자연계열 (일요일) 1번

[논제 Ⅰ-1]$\displaystyle p = 1$이면, 그림에서와 같이 원이 $\displaystyle y = \frac{1}{x}$과 $\displaystyle \left( 1 , 1 \right)$에서 접하고, $\displaystyle x$축과 $\displaystyle y$축에 동시에 접한다. 원의 반지름을 $\displaystyle r$이라고 하면, $\displaystyle \overline{\mathrm{OC}} = \sqrt{2} r$이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{CA}} = r$이므로, $\displaystyle \sqrt{2} r + r = \sqrt{2}$를 만족하기 때문에, $\displaystyle r = 2 - \sqrt{2}$이다.

한편, 점 $\displaystyle \mathrm{A}$를 지나고 $\displaystyle x$축에 수직인 직선을 그렸을 때, 원과 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{D}$라고 하자. 그러면, 구하려는 부분의 넓이는 부채꼴 $\displaystyle \mathrm{CAD}$의 넓이에서 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ACD}$의 넓이를 빼면 된다. $\displaystyle \angle \mathrm{ACD}$는 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$, 반지름은 $\displaystyle 2 - \sqrt{2}$인 부채꼴 $\displaystyle \mathrm{CDA}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} ( 2 - \sqrt{2} )^{2} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} ( 3 - 2 \sqrt{2} )$이고, $\displaystyle \angle \mathrm{ACD}$는 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}} = \overline{\mathrm{CD}} = 2 - \sqrt{2}$인 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ACD}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times ( 2 - \sqrt{2} )^{2} = 3 - 2 \sqrt{2}$이다.따라서 구하려는 부분의 넓이는 $\displaystyle \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right) \left( 3 - 2 \sqrt{2} \right)$이다.

[논제 Ⅰ-2]접점 $\displaystyle \mathrm{A} = \left( p , \frac{1}{p} \right)$와 원의 중심 $\displaystyle \mathrm{C} \left( a , b \right)$에 대하여, 점 $\displaystyle \mathrm{A}$, $\displaystyle \mathrm{C}$를 지나는 직선과 점 $\displaystyle \mathrm{A}$에서의 접선은 수직이다. 접선의 기울기는 $\displaystyle - \frac{1}{p^{2}}$이므로, 선분 $\displaystyle \mathrm{AC}$의 기울기는 $\displaystyle p^{2}$이다. 따라서 원의 중심의 좌표 $\displaystyle \left( a , b \right)$는 다음 식을 만족한다.$\displaystyle \frac{b-\frac1p}{a-p}=p^2$ …… (1)원이 $\displaystyle y$축에 접하므로 원의 반지름이 $\displaystyle a$이다. 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}} = a$이므로, 다음 식을 만족한다.$\displaystyle ( a - p )^{2} + \left( b - \frac{1}{p} \right)^{2} = a^{2}$……(2)(1)과 (2)로부터,$\displaystyle ( 1 + p^{4} ) ( a - p )^{2} = a^{2}$……(3)

이다. (3)으로부터 $\displaystyle \sqrt{1 + p^{4}} ( a - p ) = a$ 또는 $\displaystyle \sqrt{1 + p^{4}} ( a - p ) = - a$이다.$\displaystyle a = \frac{{p \sqrt{1 + p^{4}}}}{\sqrt{1 + p^{4}} - 1}$ 또는 $\displaystyle a = \frac{{p \sqrt{1 + p^{4}}}}{\sqrt{1 + p^{4}} + 1}$에서, $\displaystyle a < p$이므로, $\displaystyle a = \frac{{p \sqrt{1 + p^{4}}}}{\sqrt{1 + p^{4}} + 1}$이다.이를 (1)에 대입하면, $\displaystyle b = p^{2} ( a - p ) + \frac{1}{p} = p^{2} \left( \frac{{p \sqrt{1 + p^{4}}}}{\sqrt{1 + p^{4}} + 1} - p \right) + \frac{1}{p}$$\displaystyle = \frac{{2 - \sqrt{1 + p^{4}}}}{p}$이다.따라서 $\displaystyle f ( p ) = \frac{{p \sqrt{1 + p^{4}}}}{\sqrt{1 + p^{4}} + 1}$이고, $\displaystyle g ( p ) = \frac{{2 - \sqrt{1 + p^{4}}}}{p}$이다.

