의학계 1번

[논제 Ⅰ-1]원기둥 $\displaystyle C_{1}$의 반지름의 길이를 $\displaystyle r$이라 할 때, $\displaystyle r$의 범위는 $\displaystyle 0 < r < a$이고 $\displaystyle C_{1}$의 부피는 $\displaystyle V ( r ) = \pi r^{2} ( - r^{2} + a^{2} )$이다.

구간 $\displaystyle 0 < r < a$에서 $\displaystyle V ( r )$의 최댓값을 구하기 위해 방정식 $\displaystyle V^{\prime} ( r ) = 2 \pi r ( - 2 r^{2} + a^{2} ) = 0$의 해 $\displaystyle r = \frac{a}{\sqrt{2}}$를 구한다. $\displaystyle V^{\prime} ( r )$은 $\displaystyle r = \frac{a}{\sqrt{2}}$의 좌우에서 양에서 음으로 바뀌기 때문에, $\displaystyle C_{1}$의 부피의 최댓값 $\displaystyle \beta_{1}$은 $\displaystyle V \left( \frac{a}{\sqrt{2}} \right) = \frac{\pi}{4} a^{4}$이다.

[논제 Ⅰ-2]$\displaystyle A_{a}$의 부피 $\displaystyle V_{a}$를 구하기 위해, $\displaystyle x$축과 $\displaystyle y$축을 바꾸어서 입체도형 $\displaystyle A_{a}$를 표현해 보자. 그러면 $\displaystyle A_{a}$는 밑면의 중심을 $\displaystyle x$축에 두었을 때, $\displaystyle x$축과 수직인 평면으로 자른 단면은 반지름의 길이가 $\displaystyle \sqrt{a^{2} - x}$인 원이다. 따라서 $\displaystyle A_{a}$의 부피는$\displaystyle V_{a} = \int_{0}^{a^{2}} \pi ( a^{2} - x ) d x = \pi \left( a^{4} - \frac{1}{2} a^{4} \right) = \frac{\pi}{2} a^{4}$그러므로 $\displaystyle f ( a ) = \frac{\pi}{2} a^{4} - \frac{\pi}{4} a^{4} = \frac{\pi}{4} a^{4}$이다.

구하고자 하는 정적분을 $\displaystyle I$라고 하면,$\displaystyle I = \int_{0}^{1} \frac{{4 f ( t )}}{4 f ( t ) + \pi ( 1 - t )^{4}} d t = \int_{0}^{1} \frac{t^{4}}{t^{4} + ( 1 - t )^{4}} d t$이다. 이때, $\displaystyle u = 1 - t$로 치환하여 $\displaystyle I = \int_{0}^{1} \frac{{( 1 - u )^{4}}}{u^{4} + ( 1 - u )^{4}} d u$를 얻을 수 있고, 두 값을 더하면$\displaystyle 2 I = \int_{0}^{1} \frac{t^{4}}{t^{4} + ( 1 - t )^{4}} d t + \int_{0}^{1} \frac{{( 1 - t )^{4}}}{t^{4} + ( 1 - t )^{4}} d t = \int_{0}^{1} 1 d t = 1$따라서 구하고자 하는 값 $\displaystyle I$는 $\displaystyle \frac{1}{2}$이다.

오른쪽 그림처럼 아래 원기둥의 반지름을 $\displaystyle r$이라 하면, 아래 원기둥의 높이는 $\displaystyle - r^{2} + a^{2}$이다.그러면 위에 놓일 수 있는 원기둥 부피의 최댓값은 $\displaystyle A_{r}$의 내부에 있는 원기둥 부피의 최댓값이다. 따라서 [논제 Ⅰ-1]의 결과에 의해 위 원기둥의 부피의 최댓값은 $\displaystyle \frac{\pi}{4} r^{4}$이다. 그러므로 $\displaystyle C_{2}$의 부피의 최댓값은

$\displaystyle V ( r ) = \pi r^{2} ( - r^{2} + a^{2} ) + \frac{\pi}{4} r^{4} = \pi \left( - \frac{3}{4} r^{4} + a^{2} r^{2} \right)$의 최댓값과 같다.

