm{C}, y\displaystyle y축과 만나는 점을 D\displaystyle \mathrm{D}라 하자. 이때, 선분 CD\displaystyle \mathrm{CD}의 길이가 최소가 되는 t\displaystyle t에 대하여 sin⁡t\displaystyle \sin t의 값을 구하고, 그 근거를 논술하시오. (15점)

[논제 Ⅰ-4] 0<t<π2\displaystyle 0 < t < \frac{\pi}{2}일 때, 타원 위의 점 A(acos⁡t,bsin⁡t)\displaystyle \mathrm{A} \left( a \cos t , b \sin t \right)를 지나고 접선 l\displaystyle l과 수직인 직선을 l′\displaystyle l^{\prime}이라 하자. 직선 l′\displaystyle l^{\prime}과 선분 OA\displaystyle \mathrm{OA}가 이루는 각 중 예각을 θ\displaystyle \theta라 할 때, 다음 질문에 답하시오.

(1) tan⁡θ\displaystyle \tan \theta를 t\displaystyle t에 관한 함수로 나타낼 수 있고 이 함수를 f(t)\displaystyle f ( t )라 하자. ∫0π2f(t)dt\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f ( t ) d t를 구하고, 그 근거를 논술하시오. (12점)

(2) x=acos⁡t\displaystyle x = a \cos t라 두면, tan⁡θ\displaystyle \tan \theta를 x\displaystyle x에 관한 함수로 나타낼 수 있고 이 함수를 g(x)\displaystyle g ( x )라 하자. ∫0ag(x)dx\displaystyle \int_{0}^{a} g ( x ) d x를 구하고, 그 근거를 논술하시오. (8점)

해설강의 준비중

경희대 2019학년도 수시 자연계열 (토요일) 1번 · mathesis.kr/archive/khu/2019su/jayeon_sat_1

+6점 · 접선의 방정식을 구하고, 점과 직선사이의 거리를 이용하여 원의 반지름의 길이를 구한다.

[논제 Ⅰ-1]점 A\displaystyle \mathrm{A}의 좌표를 (x1,y1)\displaystyle \left( x_{1} , y_{1} \right)이라 하면, x124+y12=1\displaystyle \frac{x_{1}^{2}}{4} + y_{1}^{2} = 1이고, 접선 l\displaystyle l의 방정식은 x1x+4y1y−4=0\displaystyle x_{1} x + 4 y_{1} y - 4 = 0이다. 원점과 접선 l\displaystyle l사이의 거리는 d=4x12+16y12\displaystyle d = \frac{4}{\sqrt{x_{1}^{2} + 16 y_{1}^{2}}}이고, 이것이 원의 반지름이므로 원의 넓이는 πd2=16πx12+16y12\displaystyle \pi d^{2} = 16 \frac{\pi}{x_{1}^{2} + 16 y_{1}^{2}}이다.

+4점 · 연립방정식을 풀어 점 A\displaystyle \mathrm{A}의 좌표를 구한다.

이 원의 넓이가 2π\displaystyle 2 \pi이므로 x12+16y12=8\displaystyle x_{1}^{2} + 16 y_{1}^{2} = 8이다. 연립방정식 {x12+16y12=8x12+4y12=4\displaystyle \begin{cases}x_{1}^{2} + 16 y_{1}^{2} = 8 \\ x_{1}^{2} + 4 y_{1}^{2} = 4\end{cases}을 풀면 x1>0\displaystyle x_{1} > 0, y1>0\displaystyle y_{1} > 0이므로 x1=263\displaystyle x_{1} = \frac{{2 \sqrt{6}}}{3}, y1=33\displaystyle y_{1} = \frac{\sqrt{3}}{3}이다. 따라서 A\displaystyle \mathrm{A}의 좌표는 (263,33)\displaystyle \left( \frac{{2 \sqrt{6}}}{3} , \frac{\sqrt{3}}{3} \right)이다.

+3점 · 타원의 방정식을 이용하여 삼각형 면적 S(x)\displaystyle S ( x )를 구한다.

[논제 Ⅰ-2]넓이는 S(x)=12BA′‾×AA′‾=12(x+a)y=b2a(x+a)a2−x2\displaystyle S(x)=\frac12\overline{BA^{\prime}}\times\overline{AA^{\prime}}=\frac12(x+a)y=\frac b{2a}(x+a)\sqrt{a^2-x^2}이므로,

+12점 · 치환적분 및 기하학적 방법으로 입체도형의 부피를 구한다.