[논제 Ⅰ-3](1) [논제 Ⅰ-2]에서 $\displaystyle h ( p ) = f ( p ) g ( p ) = \frac{{\sqrt{1 + p^{4}} ( 2 - \sqrt{1 + p^{4}} )}}{\sqrt{1 + p^{4}} + 1}$이다.이때, $\displaystyle t=\sqrt{1+p^4}$라 하면 $\displaystyle h(p)=\frac{t(2-t)}{t+1}$이고 이를 $\displaystyle H(t)$라 하자.

합성함수의 미분법에 의해서$\displaystyle h^{\prime} ( p ) = H^{\prime} ( t ) \times \frac{{2 p^{3}}}{\sqrt{1 + p^{4}}}$이고,$\displaystyle H^{\prime}(t)=\left(\frac{t(2-t)}{t+1}\right)^{\prime}=-\frac{(t^2+2t-2)}{(t+1)^2}$$\displaystyle 0 < p < 1$이므로, $\displaystyle 1 < t < \sqrt{2}$이다. 따라서 $\displaystyle t^{2} + 2 t - 2 = ( t + 1 )^{2} - 3 > 0$이므로, $\displaystyle h^{\prime} ( p ) < 0$이 되어 $\displaystyle h ( p )$가 $\displaystyle 0 < p < 1$에서 감소한다.

(2) $\displaystyle p$에 대한 함수 $\displaystyle \frac{{\sqrt{1 + p^{4}} ( 2 - \sqrt{1 + p^{4}} )}}{\sqrt{1 + p^{4}} + 1}$는 모든 실수에서 연속이므로,$\displaystyle \lim_{p\to0+}h(p)=\lim_{p\to0+}\frac{\sqrt{1+p^4}(2-\sqrt{1+p^4})}{\sqrt{1+p^4}+1}=\frac{1\times(2-1)}{1+1}=\frac12$따라서 $\displaystyle p = 0$에서의 $\displaystyle h ( p )$의 우극한이 존재하고, 우극한은 $\displaystyle \frac{1}{2}$이다.

[논제 Ⅰ-4]$\displaystyle \mathrm{A}$와 $\displaystyle \mathrm{C}$에서 $\displaystyle x$축에 내린 수선의 발을 각각 $\displaystyle \mathrm{A}^{\prime}$과 $\displaystyle \mathrm{C}^{\prime}$이라고 하자. 그러면, 구하는 도형의 넓이는 $\displaystyle \int_{f ( p )}^{p} \frac{1}{x} d x$에서 사다리꼴 $\displaystyle \mathrm{ACC}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime}$의 넓이를 빼면 된다. 사다리꼴 $\displaystyle \mathrm{ACC}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime}$의 넓이는$\displaystyle \frac12(\overline{CC^{\prime}}+\overline{AA^{\prime}})\times\overline{C^{\prime}A^{\prime}}=\frac12\left(g(p)+\frac1p\right)\times(p-f(p))$이다. 따라서$\displaystyle S(p)=\ln\frac p{f(p)}-\frac12\left(pg(p)-f(p)g(p)+1-\frac{f(p)}p\right)$

논제 [Ⅰ-2]에서 구한 $\displaystyle f ( p )$와 $\displaystyle g ( p )$의 식으로부터,$\displaystyle \lim_{p\to0+}\frac{f(p)}p=\lim_{p\to0+}\frac{\sqrt{1+p^4}}{\sqrt{1+p^4}+1}=\frac12,\quad\lim_{p\to0+}pg(p)=\lim_{p\to0+}(2-\sqrt{1+p^4})=1,\quad\lim_{p\to0+}f(p)g(p)=\frac12$이므로, $\displaystyle \lim_{p\to0+}S(p)=\ln2-\frac12$이 된다.