구간 $\displaystyle 0 < r < a$에서 함수 $\displaystyle V ( r )$의 최댓값을 찾기 위해 방정식 $\displaystyle V^{\prime} ( r ) = \pi ( - 3 r^{3} + 2 a^{2} r ) = 0$을 풀면, 해 $\displaystyle r = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} a$를 찾을 수 있다.함수 $\displaystyle V^{\prime} ( r )$은 $\displaystyle r = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} a$의 좌우에서 양에서 음으로 바뀌므로, $\displaystyle C_{2}$의 부피의 최댓값 $\displaystyle \beta_{2}$는 $\displaystyle V \left( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} a \right) = \frac{\pi}{3} a^{4}$이다.

[논제 Ⅰ-4]우선 $\displaystyle A_{a}$의 내부에 있는 밑면의 반지름의 길이가 $\displaystyle r$인 원기둥 $\displaystyle C_{1}$ 중에서 옆면의 넓이의 최댓값을 $\displaystyle S_{a}$라 하면, $\displaystyle S_{a}$는 $\displaystyle g ( r ) = 2 \pi r ( - r^{2} + a^{2} )$의 최댓값이다. 따라서 구간 $\displaystyle 0 < r < a$에서 방정식 $\displaystyle g^{\prime} ( r ) = 2 \pi ( - 3 r^{2} + a^{2} ) = 0$의 해 $\displaystyle r = \frac{1}{\sqrt{3}} a$를 찾고, $\displaystyle g^{\prime} ( r )$이 $\displaystyle r = \frac{1}{\sqrt{3}} a$의 좌우에서 양에서 음으로 바뀜을 이용하여 $\displaystyle g ( r )$의 최댓값이 $\displaystyle S_{a} = g \left( \frac{1}{\sqrt{3}} a \right) = 4 \frac{\pi}{3 \sqrt{3}} a^{3}$임을 보인다.

그러면 $\displaystyle C_{2}$의 아래 원기둥의 반지름을 $\displaystyle r$이라 할 때, [논제 Ⅰ-3]의 그림처럼 아래 원기둥의 높이가 $\displaystyle - r^{2} + a^{2}$이므로 위 원기둥의 옆넓이의 최댓값은 $\displaystyle A_{r}$의 내부에 있는 원기둥의 옆넓이의 최댓값 $\displaystyle S_{r} = 4 \frac{\pi}{3 \sqrt{3}} r^{3}$과 같다. 이를 이용하면 $\displaystyle C_{2}$의 겉넓이의 최댓값은 $\displaystyle 0 < r < a$에서 정의된 함수 $\displaystyle W ( r ) = 2 \pi r^{2} + 2 \pi r ( - r^{2} + a^{2} ) + 4 \frac{\pi}{3 \sqrt{3}} r^{3}$의 최댓값과 같다.

그런데 $\displaystyle W ( r )$의 도함수는 $\displaystyle W^{\prime} ( r ) = 2 \pi \left\{ \left( - 3 + \frac{2}{\sqrt{3}} \right) r^{2} + 2 r + a^{2} \right\}$이고, 이 도함수는 $\displaystyle y$절편이 $\displaystyle 2 \pi a^{2} > 0$이고 중심축의 $\displaystyle x$좌표가 양수인 위로 볼록인 포물선이다. $\displaystyle W^{\prime} ( a ) \ge 0$라면, 구간 $\displaystyle 0 < r < a$에서 $\displaystyle W^{\prime} ( r ) > 0$가 되어 $\displaystyle W ( r )$은 증가함수이므로 최댓값을 가질 수 없다. 한편, $\displaystyle W^{\prime} ( a ) < 0$이면, $\displaystyle W^{\prime} ( 0 ) > 0$이므로 제시문 [나]에 의해서 $\displaystyle W^{\prime} ( r ) = 0$의 해가 구간 $\displaystyle 0 < r < a$에서 존재함을 알 수 있고, 그때 $\displaystyle W ( r )$은 구간 $\displaystyle 0 < r < a$에서 최댓값을 갖는다. 따라서 $\displaystyle W^{\prime} ( a ) < 0$을 만족시키는 $\displaystyle a$를 구하면 된다. 즉, $\displaystyle \left( - 3 + \frac{2}{\sqrt{3}} \right) a^{2} + 2 a + a^{2} < 0$을 만족하는 $\displaystyle a$를 구한다. $\displaystyle a > 0$이므로 부등식을 풀면 $\displaystyle a > \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} = \frac{{3 + \sqrt{3}}}{2}$이다.