자연계열 (토요일) 1번

[논제 Ⅰ-1]점 $\displaystyle \mathrm{A}$의 좌표를 $\displaystyle \left( x_{1} , y_{1} \right)$이라 하면, $\displaystyle \frac{x_{1}^{2}}{4} + y_{1}^{2} = 1$이고, 접선 $\displaystyle l$의 방정식은 $\displaystyle x_{1} x + 4 y_{1} y - 4 = 0$이다. 원점과 접선 $\displaystyle l$사이의 거리는 $\displaystyle d = \frac{4}{\sqrt{x_{1}^{2} + 16 y_{1}^{2}}}$이고, 이것이 원의 반지름이므로 원의 넓이는 $\displaystyle \pi d^{2} = 16 \frac{\pi}{x_{1}^{2} + 16 y_{1}^{2}}$이다.

이 원의 넓이가 $\displaystyle 2 \pi$이므로 $\displaystyle x_{1}^{2} + 16 y_{1}^{2} = 8$이다. 연립방정식 $\displaystyle \begin{cases}x_{1}^{2} + 16 y_{1}^{2} = 8 \\ x_{1}^{2} + 4 y_{1}^{2} = 4\end{cases}$을 풀면 $\displaystyle x_{1} > 0$, $\displaystyle y_{1} > 0$이므로 $\displaystyle x_{1} = \frac{{2 \sqrt{6}}}{3}$, $\displaystyle y_{1} = \frac{\sqrt{3}}{3}$이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{A}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{{2 \sqrt{6}}}{3} , \frac{\sqrt{3}}{3} \right)$이다.

[논제 Ⅰ-2]넓이는 $\displaystyle S(x)=\frac12\overline{BA^{\prime}}\times\overline{AA^{\prime}}=\frac12(x+a)y=\frac b{2a}(x+a)\sqrt{a^2-x^2}$이므로,

입체의 부피는$\displaystyle V=\int_0^{\frac{\sqrt2}2a}S(x)\,dx=\frac b{2a}\int_0^{\frac{\sqrt2}2a}x\sqrt{a^2-x^2}\,dx+\frac b2\int_0^{\frac{\sqrt2}2a}\sqrt{a^2-x^2}\,dx=I+II$이다.$\displaystyle I=\frac b{2a}\int_0^{\frac{\sqrt2}2a}x\sqrt{a^2-x^2}\,dx$는 $\displaystyle t=a^2-x^2$이라 치환하면 $\displaystyle I=\frac b{4a}\int_{\frac{a^2}2}^{a^2}\sqrt t\,dt=\frac{(4-\sqrt2)a^2b}{24}$이고, $\displaystyle II=\frac b2\int_0^{\frac{\sqrt2}2a}\sqrt{a^2-x^2}\,dx$를 반지름 $\displaystyle a$, 중심각 $\displaystyle \frac\pi4$인 부채꼴과 두 변의 길이가 $\displaystyle \frac{\sqrt2}2a$인 직각이등변 삼각형으로 나누어 계산하면 $\displaystyle \int_0^{\frac{\sqrt2}2a}\sqrt{a^2-x^2}\,dx=\frac{\pi a^2}8+\frac{a^2}4$이고, $\displaystyle II=\left(\frac\pi8+\frac14\right)\frac{a^2b}2$이다.따라서 입체도형의 부피는 $\displaystyle V = \left( \frac{\pi}{16} + \frac{7}{24} - \frac{\sqrt{2}}{24} \right) a^{2} b$이다.

논제 [Ⅰ-3]접선 $\displaystyle l$의 방정식은 $\displaystyle \frac{x\cos t}a+\frac{y\sin t}b=1$이므로 점 C와 D의 좌표는 각각 $\displaystyle \left(\frac a{\cos t},0\right),\ \left(0,\frac b{\sin t}\right)$이고 $\displaystyle \overline{CD}=\sqrt{\frac{a^2}{\cos^2t}+\frac{b^2}{\sin^2t}}$이다. 함수 $\displaystyle y=\sqrt x$가 증가함수이므로, $\displaystyle \overline{CD}^{\,2}$가 최소일 때, $\displaystyle \overline{CD}$가 최소이다. $\displaystyle u=\sin^2t$로 치환하면 $\displaystyle 0<u<1$이고, $\displaystyle f(u)=\overline{CD}^{\,2}=\frac{a^2}{1-u}+\frac{b^2}u$이다.