입체의 부피는V=∫022aS(x) dx=b2a∫022axa2−x2 dx+b2∫022aa2−x2 dx=I+II\displaystyle V=\int_0^{\frac{\sqrt2}2a}S(x)\,dx=\frac b{2a}\int_0^{\frac{\sqrt2}2a}x\sqrt{a^2-x^2}\,dx+\frac b2\int_0^{\frac{\sqrt2}2a}\sqrt{a^2-x^2}\,dx=I+II이다.I=b2a∫022axa2−x2 dx\displaystyle I=\frac b{2a}\int_0^{\frac{\sqrt2}2a}x\sqrt{a^2-x^2}\,dx는 t=a2−x2\displaystyle t=a^2-x^2이라 치환하면 I=b4a∫a22a2t dt=(4−2)a2b24\displaystyle I=\frac b{4a}\int_{\frac{a^2}2}^{a^2}\sqrt t\,dt=\frac{(4-\sqrt2)a^2b}{24}이고, II=b2∫022aa2−x2 dx\displaystyle II=\frac b2\int_0^{\frac{\sqrt2}2a}\sqrt{a^2-x^2}\,dx를 반지름 a\displaystyle a, 중심각 π4\displaystyle \frac\pi4인 부채꼴과 두 변의 길이가 22a\displaystyle \frac{\sqrt2}2a인 직각이등변 삼각형으로 나누어 계산하면 ∫022aa2−x2 dx=πa28+a24\displaystyle \int_0^{\frac{\sqrt2}2a}\sqrt{a^2-x^2}\,dx=\frac{\pi a^2}8+\frac{a^2}4이고, II=(π8+14)a2b2\displaystyle II=\left(\frac\pi8+\frac14\right)\frac{a^2b}2이다.따라서 입체도형의 부피는 V=(π16+724−224)a2b\displaystyle V = \left( \frac{\pi}{16} + \frac{7}{24} - \frac{\sqrt{2}}{24} \right) a^{2} b이다.

+5점 · 선분 CD\displaystyle \mathrm{CD}의 길이를 치환을 통해 간단히 표현한다.

논제 [Ⅰ-3]접선 l\displaystyle l의 방정식은 xcos⁡ta+ysin⁡tb=1\displaystyle \frac{x\cos t}a+\frac{y\sin t}b=1이므로 점 C와 D의 좌표는 각각 (acos⁡t,0), (0,bsin⁡t)\displaystyle \left(\frac a{\cos t},0\right),\ \left(0,\frac b{\sin t}\right)이고 CD‾=a2cos⁡2t+b2sin⁡2t\displaystyle \overline{CD}=\sqrt{\frac{a^2}{\cos^2t}+\frac{b^2}{\sin^2t}}이다. 함수 y=x\displaystyle y=\sqrt x가 증가함수이므로, CD‾ 2\displaystyle \overline{CD}^{\,2}가 최소일 때, CD‾\displaystyle \overline{CD}가 최소이다. u=sin⁡2t\displaystyle u=\sin^2t로 치환하면 0<u<1\displaystyle 0<u<1이고, f(u)=CD‾ 2=a21−u+b2u\displaystyle f(u)=\overline{CD}^{\,2}=\frac{a^2}{1-u}+\frac{b^2}u이다.

+10점 · 미분을 이용하여 선분 CD\displaystyle \mathrm{CD}의 길이의 최솟값을 구한다.

f′(u)=a2(1−u)2−b2u2=(a1−u−bu)(a1−u+bu)={(a+b)u−b}{(a−b)u+b}(1−u)2u2\displaystyle f^{\prime}(u)=\frac{a^2}{(1-u)^2}-\frac{b^2}{u^2}=\left(\frac a{1-u}-\frac bu\right)\left(\frac a{1-u}+\frac bu\right)=\frac{\{(a+b)u-b\}\{(a-b)u+b\}}{(1-u)^2u^2}이므로, f′(ba+b)=0\displaystyle f^{\prime}\left(\frac b{a+b}\right)=0이고 u=ba+b\displaystyle u=\frac b{a+b}의 좌우에서 f′(u)\displaystyle f^{\prime}(u)의 부호가 음에서 양으로 변한다. 따라서 f(u)\displaystyle f(u)는 u=ba+b\displaystyle u=\frac b{a+b}에서 극솟값을 갖고, 열린 구간 (0,1)\displaystyle (0,1)에서 감소하다가 증가하므로, f(u)\displaystyle f(u)는 u=ba+b\displaystyle u=\frac b{a+b}에서 최솟값을 갖는다. 이때 sin⁡t=ba+b\displaystyle \sin t=\sqrt{\frac b{a+b}}이다.