$\displaystyle f^{\prime}(u)=\frac{a^2}{(1-u)^2}-\frac{b^2}{u^2}=\left(\frac a{1-u}-\frac bu\right)\left(\frac a{1-u}+\frac bu\right)=\frac{\{(a+b)u-b\}\{(a-b)u+b\}}{(1-u)^2u^2}$이므로, $\displaystyle f^{\prime}\left(\frac b{a+b}\right)=0$이고 $\displaystyle u=\frac b{a+b}$의 좌우에서 $\displaystyle f^{\prime}(u)$의 부호가 음에서 양으로 변한다. 따라서 $\displaystyle f(u)$는 $\displaystyle u=\frac b{a+b}$에서 극솟값을 갖고, 열린 구간 $\displaystyle (0,1)$에서 감소하다가 증가하므로, $\displaystyle f(u)$는 $\displaystyle u=\frac b{a+b}$에서 최솟값을 갖는다. 이때 $\displaystyle \sin t=\sqrt{\frac b{a+b}}$이다.

[논제 Ⅰ-4](1) 접선 $\displaystyle l$의 기울기는 $\displaystyle -\frac ba\cot t$이므로 직선 $\displaystyle l^{\prime}$의 기울기는 $\displaystyle \frac ab\tan t$이다. 선분 OA와 $\displaystyle x$축 사이의 예각을 $\displaystyle \theta_1$, 직선 $\displaystyle l^{\prime}$과 $\displaystyle x$축 사이의 예각을 $\displaystyle \theta_2$라 하면 $\displaystyle \tan\theta_1=\frac ba\tan t$이고 $\displaystyle \tan\theta_2=\frac ab\tan t$이다. $\displaystyle \theta=\theta_2-\theta_1$이므로, $\displaystyle \tan\theta=\tan(\theta_2-\theta_1)=\frac{\tan\theta_2-\tan\theta_1}{1+\tan\theta_2\tan\theta_1}=\left(\frac ab-\frac ba\right)\frac{\tan t}{1+\tan^2t}=\frac{a^2-b^2}{ab}\sin t\cos t$이다.

따라서 $\displaystyle f(t)=\frac{a^2-b^2}{ab}\sin t\cos t$이다. 적분 $\displaystyle \int_0^{\frac\pi2}f(t)\,dt=\frac{a^2-b^2}{ab}\int_0^{\frac\pi2}\sin t\cos t\,dt$에서 $\displaystyle u=\sin t$로 치환하면 $\displaystyle \int_0^{\frac\pi2}\sin t\cos t\,dt=\int_0^1u\,du=\frac12$이므로, $\displaystyle \int_0^{\frac\pi2}f(t)\,dt=\frac{a^2-b^2}{2ab}$이다.

(2) $\displaystyle \cos t = \frac{x}{a}$, $\displaystyle \sin t = \frac{y}{b} = \frac{{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}}{a}$이므로 $\displaystyle \tan \theta = g ( x ) = \frac{{a^{2} - b^{2}}}{a^{3} b} x \sqrt{a^{2} - x^{2}}$이다.

$\displaystyle \int_{0}^{a} g ( x ) d x = \frac{{a^{2} - b^{2}}}{a^{3} b} \int_{0}^{a} x \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x$에서 $\displaystyle u = a^{2} - x^{2}$로 치환하면,$\displaystyle \int_0^ag(x)\,dx=\frac{a^2-b^2}{2a^3b}\int_0^{a^2}\sqrt u\,du=\frac{a^2-b^2}{3b}$이다.