+9점 · tan⁡θ\displaystyle \tan \theta를 t\displaystyle t에 관한 함수로 표현한다.

[논제 Ⅰ-4](1) 접선 l\displaystyle l의 기울기는 −bacot⁡t\displaystyle -\frac ba\cot t이므로 직선 l′\displaystyle l^{\prime}의 기울기는 abtan⁡t\displaystyle \frac ab\tan t이다. 선분 OA와 x\displaystyle x축 사이의 예각을 θ1\displaystyle \theta_1, 직선 l′\displaystyle l^{\prime}과 x\displaystyle x축 사이의 예각을 θ2\displaystyle \theta_2라 하면 tan⁡θ1=batan⁡t\displaystyle \tan\theta_1=\frac ba\tan t이고 tan⁡θ2=abtan⁡t\displaystyle \tan\theta_2=\frac ab\tan t이다. θ=θ2−θ1\displaystyle \theta=\theta_2-\theta_1이므로, tan⁡θ=tan⁡(θ2−θ1)=tan⁡θ2−tan⁡θ11+tan⁡θ2tan⁡θ1=(ab−ba)tan⁡t1+tan⁡2t=a2−b2absin⁡tcos⁡t\displaystyle \tan\theta=\tan(\theta_2-\theta_1)=\frac{\tan\theta_2-\tan\theta_1}{1+\tan\theta_2\tan\theta_1}=\left(\frac ab-\frac ba\right)\frac{\tan t}{1+\tan^2t}=\frac{a^2-b^2}{ab}\sin t\cos t이다.

+3점 · 치환적분을 이용하여 함수 f\displaystyle f를 적분한다.

따라서 f(t)=a2−b2absin⁡tcos⁡t\displaystyle f(t)=\frac{a^2-b^2}{ab}\sin t\cos t이다. 적분 ∫0π2f(t) dt=a2−b2ab∫0π2sin⁡tcos⁡t dt\displaystyle \int_0^{\frac\pi2}f(t)\,dt=\frac{a^2-b^2}{ab}\int_0^{\frac\pi2}\sin t\cos t\,dt에서 u=sin⁡t\displaystyle u=\sin t로 치환하면 ∫0π2sin⁡tcos⁡t dt=∫01u du=12\displaystyle \int_0^{\frac\pi2}\sin t\cos t\,dt=\int_0^1u\,du=\frac12이므로, ∫0π2f(t) dt=a2−b22ab\displaystyle \int_0^{\frac\pi2}f(t)\,dt=\frac{a^2-b^2}{2ab}이다.

+4점 · tan⁡θ\displaystyle \tan \theta를 x\displaystyle x에 관한 함수로 표현한다.

(2) cos⁡t=xa\displaystyle \cos t = \frac{x}{a}, sin⁡t=yb=a2−x2a\displaystyle \sin t = \frac{y}{b} = \frac{{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}}{a}이므로 tan⁡θ=g(x)=a2−b2a3bxa2−x2\displaystyle \tan \theta = g ( x ) = \frac{{a^{2} - b^{2}}}{a^{3} b} x \sqrt{a^{2} - x^{2}}이다.

+4점 · 치환적분을 이용하여 함수 g\displaystyle g를 적분한다.

∫0ag(x)dx=a2−b2a3b∫0axa2−x2dx\displaystyle \int_{0}^{a} g ( x ) d x = \frac{{a^{2} - b^{2}}}{a^{3} b} \int_{0}^{a} x \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x에서 u=a2−x2\displaystyle u = a^{2} - x^{2}로 치환하면,∫0ag(x) dx=a2−b22a3b∫0a2u du=a2−b23b\displaystyle \int_0^ag(x)\,dx=\frac{a^2-b^2}{2a^3b}\int_0^{a^2}\sqrt u\,du=\frac{a^2-b^2}{3b}이다.

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